1、模块综合测试（满分 120 分,测试时间 100 分钟）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列命题：底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，棱台的各侧棱不一定相交于一点，如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台，圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0解析:命题 中：底面多边形内接于一个圆，但并不能推测棱长相等；命题中：由棱台的性质可知，棱台的各侧棱延长后相交于一点；命题中
2、:因两个直角三角形相似且对应边平行，可推出连结对应顶点后延长线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题正确；命题中: 上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段.答案：C2.图 1 是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( )图 1解析:从三个角度看都是符合的，故选 D.答案：D3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是( )图 2A.16 B.20 C.24 D.32解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为 4,边长为 2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长
3、方体的中心,即球的直径为 26,根据球的表面积公式可得球的表面积为 24.答案：C4.木星的体积约是地球体积的 倍，则它的表面积约是地球表面积的( )3024A.60 倍 B. 倍 C.120 倍 D. 倍6 3012解析:设木星的半径为 r1,地球的半径为 r2,由题意,得 ,则木星的表面积地球的302431r表面积= .1203240310241321 rr答案：C5.已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图 3 所示的直观图，其中BO=CO=1,AO= ,那么原ABC 是一个( )23图 3A.等边三角形 B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形解
4、析:根据“斜二测画法”可得 BC=BC=2,AO=2AO= .故原ABC 是一个等边三 角形.答案：A6.已知直线 m、n 与平面 、，给出下列三个命题：若 m，n，则 mn；若 m ，n，则 nm；若 m，m，则 .其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析:通过举例可证明 错误,可知 命题为正确命题.答案：C7.点 P(2,5)关于直线 x+y+1=0 的对称点的坐标为( )A.(6,-3) B.(3,-6) C.(-6,-3) D.(-6,3)解析:根据两点关于直线对称的特点：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为(-6,-3).答案：D8.点 P
5、 在正方形 ABCD 所在平面外，PD 平面 ABCD， PD=AD，则 PA 与 BD 所成角的度数为( )A.30 B.45 C.60 D.90解析:将图形补成一个正方体如图，则 PA 与 BD 所成角等于 BC与 BD 所成角即DBC.在等边三角形 DBC中， DBC=60，即 PA 与 BD 所成角为 60.答案：C9.若 l 为一条直线，、 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ， ;, ；l ,l 其中正确的命题有( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个解析:中可由长方体的一角证明是错误的； 易证明是正确的.答案：C10.已知实数 x、y 满足 2x+y+5=0，那
6、么 的最小值为( )2yxA. B. C. D.5105102解析: 表示点 P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得 的最小值为原点到2yx 2yx直线 2x+y+5=0 的距离，即 d= .5答案：A11.在坐标平面内，与点 A(1,2)距离为 1，且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条解析:与点 A（1,2）的距离为 1 的直线即为以点 A(1,2)为圆心，以 1 为半径的圆的切线.与点 B（3,1）的距离为 2 的直线即为以点 B(3,1)为圆心，以 2 为半径的圆的切线.所以到A、B 两点距离为 1 和 2 的直线即为两圆的公切
7、线，因AB= ，且 ，所以两圆相交，故有两条公切线.5)()3(答案：B12.矩形 ABCD 中，AB=4 ，BC=3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 BACD，则四面体 ABCD 的四个顶点所在球的体积为( )A. B. C. D.125912561253125解析:连结矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O，则 AO=BO=CO=DO，翻折后仍然AO=BO=CO=DO，则 O 为四面体 ABCD 四个顶点所在球的圆心，因此四面体 ABCD 四个顶点所在球的半径为 ，故球的体积为 .2)2(34答案：C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）13.
8、圆台上、下底半径为 2 和 3，则中截面面积为_.解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的半径为 x，故有 4x=4+6，解得 x= .25,S答案： 42514.经过直线 2x+3y-7=0 与 7x+15y+1=0 的交点，且平行于直线 x+2y-3=0 的直线方程是_.解析:由已知可设经过直线 2x+3y-7=0 与7x+15y+1=0 的交点的直线方程为 2x+3y-7+(7x+15y+1)=0，整理得(2+7)x+(3+15)y-7+=0. 根据两直线平行关系得 =1，代入得3x+6y-2=0.答案：3x+6y-2=015.过 A(-3,0)、
9、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是_解析:根据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小,即以 AB 为直径端点的圆满足条件,所求方程为 x2+y2=9.答案：x 2+y2=916.已知圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，它的轴截面的面积为 Q，则圆锥的体积为_.解析:设圆锥的高为 h,半径为 r,母线为 l,则 S 侧 =rl，S 底 =r2， S 侧 =2S 底 ,rl=2r2，即 l=2r.又 l2=r2+h2，解得 h= .r3又 S 轴截面 =rh=Q,r2= ,即 r= .Q4h= .故 V 圆锥 = r2h= .43r143答案： 4Q17.已知圆柱的高为 h，底面半径为 R，轴
10、截面为矩形 A1ABB1，在母线 AA1 上有一点 P，且 PA=a，在母线 BB1 上取一点 Q，使 B1Q=b，则圆柱侧面上 P、Q 两点的最短距离为_.解析:如图甲，沿圆柱的母线 AA1 剪开得矩形（如图乙） ，过 P 作 PEAB 交 BB1 于 E，则 PE=AB= 2R=R，QE=h-a-b.2PQ= .22)()bahRQE答案： 22)()bahR18.过圆 x2+y2=4 外的一点 A(4,0)作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为_.解析:设弦的中点是 P(x0,y0)，根据圆的几何性质得 OPAP，即点 P(x0,y0)在以 OA 为直径的圆上，即(x 0-2)
11、2+y02=4.因 P(x0,y0)在圆 x2+y2=4 内，故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y2=4，x0,1).答案：(x-2) 2+y2=4，x0,1)三、解答题（本大题共 4 小题，共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本小题满分 10 分）已知直线 l 垂直于直线 3x-4y-7=0，直线 l 与两坐标轴围成的三角形的周长为 10，求直线 l 的方程 .解：设直线 l 方程为 4x+3y+b=0，则 l 与x 轴、y 轴的交点为 A( ,0),B(0, ).4b3 AB= .由OA+ OB+AB=10,得 =10.b=10.b125 12|53|4|bl
12、方程为 4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.（本小题满分 12 分）圆锥底面半径为 1 cm，高为 cm，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面 SEF，正方体对角面 CDD1C1，如图，设正方体棱长为 x，则 CC1=x,C1D1= x.作 SOEF 于 O，则 SO= ,OE=1,22ECC1ESO, .ECS1 .12xxx= (cm).正方体棱长为 cm.221.（本小题满分 12 分）(2005 江苏高考,19) 如图 4,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1, O1O2=4,过动点 P
13、分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN（M、N 分别为切点） ，使得 PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.图 4解：如图，以直线 O1O2 为 x 轴，线段 O1O2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为 O1(-2,0),O2(2,0).设 P(x,y)，则 PM2=O1P2-O1M2=(x+2)2+y2-1.同理,PN 2=(x-2)2+y2-1PM= PN，(x+2)2+y2-1=2(x-2) 2+y2-1 ，即 x2-12x+y2+3=0，即(x-6) 2+y2=33这就是动点 P 的轨迹方程22.（本小题满分 14 分）如图 5，正
14、方体 ABCDA1B1C1D1 中，P、M、N 分别为棱DD1、AB、BC 的中点.图 5（1）求二面角 B1MNB 的正切值；（2）求证：PB平面 MNB1.（3）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有 4 个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中 P、B 两点间的距离.（1）解：连结 BD 交 MN 于 F，连结 B1F.平面 DD1B1B平面 ABCD,交线为 BD，ACBD,AC平面 DD1B1B.又 AC/MN，MN平面 DD1B1B.B1F,BF 平面 DD1B1B，B1FMN,BFMN.B1F 平面 B1MN，BF 平面 BMN，则B 1FB 为二面角 B1-MN-B 的平面角 .在 RtB1FB 中，设 B1B=1，则 FB= ，42tanB1FB= .2（2）证明：过点 P 作 PEAA1，则 PEDA，连结 BE.又 DA平面 ABB1A1，PE平面 ABB1A1,即 PEB1M.又 BEB1M，B 1M平面 PEB.PBMB1.由（1）中 MN平面 DD1B1B,得 PBMN，所以 PB平面 MNB1.（3）解：PB= ，符合条件的正方体表面展开图可以是以下 6 种之一：23
