1、1专题 02 复数1数系的扩充数系的扩充：自然数集 N，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R，复数集 C，其从属关系用集合来表示为 NZQRC.2复数的有关概念(1)复数的表示： 1i(,)zab， a：复数的实部； b：复数的虚部； i：虚数单位，规定：2i.(2)复数的分类：若 0，则复数为实数；若 0，则复数为虚数；若 0,ab，则复数为纯虚数.(3)复数相等：若 ii(,)abcdaR，则 ,acbd.(4)共轭复数：若 1z与 2i()z互为共轭复数，则 ,cd.记作21z.(5)复数的模：若 1i(,)zabR，则复数的模为 2izab.(6)复数的几何意义： 与复平面上的点 (,
2、)Z一一对应；与向量 (,)OZab一一对应.3复数代数形式的四则运算(1)设 1i(,)zabR， 2i(,)zcdR，则2i)iab，1(i)()zcc，2 (iabddc，1 22i(i) )zcabac.(2)复数代数形式的四则运算满足分配律、结合律等.复数的除法运算一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法运算加以化简.2(3)几个常见的复数运算的技巧：414243i,i1,ii()kkkN，；2()()；ii,1；2zz；若 3iw，则 321,0w.(4)注意复数代数形式的四则运算与复数几何意义的综合应用.一、考查复数的概念【例 1】若复数为纯虚数（为
3、虚数单位） ，其中，则 i2a的实部为A 15 B 35C D【答案】C【解析】根据 21iza为纯虚数，可得210a，解得 1a，则 ii2a2i3ii55，所以其实部是 1，故选 C【例 2】设 i是虚数单位，复数32i1z，则复数 z的共轭复数为A 1 B 1iC i D 【答案】D3【解析】 32i1i 2i1z, 则 z的共轭复数为 1+i,故选 D.【名师点睛】 （1）解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a bi(a， bR)的形式，再根据题意求解.（2）判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义二、复数的几何意义【例 3】设
4、 i为虚数单位，复数 z的实部比虚部大 1，且满足 |13z，则在复平面内，复数 z所对应的点在A第一或第二象限 B第二或第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限【答案】C【解析】设 ， ，则 ，解得 或 ，故 或 ，则可知=+(1) 2+(1)2=13 =3 2 =3+2 =23在复平面内，复数 所对应的点在第一或第三象限 .故选 C.【名师点睛】| z|的几何意义：令 z=x yi(x， yR)，则| z|= ，由此可知表示复数 z 的点到原点的x2 y2距离就是| z|的几何意义；| z1z2|的几何意义是复平面内表示复数 z1， z2的两点之间的距离.【例 4】在复平面内，若 ()i
5、(4i)6m所对应的点位于第二象限，则实数 m的取值范围是A (0,3) B (,)C 4 D 20【答案】C【解析】由题意知 2 221i(4i)6=(4)(6( i) )zmm所对应的点在第二象限，则2406m，解得 3 m4.故选 C三、复数的四则运算【例 5】 i是虚数单位，复数 1iz，则 2zA 1 B 1iC i D【答案】C【解析】由复数 ，可得.故选 C=1+i4【名师点睛】复数代数形式的四则运算是每年高考考查的一个重要考向，常利用复数的加减乘运算求复数，利用复数的相等或除法运算求复数等，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题.【例 6】设 i是虚数单位， z表示复数 z的
6、共轭复数.若 (3i)z，则 i1zA 12 B 12C i D i【答案】C【解析】因为 ，所以 .所以 =(3+i)i=1+3i =13ii1=13ii1 =(13i)(i+1)(i1)(i+1)=24i2.故选 C=1+2i【名师点睛】复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.1复数 52iz（ 是虚数单位） ，则 zA B 12i C 0i D 50【答案】A【解析】 5(12i)i,12i.iz z故选 A.2设 i是虚数单位，则复数 7i34在复平面内所对应的点位于A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限【
7、答案】A【解析】因为 7i(i)3425i134i，所以所对应的点为 (1,)，位于第四象限，选 A3已知复数 (2i)5i(,)mnR，则复数i1mnz的虚部为A B 32 5C 72 D 72【答案】C【解析】依题意得， ，故 ，=5,=2则 ，故复数 的虚部为，故选=+1 =5+21 =(5+2)(1+)(1)(1+) =5+5+222 =32+72 =+1C4在复平面内，复数 z与复数03i对应的点关于实轴对称，则 zA 3i B 3iC D【答案】B【解析】复数 与复数 103i对应的点关于实轴对称， ， ，103+=10(3)10 =3 =3+.故选 B=35已知复数 i()mzR
8、，则 |5z的充要条件为A 4 B 4mC D 8【答案】C【解析】依题意,得 3i3i1mz，若 |5z，则 295，解得 4m，故选 C6已知复数 21,在复平面上的对应点关于 x轴对称，且 2121z=2，则 12zA0 B iC2 D 【答案】A【解析】因为复数 21,z在复平面上的对应点关于 x轴对称，所以 21,z互为共轭复数，所以211122()40zz，故选 A.67已知 i为虚数单位，现有下面四个命题：p1：复数 1izab与 2izab（ ,R）在复平面内对应的点关于实轴对称；p2：若复数 满足 1()，则 z 为纯虚数；p3：若复数 z1， z2满意 2，则 21；p4：
9、若复数 z 满足 0，则 iz.其中的真命题为A p1， p4 B p2， p4 C p1， p3 D p2， p3【答案】B【解析】对于 1， z与 2关于虚轴对称，所以 1错误；对于 2，由 1i(1i)izz，则z为纯虚数，所以 p正确；对于 3p，若 2,3z，则 16z，满足 2R，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以 不正确； 4正确.故选 B8已知 mR，复数 22()()im是纯虚数，则 m_.【答案】 1【解析】 22()()i是纯虚数，解得 m=1 9若复数 z为纯虚数,且|(i1iz为虚数单位)，则 z_.【答案】 【解析】设 （ bR且 0）,则 ,所以 .= |1+|
10、=| 1+|=|2=22 =1所以 .=1 （2018 新课标全国文科） (1i)2A 3i B 3iC D【答案】D7【解析】 ，故选 D.(1+)(2)=2+22=3+2 （2018 新课标全国文科） iA 3i B 32iC D 【答案】D【解析】 ，故选 D.(2+3)=2+32=3+23 （2018 新课标全国文科）设1i2z，则 zA0 B12C 1 D【答案】C【解析】2i(1i)i2i1z，则 1z.故选 C.4 （2017 新课标全国文科）下列各式的运算结果为纯虚数的是Ai(1+i) 2 Bi 2(1i)C(1+i) 2 Di(1+i)【答案】C【解析】由 2(1i)为纯虚数知选 C5 （2017 新课标全国文科） (1i)2 A i B 13iC 3 D 【答案】B【解析】由题意2(1i)23i1i，故选 B.6 （2017 新课标全国文科）复平面内表示复数 (i)z的点位于A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】C8【解析】 i(2)1iz，则表示复数 i(2)z的点位于第三象限. 所以选 C.
