1、九年级（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题 3 分，共 24 分）1将方程 2x25=7（x1）化为一般形式为 2方程 x（x2 ）=x 的根是 3若 sin28=cos，且 是锐角，则 = 4若方程 2x2kx+6=0 的一个根为 1，则 k= 5已知 ，且 3x+4z2y=40，求 x+y+z= 6如图，1=2，添加一个条件使得 ADEACB 7ABC 中，若 ，则 ABC 是 三角形8在ABC 中， C=90， ABC 的面积为 6，斜边长为 6，则 tanA+tanB 的值为 二、选择题：（每小题 3 分，共 30 分）9某市 2010 年平均房价为每平方米 4000 元连续两年增长
2、后，2012 年平均房价达到每平方米 5500 元设这两年平均房价年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A 5500（1+x ） 2=4000 B 5500（1x） 2=4000C 4000（1 x） 2=5500 D 4000（1+x） 2=550010已知 m 和 n 是方程 2x25x3=0 的两根，则 + 的值是（ ）A 2 B 2 C D 111若一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数解，则 m 的取值范围是（ ）A m1 B m1 C m4 D 12如图，上体育课，九年级三班的甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相
3、距 1 米甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，则甲的影长是（ ）A 4 米 B 5 米 C 6 米 D 7 米13小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米已知斜坡的坡角为 30，同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为（ ）A （ ）米 B 12 米 C （ ）米 D 10 米14如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，要判定ADB 与ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ABD=C B ADB=ABC C D 15在 RtABC 中， C=90，B=3
4、5，AB=7，则 BC 的长为（ ）A 7sin35 B C 7cos35 D 7tan3516若关于 x 的方程 x2+2ax+7a10=0 没有实根，那么，必有实根的方程是（ ）A x2+2ax+3a2=0 B x2+2ax+5a6=0C x2+2ax+10a21=0 D x2+2ax+2a+3=0三、解答题（8 道题共 52 分）17解方程：x 22x3=0 计算： 18已知 tan= ， 是锐角，求 tan（9O） ，sin ，cos 的值19如图，ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点
5、分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少 mm20如图，小山岗的斜坡 AC 的坡度是 tan= ，在与山脚 C 距离 200 米的 D 处，测得山顶 A 的仰角为 26.6，求小山岗的高 AB（结果取整数：参考数据：sin26.6 =0.45，cos26.6=0.89，tan26.6=0.50 ） 21山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均
6、每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？22如图，在ABC 中，AB=8，BC=16，点 P 从点 A 开始沿 AB 向点 B 以 2m/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 4m/s 的速度移动，如果 P，Q 分别从 AB，BC 同时出发，经过几秒PBQ 与ABC 相似？23如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F（1）求证：FD 2=FBFC；（2）若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由24 （10 分） （20
7、09 鸡西）如图，ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若 OA、OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x27x+12=0 的两个根，且 OAOB（1）求 sinABC 的值；（2）若 E 为 x 轴上的点，且 SAOE= ，求经过 D、E 两点的直线的解析式，并判断AOE 与 DAO 是否相似？（3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由四、附加题（每题 10 分）：25 （10 分） （2009 潍坊）已知 ABC，延长 BC 到 D，使 CD=BC取 AB 的中点
8、 F，连接 FD 交 AC 于点 E（1）求 的值；（2）若 AB=a，FB=EC，求 AC 的长26 （10 分） （2009 青岛）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm ，点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 BD 于 Q，连接 PE若设运动时间为 t（s） （0t5） 解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PEAB；（2）设PEQ 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使 SPEQ=
9、 SBCD？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；（4）连接 PF，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由参考答案与试题解析一、填空题：（每小题 3 分，共 24 分）1将方程 2x25=7（x1）化为一般形式为 2x 27x+2=0 考点： 一元二次方程的一般形式 分析： 根据去括号，移项，合并同类项，可得答案解答： 解：去括号，得2x25=7x7，移项、合并同类项，得2x27x+2=0，故答案为：2x 27x+2=0点评： 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a ，b，c 是常数且 a0）特别要注意 a0
10、的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项2方程 x（x2 ）=x 的根是 x 1=0，x 2=3 考点： 解一元二次方程-因式分解法 专题： 压轴题分析： 观察原方程，可先移项，然后用因式分解法求解解答： 解：原方程可化为 x（x2） x=0，x（x2 1）=0，x=0 或 x3=0，解得：x 1=0，x 2=3点评： 只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是 0 的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法3若 sin28
11、=cos，且 是锐角，则 = 62 考点： 同角三角函数的关系 分析： 利用锐角三角函数定义得出即可解答： 解：sin28=cos，且 是锐角，sinA=cos（90A） ，=9028=62故答案为：62点评： 此题主要考查了锐角三角函数定义，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键4若方程 2x2kx+6=0 的一个根为 1，则 k= 8 考点： 一元二次方程的解 分析： 把 x=1 代入已知方程，列出关于 k 的新方程，通过解新方程可以求得 k 的值解答： 解：x=1 是关于 x 的一元二次方程 2x2kx+6=0 的一个根，2k+6=0，整理，得（a+1） （a+4）=0，解得 k=8故答案是
12、：8点评： 本题考查了一元二次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根5已知 ，且 3x+4z2y=40，求 x+y+z= 20 考点： 比例的性质 分析： 根据比例性质，可得 3x=2y，可得关于 y 的方程，根据解方程，可得 y 的值，再根据比的意义，可得 x、z 的值，根据有理数的加法，可得答案解答： 解：由 = ，得3x=2y3x+4z2y=40，即 4z=40，解得 z=10，由 ，得= =2，解得 x=4，y=6，x+y+z=4+6+10=20故答案为：2
13、0点评： 本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出 3x=2y 是解题关键，又利用比的意义得出 x、y 的值6如图，1=2，添加一个条件使得 ADEACB D=C 或E=B 或 = 考点： 相似三角形的判定 专题： 开放型分析： 由1=2 可得 DAE=CAB只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得ADE ACB解答： 解：1=2，1+BAE=2+ BAE，即DAE=CAB当D= C 或E=B 或 = 时，ADEACB点评： 此题考查了相似三角形的判定，属基础题，比较简单但需注意对应关系7ABC 中，若 ，则 ABC 是 等边 三角形考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负
14、数的性质：偶次方 分析： 先根据非负数的性质求出 sinA 及 cosB 的值，再由特殊角的三角函数值得出A 及B 的值，进而可判断出ABC 的形状解答： 解：ABC 中， ，sinA= ，cosB= ，A=60，B=60，C=1806060=60ABC 是等边三角形故答案为：等边点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键8在ABC 中， C=90， ABC 的面积为 6，斜边长为 6，则 tanA+tanB 的值为 3 考点： 锐角三角函数的定义 分析： 由ABC 的面积为 6 可得 ab=12，再由勾股定理可得 a2+b2=62=36，再由tanA+
15、tanB= + = 求解解答： 解：ABC 的面积为 6，ab=12在 RtABC 中， C=90，AB=6，a2+b2=62=36，tanA+tanB= = = =3，故答案为：3点评： 本题考查锐角三角函数的概念和勾股定理，关键是掌握正切定义二、选择题：（每小题 3 分，共 30 分）9某市 2010 年平均房价为每平方米 4000 元连续两年增长后，2012 年平均房价达到每平方米 5500 元设这两年平均房价年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A 5500（1+x ） 2=4000 B 5500（1x） 2=4000C 4000（1 x） 2=5500 D 4000
16、（1+x） 2=5500考点： 由实际问题抽象出一元二次方程 专题： 增长率问题分析： 2012 年的房价 5500=2010 年的房价 4000（1+年平均增长率） 2，把相关数值代入即可解答： 解：设这两年平均房价年平均增长率为 x，则 2011 年的房价为 4000（1+x） ，2012 年的房价为 4000（1+x） （1+x）=4000（1+x） 2，即所列的方程为 4000（1+x） 2=5500，故选 D点评： 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；得到 2012 年房价的等量关系是解决本题的关键10已知 m 和 n 是方程 2x25x3=0 的两根，则 + 的值是（ ）A 2
17、B 2 C D 1考点： 根与系数的关系 分析： 利用根与系数的关系可以求得 m+n= ，mn= 代入代数式求解即可解答： 解：m 和 n 是方程 2x25x3=0 的两根，m+n= ，mn= ， + = = = ，故选 C点评： 本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若 x1，x 2 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= ，此题难度不大11若一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数解，则 m 的取值范围是（ ）A m1 B m1 C m4 D 考点： 根的判别式 专题： 计算题分析： 由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于 0，
18、列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集即可得到 m 的取值范围解答： 解：一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数解，b24ac=224m0，解得：m1，则 m 的取值范围是 m1故选：B点评： 此题考查了一元二次方程解的判断方法，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的解与b24ac 有关，当 b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b24ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当 b24ac0 时，方程无解12如图，上体育课，九年级三班的甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距 1 米甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，则甲的
19、影长是（ ）A 4 米 B 5 米 C 6 米 D 7 米考点： 相似三角形的应用 分析： 利用相似三角形的判定与性质得出 = ，进而求出 AD 的长即可得出答案解答： 解：根据题意可得：BCDE，故AEDABC，则 = ，故 = ，解得：AD=5 ，故甲的影长是：AC=1+5=6（m） ，故选：C点评： 本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比求出即可，体现了方程的思想13小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米已知斜坡的坡角为 30，同一时刻，一根长为 1 米、垂
20、直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为（ ）A （ ）米 B 12 米 C （ ）米 D 10 米考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 分析： 延长 AC 交 BF 延长线于 D 点，则 BD 即为 AB 的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可解答： 解：延长 AC 交 BF 延长线于 D 点，则CEF=30，作 CFBD 于 F，在 RtCEF 中， CEF=30，CE=4m，CF=2（米） ，EF=4cos30 =2 （米） ，在 RtCFD 中，同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，即 CF=2（米） ，CF：DF=1：2，DF
21、=4（米） ，BD=BE+EF+FD=12+2 （米）在 RtABD 中，AB= BD= （12+2 ）=（ +6）米故选 A点评： 本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质解决本题的关键是作出辅助线得到 AB 的影长14如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，要判定ADB 与ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ABD=C B ADB=ABC C D 考点： 相似三角形的判定 分析： 由A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 A 与 B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得 D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用解答
22、： 解：A 是公共角，当 ABD=C 或ADB=ABC 时， ADBABC（有两角对应相等的三角形相似） ；故 A 与 B 正确；当 时，ADB ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似） ；故 D 正确；当 时，A 不是夹角，故不能判定 ADB 与 ABC 相似，故 C 错误故选 C点评： 此题考查了相似三角形的判定此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用15在 RtABC 中， C=90，B=35，AB=7，则 BC 的长为（ ）A 7sin35 B C 7cos35 D 7tan35考点： 解直角三角形
23、分析： 在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，可求出 BC 边的长解答： 解：在 RtABC 中， cosB= ，BC=ABcosB=7cos35故选 C点评： 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系16若关于 x 的方程 x2+2ax+7a10=0 没有实根，那么，必有实根的方程是（ ）A x2+2ax+3a2=0 B x2+2ax+5a6=0C x2+2ax+10a21=0 D x2+2ax+2a+3=0考点： 根的判别式 专题： 计算题分析： 由方程 x2+2ax+7a10=0 无实根，得到 =4a241（7a10）0，即 a27a+100，解得 2
24、a5；再分别计算四个选项中的方程的 ，然后判断各方程根的情况解答： 解：方程 x2+2ax+7a10=0 无实根，判别式=4a 241（7a 10）0，即 a27a+100， （a 2） （a 5）0，2 a5，四个选项中的方程的分别为：A、=4（a1） （a 2） ，当 2a5， A0，故本选项正确；B、=4（a2） （a 3） ，当 a=2.5， B0，故本选项错误；C、=4（a3） （a 7） ，当 a=4， C0，故本选项错误；D、=4（a+1） （a3） ，当 a=2.5， D=0，故本选项错误故选 A点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）
25、根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根同时考查了因式分解以及用它解不等式三、解答题（8 道题共 52 分）17解方程：x 22x3=0 计算： 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值 分析： 直接把方程左边进行因式分解，求出 x 的值即可；分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可解答： 解：原方程可化为（x+1） （x 3）=0 ，解得 x1=1，x 2=3；原式= 1+ = 1+=1点评： 本题考查的是
26、实数的运算，熟记 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键18已知 tan= ， 是锐角，求 tan（9O） ，sin ，cos 的值考点： 同角三角函数的关系 分析： 根据题意表示出 AC，BC，AB 的长，再利用锐角三角函数定义得出即可解答： 解：如图所示：tanB=tan= ，设 AC=2x，BC=5x，则 AB= x，tan（9O） = = ，sin= = = ，cos= = = 点评： 此题主要考查了锐角三角函数定义，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键19如图，ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成正方形零
27、件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少 mm考点： 相似三角形的应用 专题： 应用题分析： 设正方形的边长为 x，表示出 AI 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解解答： 解：设正方形的边长为 xmm，则 AI=ADx=80x，EFHG 是正方形，EFGH，AEFABC， = ，即 = ，解得 x=48mm，所以，这个正方形零件的边长是 48mm点评： 本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出 AI 的长度，然后列出比例式是解题的关键20如图，小山岗的斜
28、坡 AC 的坡度是 tan= ，在与山脚 C 距离 200 米的 D 处，测得山顶 A 的仰角为 26.6，求小山岗的高 AB（结果取整数：参考数据：sin26.6 =0.45，cos26.6=0.89，tan26.6=0.50 ） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用- 坡度坡角问题 分析： 首先在直角三角形 ABC 中根据坡角的正切值用 AB 表示出 BC，然后在直角三角形DBA 中用 BA 表示出 BD，根据 BD 与 BC 之间的关系列出方程求解即可解答： 解：在直角三角形 ABC 中， =tan= ，BC=在直角三角形 ADB 中， =tan26.6=0.50
29、即：BD=2ABBDBC=CD=2002AB AB=200解得：AB=300 米，答：小山岗的高度为 300 米点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解21山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？考点： 一元二次方程的应用 专题：
30、增长率问题分析： （1）设每千克核桃降价 x 元，利用销售量每件利润=2240 元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降 6 元，求出此时的销售单价即可确定几折解答： （1）解：设每千克核桃应降价 x 元 1 分根据题意，得 （60x 40） （100+ 20）=2240 4 分化简，得 x210x+24=0 解得 x1=4，x 2=66 分答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元 7 分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元 此时，售价为：606=54（元） ， 9 分答：该店应按原售价的九折出售 10 分点评：
31、本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程22如图，在ABC 中，AB=8，BC=16，点 P 从点 A 开始沿 AB 向点 B 以 2m/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 4m/s 的速度移动，如果 P，Q 分别从 AB，BC 同时出发，经过几秒PBQ 与ABC 相似？考点： 相似三角形的判定 专题： 动点型分析： 分别利用当ABC PBQ 时以及当 ABCQBP 时，分别得出符合题意的答案解答： 解：设 t 秒时，则 BP=82t，BQ=4t，当ABCPBQ 时，则 = ，即 = ，解得：t=2，当ABCQBP 时，则 = ，即 =
32、，解得：t=0.8，综上所述：经过 2 或 0.8 秒PBQ 与 ABC 相似点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，熟练利用分类讨论得出是解题关键23如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F（1）求证：FD 2=FBFC；（2）若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由考点： 相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 专题： 综合题分析： （1）要求证：FD 2=FBFC，只要证明 FBDFDC，从而转化为证明FDC=FBD；（2）要证 DGEF，只要证明 5+1=90，转
33、化为证明3=4 即可解答： （1）证明：E 是 RtACD 斜边中点，DE=EA，A=2， （1 分）1=2，1=A， （2 分）FDC=CDB+1=90+1，FBD=ACB+ A=90+A，FDC=FBD，F 是公共角，FBDFDC （4 分） FD2=FBFC （6 分）（2）GDEF （7 分）理由如下：DG 是 RtCDB 斜边上的中线，DG=GC3=4由（1）得FBDFDC，4=1，3=1 （9 分）3+5=90，5+1=90DGEF （10 分）点评： 证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似，证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角24 （10 分） （2009 鸡西）如图，ABC
34、D 在平面直角坐标系中，AD=6，若 OA、OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x27x+12=0 的两个根，且 OAOB（1）求 sinABC 的值；（2）若 E 为 x 轴上的点，且 SAOE= ，求经过 D、E 两点的直线的解析式，并判断AOE 与 DAO 是否相似？（3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由考点： 相似三角形的判定；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定 专题： 压轴题分析： （1）求得一元二次方程
35、的两个根后，判断出 OA、OB 长度，根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得 sinABC 的值（2）易得到点 D 的坐标为（ 6，4） ，还需求得点 E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点 E 的坐标可能在点 O 的左边，也有可能在点 O 的右边根据所给的面积可求得点 E的坐标，把 A、E 代入一次函数解析式即可然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形（3）根据菱形的性质，分 AC 与 AF 是邻边并且点 F 在射线 AB 上与射线 BA 上两种情况，以及 AC 与 AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算解答： 解：（1）解 x27x+12=0，得 x1=4，x
36、 2=3OAOBOA=4，OB=3在 RtAOB 中，由勾股定理有 AB= =5，sinABC= （2）点 E 在 x 轴上，S AOE= ，即 AOOE= ，解得 OE= E（ ，0）或 E（ ，0） 由已知可知 D（6，4） ，设 yDE=kx+b，当 E（ ，0）时有 ，解得 yDE= x 同理 E（ ，0）时，y DE= 在AOE 中，AOE=90 ，OA=4 ，OE= ；在AOD 中，OAD=90，OA=4，OD=6 ； ，AOEDAO（3）根据计算的数据，OB=OC=3 ，AO 平分 BAC，AC、AF 是邻边，点 F 在射线 AB 上时，AF=AC=5，所以点 F 与 B 重合，
37、即 F（3，0） ，AC、AF 是邻边，点 F 在射线 BA 上时，M 应在直线 AD 上，且 FC 垂直平分 AM，点 F（3，8） AC 是对角线时，做 AC 垂直平分线 L，AC 解析式为 y= x+4，直线 L 过（ ，2） ，且k 值为 （平面内互相垂直的两条直线 k 值乘积为1） ，L 解析式为 y= x+ ，联立直线 L 与直线 AB 求交点，F（ ， ） ，AF 是对角线时，过 C 做 AB 垂线，垂足为 N，根据等积法求出 CN= ，勾股定理得出，AN= ，做 A 关于 N 的对称点即为 F，AF= ，过 F 做 y 轴垂线，垂足为 G，FG= =，F（ ， ） 综上所述，满
38、足条件的点有四个：F 1（3，8） ；F 2（3，0 ） ；F3（ ， ） ；F 4（ ， ） 点评： 一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比；相似三角形对应边成比例；给定两个点作为菱形的顶点，那么这两个点可能是菱形的对角所在的顶点，也可能是邻角所在的顶点四、附加题（每题 10 分）：25 （10 分） （2009 潍坊）已知 ABC，延长 BC 到 D，使 CD=BC取 AB 的中点 F，连接 FD 交 AC 于点 E（1）求 的值；（2）若 AB=a，FB=EC，求 AC 的长考点： 三角形中位线定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质 专题： 几何综合题分析： （1）过点 F
39、作 FMAC，交 BC 于点 M根据平行线分线段成比例定理分别找到AE，CE 与 FM 之间的关系，得到它们的比值；（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解解答： 解：（1）过点 F 作 FMAC，交 BC 于点 M，F 为 AB 的中点，M 为 BC 的中点，FM= ACFMAC，CED=MFD， ECD=FMDFMDECD EC= FM= AC= AC （2）AB=a，FB= AB= aFB=EC，EC= aEC= AC，AC=3EC= a点评： 此类题要注意作平行线，能够根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边成比例即可求得线段的比26 （10 分） （2009 青岛）如图，在梯
40、形 ABCD 中，ADBC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm ，点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 BD 于 Q，连接 PE若设运动时间为 t（s） （0t5） 解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PEAB；（2）设PEQ 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使 SPEQ= SBCD？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；（4）连接 PF，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由考
41、点： 平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质 专题： 压轴题分析： （1）若要 PEAB，则应有 ，故用 t 表示 DE 和 DP 后，代入上式求得 t 的值；（2）过 B 作 BMCD，交 CD 于 M，过 P 作 PNEF，交 EF 于 N由题意知，四边形CDEF 是平行四边形，可证得DEQBCD，得到 ，求得 EQ 的值，再由PNQBMD，得到 ，求得 PN 的值，利用 SPEQ= EQPN 得到 y 与 t 之间的函数关系式；（3）利用 SPEQ= SBCD 建立方程，求得 t 的值；（4）易得PDEFBP，故有 S 五边形 PFCD
42、E=SPDE+S 四边形 PFCD=SFBP+S 四边形 PFCD=SBCD，即五边形的面积不变解答： 解：（1）当 PEAB 时， 而 DE=t，DP=10t， ， ，当 （s） ， PEAB（2）线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，EF 平行且等于 CD，四边形 CDEF 是平行四边形DEQ=C， DQE=BDCBC=BD=10，DEQBCD 过 B 作 BMCD，交 CD 于 M，过 P 作 PNEF，交 EF 于 N，BC=BD，BMCD，CD=4cm ，CM= CD=2cm， cm，EFCD，BQF=BDC，BFG= BCD，又 BD=BC，BDC=BCD，BQF=BF
43、G，EDBC，DEQ=QFB，又EQD=BQF，DEQ=DQE，DE=DQ，ED=DQ=BP=t，PQ=102t又PNQ BMD， SPEQ= EQPN= （3）S BCD= CDBM= 44 =8 ，若 SPEQ= SBCD，则有 t2+ t= 8 ，解得 t1=1，t 2=4（4）在PDE 和FBP 中，DE=BP=t，PD=BF=10 t，PDE=FBP，PDEFBP（SAS ） S 五边形 PFCDE=SPDE+S 四边形 PFCD=SFBP+S 四边形 PFCD=SBCD=8 在运动过程中，五边形 PFCDE 的面积不变点评： 本题利用了平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式求解综合性较强，难度较大
