1、专题对点练 24 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题专题对点练第 39 页 1.(2017 吉林白山二模,理 22)已知抛物线的对称轴为坐标轴 ,顶点是坐标原点,准线方程为 x=-1,直线 l 与抛物线相交于不同的 A,B 两点.(1)求抛物线的标准方程;(2)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 的值;(3)如果 =-4,直线 l 是否过一定点 ,若过一定点,求出该定点 ;若不过一定点,试说明理由.解 (1)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为 x=-1, =1,p=2.2 抛物线的标准方程为 y2=4x.(2)设 l:my=x-1,与 y2=4x 联立,得 y2-4my-4=
2、0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1+y2=4m,y1y2=-4, =x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-3.(3)假设直线 l 过定点,设 l:my=x+n,联立 得 y2-4my+4n=0,=+,2=4, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1+y2=4m,y1y2=4n.由 =-4=(m2+1)y1y2-mn(y1+y2)+n2=n2+4n,解得 n=-2,O l:my=x-2 过定点(2,0).2.(2017 吉林三模,理 20)已知 O 为坐标原点,抛物线 C:y2=nx(n0)在第一象限内的点 P(2,t)到焦点的距离为 ,曲线
3、C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q,直线 l1 经过点 Q 且垂直于 x 轴.52(1)求线段 OQ 的长;(2)设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2:x=my+b 交曲线 C 于点 A 和 B,交 l1 于点 E,若直线PA,PE,PB 的斜率依次成等差数列 ,试问:l 2 是否过定点?请说明理由.解 (1)由抛物线上的点 P(2,t)到焦点的距离为 ,得 2+ ,所以 n=2,52 4=52则抛物线方程为 y2=2x,所以曲线 C 在第一象限的图象对应的函数解析式为 y= ,则2y= .故曲线 C 在点 P 处的切线斜率 k= ,切线方程为 y-2= (x-2).12 122=12
4、 12令 y=0 得 x=-2,所以点 Q(-2,0),故线段 OQ=2.(2)由题意知 l1:x=-2,因为 l2 与 l1 相交,所以 m0.设 l2:x=my+b,令 x=-2,得 y=- ,故 E ,+2 (-2,-+2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 x 得 y2-2my-2b=0,则 y1+y2=2m,y1y2=-2b,直线 PA 的斜率为=+,2=2, ,1-21-2=1-2212-2=21+2同理直线 PB 的斜率为 ,直线 PE 的斜率为 .22+2 2+24因为直线 PA,PE,PB 的斜率依次成等差数列 ,所以 =2 ,即 ,21+2+ 22+2 2+2
5、4 +22-+2=+22因为 l2 不经过点 Q,所以 b-2.所以 2m-b+2=2m,即 b=2.故 l2:x=my+2,即 l2 恒过定点(2,0).3.(2017 江西九江二模,理 20)已知椭圆 C: =1(ab0)的一个焦点与抛物线 y2=8 x 的焦点相同,F 1,F2 为椭圆的左、22+222右焦点.M 为椭圆上任意一点 ,MF1F2 面积的最大值为 4 .2(1)求椭圆 C 的方程;(2)设椭圆 C 上的任意一点 N(x0,y0),从原点 O 向圆 N:(x-x0)2+(y-y0)2=3 作两条切线,分别交椭圆于 A,B 两点.试探究|OA| 2+|OB|2 是否为定值,若是
6、,求出其值;若不是,请说明理由.解 (1)抛物线 y2=8 x 的焦点为 (2 ,0),由题意可得 c=2 ,2 2 2MF1F2 面积的最大值为 4 ,可得当 M 位于椭圆短轴端点处时取得最大值.2即有 b2c=4 ,解得 b=2,a2=b2+c2=4+8=12,12 2则椭圆方程为 =1;212+24(2)证明:设直线 OA:y=k1x,OB:y=k2x,A(x1,y1),B(x2,y2),设圆 N:(x-x0)2+(y-y0)2=3 的切线方程为 y=kx,则有 ,整理得( -3)k2-2x0y0k+ -3=0,k1+k2= ,k1k2= 3),|0-0|1+2=3 20 2020020
7、-320-320-3(20又因为 =1,所以可求得 k1k2= =- ,2012+204 20-312-320-3 13将 y=k1x 代入椭圆方程 x2+3y2=12,得 ,则 ,同理可得 ,所以21= 121+321 21=12211+321 22= 121+322,22=12221+322|OA|2+|OB|2=16.所12(1+21)1+321+12(1+22)1+322=12(1+21)(1+322)+12(1+22)(1+321)(1+321)(1+322) =162+3(21+22)2+3(21+22)以|OA| 2+|OB|2 的值为定值 16.4.(2017 辽宁沈阳三模,理
8、 20)已知定直线 l:y=x+3,定点 A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆 C 过点 A 且与 l 相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆的弦 AP,AQ 的中点分别为 M,N,若 MN 平行于 l,则 OM,ON 斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值 ,请说明理由.解 (1)设椭圆的标准方程为 mx2+ny2=1(m0,n0,mn),椭圆 C 过点 A,所以 4m+n=1,将 y=x+3 代入椭圆方程化简得(m+n) x2+6nx+9n-1=0,因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 =(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0,解 可得 m= ,n= ,所以椭圆方程为
9、=1.16 13 26+23(2)设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则有 M ,N ,(1+22 ,1+12 ) (2+22 ,2+12 )由题意可知 lMN,所以 kl=kMN=1,设直线 MN 的方程为 y=x+t,代入椭圆方程并化简得 3x2+4tx+2t2-6=0,由题意可知 1+2=-43,12=22-63 .kOM+kON= ,1+11+2+2+12+2=1+11+2 +2+12+2通分后可变形得到 kOM+kON= ,212+(+3)(1+2)+4+412+2(1+2)+4将 式代入分子 kOM+kON=2(22-6)+(+3)(-4)+12+12312+6(1+2)+1
10、2= =0,0312+6(1+2)+12所以 OM,ON 斜率之和为定值 0. 导学号 168042215.(2017 陕西渭南二模,理 20)已知 P,Q 是椭圆 E: =1(ab0)上关于原点 O 对称的任22+22意两点,且点 P,Q 都不在 x 轴上.(1)若 D(a,0),求证:直线 PD 和 QD 的斜率之积为定值;(2)若椭圆长轴长为 4,点 A(0,1)在椭圆 E 上,设 M,N 是椭圆上异于点 A 的任意两点,且AMAN,问直线 MN 是否过一个定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.解 (1)由题意可知 P(m,n),则 Q(-m,-n),由 =1,则 n2
11、=b2 ,由 D(a,0),则 kPDkQD=22+22 (1-22)=- ,- += 22-2=2(1-22)2-2 22故直线 PD 和 QD 的斜率之积为定值.(2)直线 MN 过定点 ,理由如下:(0,-35)由 2a=4,a=2,b=1,则椭圆方程为 +y2=1,24当直线 MN 的斜率 k=0 时,则 M ,N ,直线 MN 的方程为 y=- ,(-85,-35) (85,-35) 35当直线斜率存在,且 k0,则直线 MN 的方程: y=kx+t,M(x1,y1),N(x2,y2),则 整理得(1+4k 2)x2+8ktx+4t2-4=0,x1+x2=- ,x1x2= ,=+,2
12、+42=4, 81+42 42-41+42由 AMAN,则 =0,(1+k2)x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0,则(1+k 2) +k(t-1) +(t-1)2=0,42-41+42 (- 81+42)整理得 5t2-2t-3=0,解得 t=- 或 t=1(舍去),35则直线 MN 的方程为 y=kx- ,且直线 MN 恒过点 ,35 (0,-35)综上可知:直线 MN 过定点 . 导学号 16804222(0,-35)6.(2017 河北邯郸二模,理 20)已知 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 G: =1(0ba3)的左、22+22右焦点,点 P(2, )是
13、椭圆 G 上一点 ,且|PF 1|-|PF2|=a.2(1)求椭圆 G 的方程 ;(2)设直线 l 与椭圆 G 相交于 A,B 两点,若 ,其中 O 为坐标原点,判断 O 到直线 l 的距离是否为定值?若是,求出该定值; 若不是,请说明理由.解 (1)由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF2|=2a.由|PF 1|-|PF2|=a, |PF1|= a=3|PF2|,32则 =3 ,化简得 c2-5c+6=0,(2+)2+2 (2-)2+2由 ca3, c=2,则|PF 1|=3 a,2=32则 a=2 ,b2=a2-c2=4,2故椭圆的标准方程为 =1;28+24(2)由题意可知,直线 l 不过
14、原点,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 当直线 lx 轴,直线 l 的方程为 x=m(m0),且-2 m2 ,2 2则 x1=m,y1= ,x2=m,y2=- ,4-22 4-22由 , x1x2+y1y2=0,即 m2- =0,解得 m= ,(4-22) 263 直线 l 的方程为 x= ,263故原点 O 到直线 l 的距离 d= .263 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+n,则 消去 y 整理得 (1+2k2)x2+4knx+2n2-8=0,x1+x2=- ,x1x2= ,28+24=1,=+,41+22 22-81+22则 y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+kn(x1+x2)+n2= .2-821+22由 , x1x2+y1y2=0, =0,22-81+22+2-821+22整理得 3n2-8k2-8=0,即 3n2=8k2+8,则原点 O 到直线 l 的距离 d= ,|1+2 d2= ,(|1+2)2= 21+2= 323(1+2)将 代入 ,则 d2= , d= ,82+83(1+2)=83 263综上可知:点 O 到直线 l 的距离为定值 . 导学号 16804223263
