1、5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用高考文数 ( 课标专用 )考点一 数量积的定义及长度、角度问题1.(2018课标全国 ,4,5分 )已知向量 a,b满足 |a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)= ( )A.4 B.3 C.2 D.0A组 统一命题 课标卷题组五年高考答案 B 本题考查数量积的定义和运算 .a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选 B.解题关键 掌握数量积的运算是求解关键 .2.(2016课标全国 ,3,5分 )已知向量 = , = ,则 ABC= ( )A.30 B.45 C.60 D.120答案 A cos ABC= = ,所以 ABC=30,
2、故选 A.3.(2015课标 ,4,5分 ,0.662)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则 (2a+b)a= ( )A.-1 B.0 C.1 D.2答案 C 因为 2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以 (2a+b)a=(1,0)(1,-1)=11+0(-1)=1.故选 C.4.(2017课标全国 ,13,5分 )已知向量 a=(-1,2),b=(m,1).若向量 a+b与 a垂直 ,则 m= .答案 7解析 解法一 : a=(-1,2),b=(m,1), a+b=(m-1,3), (a+b) a, (a+b)a=-(m-1)+6=0,解
3、得 m=7.解法二 :由已知可得 (a+b)a=aa+ba=1+4-m+2=0,解得 m=7.解法三 :如图 ,设 a= ,b= ,a+b= ,由于向量 a+b与 a垂直 ,可知 COB为直角三角形 ,故 |a|2+|a+b|2=|b|2,即 1+4+(m-1)2+32=m2+1,解得 m=7.5.(2017课标全国 ,13,5分 )已知向量 a=(-2,3),b=(3,m),且 a b,则 m= .答案 2解析 a b, ab=0,又 a=(-2,3),b=(3,m), -6+3m=0,解得 m=2.6.(2016课标全国 ,13,5分 )设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a
4、b,则 x= .答案 - 解析 因为 a b,所以 ab=0,即 x+2(x+1)=0,解得 x=- .考点二 数量积的综合应用(2014课标 ,4,5分 ,0.523)设向量 a,b满足 |a+b|= ,|a-b|= ,则 ab= ( )A.1 B.2 C.3 D.5答案 A 解法一 : |a+b|= , a2+2ab+b2=10. 又 |a-b|= , a2-2ab+b2=6. - ,得 4ab=4,即 ab=1,故选 A.解法二 :记 m=a+b,n=a-b,则 |m|= ,|n|= ,且 a= (m+n),b= (m-n),则 ab= (m+n)(m-n)= (|m|2-|n|2)=1
5、.B组 自主命题 省 (区、市 )卷题组考点一 数量积的定义及长度、角度问题1.(2015北京 ,6,5分 )设 a,b是非零向量 .“ab=|a|b|”是 “a b”的 ( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 设 a与 b的夹角为 .因为 ab=|a|b|cos =|a|b|,所以 cos =1,即 a与 b的夹角为 0,故 a b;而当 a b时 ,a与 b的夹角为 0或 180,所以 ab=|a|b|cos =|a|b|,所以 “ab=|a|b|”是 “a b”的充分而不必要条件 ,故选 A.2.(2015重庆 ,7,5分 )已
6、知非零向量 a,b满足 |b|=4|a|,且 a (2a+b),则 a与 b的夹角为 ( )A. B. C. D. 答案 C 因为 a (2a+b),所以 a(2a+b)=0,得到 ab=-2|a|2,设 a与 b的夹角为 ,则 cos = = =- ,又 0 ,所以 = ,故选 C.3.(2015陕西 ,8,5分 )对任意平面向量 a,b,下列关系式中 的是 ( )A.|ab| |a|b| B.|a-b| |a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 答案 B 设向量 a,b的夹角为 ,因为 ab=|a|b|cos ,所以 |ab|=|a|b|cos |
7、 |a|b|,A成立 ;由向量的运算律易知 C,D成立 .故选 B.4.(2016天津 ,7,5分 )已知 ABC是边长为 1的等边三角形 ,点 D,E分别是边 AB,BC的中点 ,连接 DE并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 的值为 ( )A.- B. C. D. 答案 B 建立如图所示的平面直角坐标系 .则 B ,C ,A ,所以 =(1,0).易知 DE= AC, FEC= ACE=60,则 EF= AC= ,所以点 F的坐标为 ,所以 = ,所以 = (1,0)= .故选 B.疑难突破 利用公式 ab=|a|b|cos求解十分困难 ,可以考虑建立适当的平面直角坐标系 ,利用坐标运算
8、求解 .确定点 F的坐标是解题的关键 .评析 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积 ,考查运算求解能力和数形结合思想 .5.(2014湖南 ,10,5分 )在平面直角坐标系中 ,O为原点 ,A(-1,0),B(0, ),C(3,0),动点 D满足 | |=1,则 | + + |的取值范围是 ( )A.4,6 B. -1, +1C.2 ,2 D. -1, +1答案 D 由 | |=1知 ,点 D是以 C为圆心 ,1为半径的圆上的动点 ,设 D(x,y),则 (x-3)2+y2=1.| + |=|(x-1,y+ )|表示点 D到点 P(1,- )的距离 ,又 | |= = ,因此 -1 | |
9、+1,故选 D.评析 本题综合考查平面向量及其几何意义、点与圆的位置关系 ,同时考查数形结合的数学思想方法 .6.(2018北京 ,9,5分 )设向量 a=(1,0),b=(-1,m).若 a (ma-b),则 m= .答案 -1解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算 . a=(1,0),b=(-1,m), a2=1,ab=-1,由 a (ma-b)得 a(ma-b)=0,即 ma2-ab=0,即 m-(-1)=0, m=-1.7.(2016北京 ,9,5分 )已知向量 a=(1, ),b=( ,1),则 a与 b夹角的大小为 .答案 解析 cos= = = ,又 0, a与 b夹角的大小
10、为 .8.(2014四川 ,14,5分 )平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m R),且 c与 a的夹角等于 c与 b的夹角 ,则m= .答案 2解析 a=(1,2),b=(4,2),则 c=ma+b=(m+4,2m+2),|a|= ,|b|=2 , ac=5m+8,bc=8m+20. c与 a的夹角等于 c与 b的夹角 , = , = ,解得 m=2.9.(2015湖北 ,11,5分 )已知向量 ,| |=3,则 = .答案 9解析 = + , = ( + )= + =32+0=9.10.(2016山东 ,13,5分 )已知向量 a=(1,-1),b=(6,-4).若
11、a (ta+b),则实数 t的值为 .答案 -5解析 因为 a (ta+b),所以 a(ta+b)=0,即 ta2+ab=0,又因为 a=(1,-1),b=(6,-4),所以 |a|= ,ab=16+(-1)(-4)=10,因此可得 2t+10=0,解得 t=-5.评析 本题主要考查向量的数量积运算 ,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识 ,考查学生的运算求解能力以及方程思想的应用 .11.(2015浙江 ,13,4分 )已知 e1,e2是平面单位向量 ,且 e1e2= .若平面向量 b满足 be1=be2=1,则 |b|=.答案 解析 令 e1与 e2的夹角为 , e1e2=|e1|e
12、2|cos =cos = ,又 0 180, =60.因为 b(e1-e2)=0,所以 b与 e1、 e2的夹角均为 30,从而 |b|= = .考点二 数量积的综合应用1.(2018浙江 ,9,4分 )已知 a,b,e是平面向量 ,e是单位向量 .若非零向量 a与 e的夹角为 ,向量 b满足b2-4eb+3=0,则 |a-b|的最小值是 ( )A. -1 B. +1 C.2 D.2- 答案 A 本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离 .设 =a, =b, =e,以 O为原点 , 的方向为 x轴正方向建立平面直角坐标系 ,则 E(1,0).不妨设 A点在第一象限 ,
13、 a与 e的夹角为 , 点 A在从原点出发 ,倾斜角为 ,且在第一象限内的射线上 .设 B(x,y),由 b2-4eb+3=0,得 x2+y2-4x+3=0,即 (x-2)2+y2=1,即点 B在圆 (x-2)2+y2=1上运动 .而 =a-b, |a-b|的最小值即为点 B到射线 OA的距离的最小值 ,即为圆心 (2,0)到射线 y= x(x 0)的距离减去圆的半径 , |a-b|min= -1.选 A.一题多解 将 b2-4eb+3=0转化为 b2-4eb+3e2=0,即 (b-e)(b-3e)=0, (b-e) (b-3e).设 =e, =a, =b, =3e, =2e,则 , 点 B在
14、以 M为圆心 ,1为半径的圆上运动 ,如图 . |a-b|=| |, |a-b|的最小值即为点 B到射线 OA的距离的最小值 ,即为圆心 M到射线 OA的距离减去圆的半径 . | |=2, AOM= , |a-b|min=2sin -1= -1.2.(2018天津 ,8,5分 )在如图的平面图形中 ,已知 OM=1,ON=2, MON=120, =2 , =2 ,则 的值为 ( )A.-15 B.-9 C.-6 D.0答案 C 本题考查向量的运算 .解法一 :连接 OA. = - =3 -3 =3( - )-3( - )=3( - ), =3( - ) =3( -| |2)=3(21cos 1
15、20-12)=3(-2)=-6.故选 C.解法二 :在 ABC中 ,不妨设 A=90,取特殊情况 ON AC,以 A为坐标原点 ,AB,AC所在直线分别为 x轴 ,y轴建立如图所示的平面直角坐标系 ,因为 MON=120,ON=2,OM=1,所以 O ,C ,M ,B .故 = =- - =-6.故选 C.3.(2017浙江 ,10,5分 )如图 ,已知平面四边形 ABCD,AB BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与 BD交于点 O.记 I1= ,I2= ,I3= ,则 ( )A.I10, nm.从而 DBC45,又 BCO=45, BOC为锐角 .从而 AOB为钝角 .故 I10.又
16、 OA1), =-2 (21),从而 I3= =12 =12I1,又 121,I10,I30, I3I1, I3I1I2.故选 C.4.(2018上海 ,8,5分 )在平面直角坐标系中 ,已知点 A(-1,0)、 B(2,0),E、 F是 y轴上的两个动点 ,且 |=2,则 的最小值为 .答案 -3解析 本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题 .设 E(0,m),F(0,n),又 A(-1,0),B(2,0), =(1,m), =(-2,n). =-2+mn,又知 | |=2, |m-n|=2. 当 m=n+2时 , =mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3. 当
17、 n=-1,即 E(0,1),F(0,-1)时 , 取得最小值 -3. 当 m=n-2时 , =mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3. 当 n=1,即 E(0,-1),F(0,1)时 , 取得最小值 -3.综上可知 , 的最小值为 -3.5.(2015安徽 ,15,5分 ) ABC是边长为 2的等边三角形 ,已知向量 a,b满足 =2a, =2a+b,则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号 ) a为单位向量 ; b为单位向量 ; a b; b ; (4a+b) .答案 解析 =2a,| |=2, 2|a|=2, |a|=1,故 正确 .由 = - =2a+b-
18、2a=b,知 正确 ,又 |b|=| |=2,故 不正确 .由 ab= = 22 =-1,知 不正确 .由 (4a+b) =(2 + ) =2 + =222 +4=0,知 正确 .综上 ,结论正确的是 .6.(2014天津 ,13,5分 )已知菱形 ABCD的边长为 2, BAD=120,点 E,F分别在边 BC,DC上 ,BC=3BE,DC=DF.若 =1,则 的值为 .答案 2解析 如图 , = + = + , = + = + = + ,所以 = = + 2+ 2= 22cos 120+ + =1,解得 =2.7.(2017北京 ,12,5分 )已知点 P在圆 x2+y2=1上 ,点 A的
19、坐标为 (-2,0),O为原点 ,则 的最大值为.答案 6解析 解法一 : 表示 在 方向上的投影与 | |的乘积 ,当 P在 B点时 , 有最大值 ,此时 =23=6.解法二 :设 P(x,y),则 =(2,0)(x+2,y)=2x+4,由题意知 -1 x 1, x=1时 , 取最大值 6, 的最大值为 6.8.(2017天津 ,14,5分 )在 ABC中 , A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = - ( R),且 =-4,则 的值为 .答案 解析 由 =2 得 = + ,所以 = ( - )= - + - ,又 =32cos 60=3, =9, =4,所以 =-3+ -2= -5
20、=-4,解得 = .思路分析 根据 =2 得 = + ,利用 =-4以及向量的数量积建立关于 的方程 ,从而求得 的值 .一题多解 以 A为原点 ,AB所在的直线为 x轴建立平面直角坐标系 ,如图 ,因为 AB=3,AC=2, A=60,所以 B(3,0),C(1, ),又 =2 ,所以 D ,所以 = ,而 = - =(1,)-(3,0)=(-3, ),因此 = (-3)+ = -5=-4,解得 = .9.(2016江苏 ,13,5分 )如图 ,在 ABC中 ,D是 BC的中点 ,E,F是 AD上的两个三等分点 , =4, =-1,则 的值是 .答案 解析 解法一 : = =( + )( -
21、 )= - ,同理 , = - , = - ,因为 E,F是 AD上的两个三等分点 ,所以 =9 , =4 ,由 - 可得 8 =5,即 = .由 可得 = +3 =-1+ = .解法二 :由已知可得 = + = + = - = ( - )- ( + )= - ,= + = + = - = ( - )- ( + )= - ,= + = + = ( - )- ( + )= - ,= + = + = ( - )- ( + )= - ,因为 =4,所以 =4,则 = = - - + = - ( + )= 4- ( + )=-1,所以 + = ,从而 = =- - + =- ( + )+ =- + 4= = .10.(2017江苏 ,12,5分 )如图 ,在同一个平面内 ,向量 , , 的模分别为 1,1, , 与 的夹角为 ,且 tan =7, 与 的夹角为 45.若 =m +n (m,n R),则 m+n= .答案 3解析 解法一 : tan =7, 0, cos = ,sin = , 与 的夹角为 , = , =m +n ,| |=| |=1,| |= , = ,又 与 的夹角为 45, = = ,又 cos AOB=cos(45+)=cos cos 45-sin sin 45= - =- , =| | |cos AOB=- ,
