2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 理（课件+习题）（打包10套）.zip

1第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的瞬时变化率是 ＝ limΔ x→ 0 Δ yΔ x lim Δ x→ 0，我们称它为函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数，记作f x0＋ Δ x － f x0Δ x，即 f′( x0)＝ ＝ .00|xfy＝或 limΔ x→ 0Δ yΔ x lim Δ x→ 0f x0＋ Δ x － f x0Δ x(2)如果函数 y＝ f(x)在开区间( a， b)内的每一点处都有导数，其导数值在( a， b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 y＝ f(x)在开区间内的导函数．记作 f′( x)或 y′.2．导数的几何意义函数 y＝ f(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 y＝ f(x)在点 P(x0， f(x0))处的切线的斜率 k，即 k＝ f′( x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数f(x)＝ c(c为常数) f′( x)＝0f(x)＝ xα (α ∈Q *) f′( x)＝ αx α －1f(x)＝sin x f′( x)＝cos xf(x)＝cos x f′( x)＝－sin xf(x)＝e x f′( x)＝e xf(x)＝ ax(a0， a≠1) f′( x)＝ axln af(x)＝ln x f′( x)＝ 1xf(x)＝log ax(a0， a≠1) f′( x)＝ 1xln a24.导数的运算法则若 f′( x)， g′( x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′( x)±g′( x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′( x)g(x)＋ f(x)g′( x)；(3)[ ]′＝ (g(x)≠0)．f xg x f′  x g x － f x g′  x[g x ]25．复合函数的导数复合函数 y＝ f(g(x))的导数和函数 y＝ f(u)， u＝ g(x)的导数间的关系为yx′＝ yu′· ux′，即 y对 x的导数等于 y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积．【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.[ ]′＝－ (f(x)≠0)．1f x f′  x[f x ]23.[af(x)＋ bg(x)]′＝ af′( x)＋ bg′( x)．4.函数 y＝ f(x)的导数 f′( x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小| f′( x)|反映了变化的快慢，| f′( x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” ．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′( x0)是函数 y＝ f(x)在 x＝ x0附近的平均变化率．( × )(2)f′( x0)与[ f(x0)]′表示的意义相同．( × )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )(5)函数 f(x)＝sin(－ x)的导数是 f′( x)＝cos x．( × )1．(教材改编)若 f(x)＝ x·ex，则 f′(1)等于( )A．0 B．e C．2e D．e 2答案 C解析 f′( x)＝e x＋ x·ex，∴ f′(1)＝2e.2．如图所示为函数 y＝ f(x)， y＝ g(x)的导函数的图象，那么 y＝ f(x)， y＝ g(x)的图象可能是( )3答案 D解析 由 y＝ f′( x)的图象知 y＝ f′( x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数 y＝ f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除 A，C.又由图象知 y＝ f′( x)与 y＝ g′( x)的图象在 x＝ x0处相交，说明 y＝ f(x)与 y＝ g(x)的图象在 x＝ x0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D.3．某质点的位移函数是 s(t)＝2 t3－ gt2(g＝10 m/s 2)，则当 t＝2 s 时，它的加速度是( )12A．14 m/s 2 B．4 m/s 2C．10 m/s 2 D．－4 m/s 2答案 A解析 由 v(t)＝ s′( t)＝6 t2－ gt，a(t)＝ v′( t)＝12 t－ g，当 t＝2 时， a(2)＝ v′(2)＝12×2－10＝14.4．设函数 f(x)的导数为 f′( x)，且 f(x)＝ f′( )sin x＋cos x，则 f′( )＝ .π2 π4答案 － 2解析 因为 f(x)＝ f′( )sin x＋cos x，π2所以 f′( x)＝ f′( )cos x－sin x，π2所以 f′( )＝ f′( )cos －sin ，π2 π2 π2 π2即 f′( )＝－1，所以 f(x)＝－sin x＋cos x.π2f′( x)＝－cos x－sin x.故 f′( )＝－cos －sin ＝－ .π4 π4 π4 25．曲线 y＝－5e x＋3 在点(0，－2)处的切线方程是 ．答案 5 x＋ y＋2＝0解析 因为 y′| x＝0 ＝－5e 0＝－5，4所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为 y－(－2)＝－5( x－0)，即 5x＋ y＋2＝0.题型一 导数的计算例 1 求下列函数的导数．(1)y＝ x2sin x；(2) y＝ln x＋ ；(3) y＝ ；1x cos xex(4)y＝sin(2 x＋ )；(5) y＝ln(2 x－5)．π3解 (1) y′＝( x2)′·sin x＋ x2·(sin x)′＝2 xsin x＋ x2cos x.(2)y′＝(ln x＋ )′＝(ln x)′＋( )′1x 1x＝ － .1x 1x2(3)y′＝( )′cos xex＝ cos x ′ ·ex－ cos x ex ′ ex 2＝－ .sin x＋ cos xex(4)设 u＝2 x＋ ，则 y＝sin u，π3则 y′＝(sin u)′· u′＝cos(2 x＋ )·2π3∴ y′＝2cos(2 x＋ )．π3(5)令 u＝2 x－5，则 y＝ln u，则 y′＝(ln u)′· u′＝ ·2＝ ，12x－ 5 22x－ 5即 y′＝ .22x－ 5思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1) f(x)＝ x(2 016＋ln x)，若 f′( x0)＝2 017，则 x0等于( )5A．e 2 B．1C．ln 2 D．e(2)若函数 f(x)＝ ax4＋ bx2＋ c满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)等于( )A．－1 B．－2C．2 D．0答案 (1)B (2)B解析 (1) f′( x)＝2 016＋ln x＋ x× ＝2 017＋ln x，故由 f′( x0)＝2 017，得 2 1x017＋ln x0＝2 017，则 ln x0＝0，解得 x0＝1.(2)f′( x)＝4 ax3＋2 bx，∵ f′( x)为奇函数且 f′(1)＝2，∴ f′(－1)＝－2.题型二 导数的几何意义命题点 1 求切线方程例 2 (1)(2016·全国丙卷)已知 f(x)为偶函数，当 x＜0 时， f(x)＝ln(－ x)＋3 x，则曲线y＝ f(x)在点(1，－3)处的切线方程是 ．(2)已知函数 f(x)＝ xln x，若直线 l过点(0，－1)，并且与曲线 y＝ f(x)相切，则直线 l的方程为( )A． x＋ y－1＝0 B． x－ y－1＝0C． x＋ y＋1＝0 D． x－ y＋1＝0答案 (1)2 x＋ y＋1＝0 (2)B解析 (1)设 x＞0，则－ x＜0， f(－ x)＝ln x－3 x，又 f(x)为偶函数， f(x)＝ln x－3 x， f′( x)＝ －3， f′(1)＝－2，切线方程为 y＝－2 x－1，即 2x＋ y＋1＝0.1x(2)∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝ xln x上，∴设切点为( x0， y0)．又∵ f′( x)＝1＋ln x，∴Error!解得 x0＝1， y0＝0.∴切点为(1,0)，∴ f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线 l的方程为 y＝ x－1，即 x－ y－1＝0.故选 B.命题点 2 求参数的值例 3 (1)(2016·泉州模拟)函数 y＝e x的切线方程为 y＝ mx，则 m＝ .(2)已知 f(x)＝ln x， g(x)＝ x2＋ mx＋ (m0)，直线 l与函数 f(x)， g(x)的图象都相切，12 72与 f(x)图象的切点为(1， f(1))，则 m等于( )6A．－1 B．－3 C．－4 D．－2答案 (1)e (2)D解析 (1)设切点坐标为 P(x0， y0)，由 y′＝e x，得 0|exxy＝ ＝ ，从而切线方程为 00e()xy－ ＝ － ，又切线过定点(0,0)，从而 x－ ＝ － ，解得 x0＝1，则 m＝e.(2)∵ f′( x)＝ ，1x∴直线 l的斜率 k＝ f′(1)＝1.又 f(1)＝0，∴切线 l的方程为 y＝ x－1.g′( x)＝ x＋ m，设直线 l与 g(x)的图象的切点为( x0， y0)，则有 x0＋ m＝1， y0＝ x0－1， y0＝ x ＋ mx0＋ ， m0，1220 72于是解得 m＝－2.故选 D.命题点 3 导数与函数图象的关系例 4 如图，点 A(2,1)， B(3,0)， E(x,0)(x≥0)，过点 E作 OB的垂线 l.记△ AOB在直线 l左侧部分的面积为 S，则函数 S＝ f(x)的图象为下图中的( )答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当 x∈[0,2]时，在单位长度变化量 Δ x内面积变化量Δ S大于 0且越来越大，即斜率 f′( x)在[0,2]内大于 0且越来越大，因此，函数 S＝ f(x)的图象是上升的且图象是下凸的；7当 x∈(2,3)时，在单位长度变化量 Δ x内面积变化量 Δ S大于 0且越来越小，即斜率 f′( x)在(2,3)内大于 0且越来越小，因此，函数 S＝ f(x)的图象是上升的且图象是上凸的；当 x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量 Δ x内面积变化量 Δ S为 0，即斜率 f′( x)在[3，＋∞)内为常数 0，此时，函数图象为平行于 x轴的射线．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 A(x0， f(x0))求斜率 k，即求该点处的导数值： k＝ f′( x0)．(2)已知斜率 k，求切点 A(x1， f(x1))，即解方程 f′( x1)＝ k.(3)若求过点 P(x0， y0)的切线方程，可设切点为( x1， y1)，由Error!求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)(2017·郑州月考)已知曲线 y＝ －3ln x的一条切线的斜率为 ，则切点x24 12的横坐标为( )A．3 B．2 C．1 D.12(2)(2016·昆明模拟)设曲线 y＝ 在点( ，1)处的切线与直线 x－ ay＋1＝0 平行，1＋ cos xsin x π2则实数 a等于( )A．－1 B. C．－2 D．212答案 (1)A (2)A解析 (1)设切点的横坐标为 x0，∵曲线 y＝ －3ln x的一条切线的斜率为 ，x24 12∴ y′＝ － ，即 － ＝ ，x2 3x x02 3x0 12解得 x0＝3 或 x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为 3.(2)∵ y′＝ ，－ 1－ cos xsin2x π2|1.xy＝ ＝ －由条件知 ＝－1，∴ a＝－1.1a3．求曲线的切线方程8典例 若存在过点 O(0,0)的直线 l与曲线 y＝ x3－3 x2＋2 x和 y＝ x2＋ a都相切，求 a的值．9错解展示现场纠错解 易知点 O(0,0)在曲线 y＝ x3－3 x2＋2 x上．(1)当 O(0,0)是切点时，由 y′＝3 x2－6 x＋2，得 y′| x＝0 ＝2，即直线 l的斜率为 2，故直线 l的方程为 y＝2 x.由Error! 得 x2－2 x＋ a＝0，依题意 Δ ＝4－4 a＝0，得 a＝1.(2)当 O(0,0)不是切点时，设直线 l与曲线 y＝ x3－3 x2＋2 x相切于点 P(x0， y0)，则 y0＝ x －3 x ＋2 x0， ＝3 x －6 x0＋2，①30 20 0|xky＝＝ 20又 k＝ ＝ x －3 x0＋2，②y0x0 20联立①②，得 x0＝ (x0＝0 舍去)，所以 k＝－ ，32 14故直线 l的方程为 y＝－ x.14由Error! 得 x2＋ x＋ a＝0，14依题意， Δ ＝ －4 a＝0，得 a＝ .116 164综上， a＝1 或 a＝ .164纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1．若 f(x)＝2 xf′(1)＋ x2，则 f′(0)等于( )10A．2 B．0 C．－2 D．－4答案 D解析 f′( x)＝2 f′(1)＋2 x，令 x＝1，则 f′(1)＝2 f′(1)＋2，得 f′(1)＝－2，所以 f′(0)＝2 f′(1)＋0＝－4.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t秒后的位移为 s＝ t3－3 t2＋8 t，那么速度为零13的时刻是( )A．1 秒 B．1 秒末和 2秒末C．4 秒末 D．2 秒末和 4秒末答案 D解析 s′( t)＝ t2－6 t＋8，由导数的定义知 v＝ s′( t)，令 s′( t)＝0，得 t＝2 或 4，即 2秒末和 4秒末的速度为零．3．若直线 y＝ x是曲线 y＝ x3－3 x2＋ px的切线，则实数 p的值为( )A．1 B．2 C. D．1 或134 134答案 D解析 ∵ y′＝3 x2－6 x＋ p，设切点为 P(x0， y0)，∴Error!解得Error! 或Error!4.(2017·郑州质检)已知 y＝ f(x)是可导函数，如图，直线 y＝ kx＋2 是曲线 y＝ f(x)在x＝3 处的切线，令 g(x)＝ xf(x)， g′( x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)等于( )A．－1 B．0 C．2 D．4答案 B解析 由题图可知曲线 y＝ f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－ ，∴ f′(3)＝－ .13 13∵ g(x)＝ xf(x)，∴ g′( x)＝ f(x)＋ xf′( x)，∴ g′(3)＝ f(3)＋3 f′(3)，又由题图可知 f(3)＝1，11∴ g′(3)＝1＋3×(－ )＝0.135．已知曲线 y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )A．e B．－e C. D．－1e 1e答案 C解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝ ，1x设切点为( x0，ln x0)，则 0|xy＝ ＝ ，切线方程为 y－ln x0＝ (x－ x0)，1x0因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得 x0＝e，故此切线的斜率为 .1e6．已知函数 f(x)＝ ＋1， g(x)＝ aln x，若在 x＝ 处函数 f(x)与 g(x)的图象的切线平行，x14则实数 a的值为( )A. B. C．1 D．414 12答案 A解析 由题意可知 g′( x)＝ ，12(),fxax由 f′( )＝ g′( )，得 × ＝ ，14 14 12 12()a14可得 a＝ ，经检验， a＝ 满足题意．14 147．已知函数 f(x)＝ ax3＋ x＋1 的图象在点(1， f(1))处的切线过点(2,7)，则 a＝ .答案 1解析 f′( x)＝3 ax2＋1， f′(1)＝1＋3 a， f(1)＝ a＋2.所以函数在(1， f(1))处的切线方程为 y－( a＋2)＝(1＋3 a)(x－1)．将(2,7)代入切线方程，得 7－( a＋2)＝1＋3 a，解得 a＝1.8．(2016·邯郸模拟)曲线 y＝log 2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 ．12答案 12ln 2解析 y′＝ ，∴ k＝ ，1xln 2 1ln 2∴切线方程为 y＝ (x－1)．1ln 2∴三角形面积 S＝ ×1× ＝ .12 1ln 2 12ln 29．若函数 f(x)＝ x2－ ax＋ln x存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是 12．答案 [2，＋∞)解析 ∵ f(x)＝ x2－ ax＋ln x，定义域为(0，＋∞)，12∴ f′( x)＝ x－ a＋ .1x∵ f(x)存在垂直于 y轴的切线，∴ f′( x)存在零点，即 x＋ － a＝0 有解，∴ a＝ x＋ ≥2.1x 1x*10.已知曲线 f(x)＝ xn＋1 (n∈N *)与直线 x＝1 交于点 P，设曲线 y＝ f(x)在点 P处的切线与x轴交点的横坐标为 xn，则 log2 016x1＋log 2 016x2＋…＋log 2 016x2 015的值为 ．答案 －1解析 f′( x)＝( n＋1) xn， k＝ f′(1)＝ n＋1，点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝( n＋1)( x－1)，令 y＝0，得 x＝1－ ＝ ，即 xn＝ ，1n＋ 1 nn＋ 1 nn＋ 1∴ x1·x2·…·x2 015＝ × × ×…× × ＝ ，12 23 34 2 0142 015 2 0152 016 12 016则 log2 016x1＋log 2 016x2＋…＋log 2 016x2 015＝log 2 016(x1x2…x2 015)＝－1.11．已知曲线 y＝ x3＋ .13 43(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程．解 (1)∵ P(2,4)在曲线 y＝ x3＋ 上， y′＝ x2，13 43∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′| x＝2 ＝4.13∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4( x－2)，即 4x－ y－4＝0.(2)设曲线 y＝ x3＋ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0， x ＋ )，则切线的斜率为13 43 1330 43＝ x .0|＝ 20∴切线方程为 y－( x ＋ )＝ x (x－ x0)，1330 43 20即 y＝ x ·x－ x ＋ .202330 43∵点 P(2,4)在切线上，∴4＝2 x － x ＋ ，202330 43即 x －3 x ＋4＝0，30 20∴ x ＋ x －4 x ＋4＝0，30 20 20∴ x (x0＋1)－4( x0＋1)( x0－1)＝0，20∴( x0＋1)( x0－2) 2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2，故所求的切线方程为 x－ y＋2＝0 或 4x－ y－4＝0.12．已知函数 f(x)＝ x3－2 x2＋3 x(x∈R)的图象为曲线 C.13(1)求过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C的切点的横坐标的取值范围．解 (1)由题意得 f′( x)＝ x2－4 x＋3，则 f′( x)＝( x－2) 2－1≥－1，即过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线 C的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得－1≤ k＜0 或 k≥1，故由－1≤ x2－4 x＋3＜0 或 x2－4 x＋3≥1，得 x∈(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)．2 2*13.设函数 f(x)＝ ax－ ，曲线 y＝ f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为 7x－4 y－12＝0.bx(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 y＝ f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝ x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．14(1)解 方程 7x－4 y－12＝0 可化为 y＝ x－3.74当 x＝2 时， y＝ .又 f′( x)＝ a＋ ，12 bx2于是Error! 解得Error! 故 f(x)＝ x－ .3x(2)证明 设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋ ，知曲线在点 P(x0， y0)处的切线方3x2程为y－ y0＝ (x－ x0)，(1＋3x20)即 y－ ＝ (x－ x0)．(x0－3x0) (1＋ 3x20)令 x＝0，得 y＝－ ，6x0从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为 .(0， －6x0)令 y＝ x，得 y＝ x＝2 x0，从而得切线与直线 y＝ x的交点坐标为(2 x0,2x0)．所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x＝0， y＝ x所围成的三角形的面积为 S＝ |2x0|＝6.12|－ 6x0|故曲线 y＝ f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0， y＝ x所围成的三角形的面积为定值且此定值为 6.1第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第 1课时 导数与函数的单调性 理1．函数的单调性在某个区间( a， b)内，如果 f′( x)0，那么函数 y＝ f(x)在这个区间内单调递增；如果f′( x)0，右侧 f′( x)0，那么 f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求 f′( x)；②求方程 f′( x)＝0 的根；③考察 f′( x)在方程 f′( x)＝0 的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[ a， b]上连续的函数 f(x)在[ a， b]上必有最大值与最小值．(2)若函数 f(x)在[ a， b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[ a， b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值．(3)设函数 f(x)在[ a， b]上连续，在( a， b)内可导，求 f(x)在[ a， b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数 y＝ f(x)在( a， b)内的极值；②将函数 y＝ f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【知识拓展】1.在某区间内 f′( x)0(f′( x)0.( × )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′( x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( √ )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )(4)对可导函数 f(x)， f′( x0)＝0 是 x0点为极值点的充要条件．( × )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ )(6)三次函数在 R上必有极大值和极小值．( × )1．(教材改编) f(x)＝ x3－6 x2的单调递减区间为( )A．(0,4) B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)答案 A解析 f′( x)＝3 x2－12 x＝3 x(x－4)，由 f′( x)1，故选 A.4．函数 f(x)＝ ＋ x2－3 x－4 在[0,2]上的最小值是________．x33答案 －173解析 f′( x)＝ x2＋2 x－3，令 f′( x)＝0，得 x＝1( x＝－3 舍去)，又 f(0)＝－4， f(1)＝－ ， f(2)＝－ ，173 103故 f(x)在[0,2]上的最小值是 f(1)＝－ .1735．设 a∈R，若函数 y＝e x＋ ax有大于零的极值点，则实数 a的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 ∵ y＝e x＋ ax，∴ y′＝e x＋ a.∵函数 y＝e x＋ ax有大于零的极值点，则方程 y′＝e x＋ a＝0 有大于零的解，∵ x0时，－e x0)． x－ 1  x＋ 1x令 y′0，则其在区间(－π，π)上的解集为 和 ，(－ π ， －π2) (0， π2)即 f(x)的单调递增区间为 和 .(－ π ， －π2) (0， π2)思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求 f′( x)；(3)解不等式 f′( x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式 f′( x)0，即 8x－ 0，解得 x ，1x2 12∴函数 y＝4 x2＋ 的单调增区间为 .故选 B.1x (12， ＋ ∞ )(2)因为函数 f(x)＝ xln x，定义域为(0，＋∞)，所以 f′( x)＝ln x＋1( x0)，当 f′( x)0时，解得 x ，1e5即函数的单调递增区间为( ，＋∞)；1e当 f′( x)0)．(1)若函数 y＝ f(x)的导函数是奇函数，求 a的值；(2)求函数 y＝ f(x)的单调区间．解 (1)函数 f(x)的定义域为 R.由已知得 f′( x)＝ － a.exex＋ 1∵函数 y＝ f(x)的导函数是奇函数，∴ f′(－ x)＝－ f′( x)，即 － a＝－ ＋ a，解得 a＝ .e－ xe－ x＋ 1 exex＋ 1 12(2)由(1)知 f′( x)＝ － a＝1－ － a.exex＋ 1 1ex＋ 1①当 a≥1 时， f′( x)0，得(1－ a)(ex＋1)1，即 ex－1＋ ，解得 xln ，11－ a a1－ a由 f′( x)0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当 a≤0 时， f′( x)0，故 f(x)在(0, )上单调递减，在( ，＋∞)上1－ a2a 1－ a2a 1－ a2a单调递增．题型三 已知函数单调性求参数例 3 (2016·西安模拟)已知函数 f(x)＝ln x， g(x)＝ ax2＋2 x(a≠0)．12(1)若函数 h(x)＝ f(x)－ g(x)存在单调递减区间，求 a的取值范围；(2)若函数 h(x)＝ f(x)－ g(x)在[1,4]上单调递减，求 a的取值范围．解 (1) h(x)＝ln x－ ax2－2 x， x∈(0，＋∞)，12所以 h′( x)＝ － ax－2，由于 h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，1x所以当 x∈(0，＋∞)时， － ax－2 － 有解．1x2 2x设 G(x)＝ － ，所以只要 aG(x)min即可．1x2 2x而 G(x)＝( －1) 2－1，所以 G(x)min＝－1.1x所以 a－1.7(2)由 h(x)在[1,4]上单调递减得，当 x∈[1,4]时， h′( x)＝ － ax－2≤0 恒成立，1x即 a≥ － 恒成立．1x2 2x所以 a≥ G(x)max，而 G(x)＝( －1) 2－1，1x因为 x∈[1,4]，所以 ∈[ ，1]，1x 14所以 G(x)max＝－ (此时 x＝4)，716所以 a≥－ ，即 a的取值范围是[－ ，＋∞)．716 716引申探究1．本例(2)中，若函数 h(x)＝ f(x)－ g(x)在[1,4]上单调递增，求 a的取值范围．解 由 h(x)在[1,4]上单调递增得，当 x∈[1,4]时， h′( x)≥0 恒成立，∴当 x∈[1,4]时， a≤ － 恒成立，1x2 2x又当 x∈[1,4]时，( － )min＝－1(此时 x＝1)，1x2 2x∴ a≤－1，即 a的取值范围是(－∞，－1]．2．本例(2)中，若 h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求 a的取值范围．解 h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则 h′( x) － 有解，1x2 2x又当 x∈[1,4]时，( － )min＝－1，1x2 2x∴ a－1，即 a的取值范围是(－1，＋∞)．思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理： y＝ f(x)在( a， b)上单调，则区间( a， b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈( a， b)都有 f′( x)≥0 且在( a， b)内的任一非空子区间上 f′( x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．已知函数 f(x)＝e xln x－ aex(a∈R)．8(1)若 f(x)在点(1， f(1))处的切线与直线 y＝ x＋1 垂直，求 a的值；1e(2)若 f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数 a的取值范围．解 (1) f′( x)＝e xln x＋e x· － aex＝( － a＋ln x)ex，1x 1xf′(1)＝(1－ a)e，由(1－ a)e· ＝－1，得 a＝2.1e(2)由(1)知 f′( x)＝( － a＋ln x)ex，1x若 f(x)为单调递减函数，则 f′( x)≤0 在 x0时恒成立．即 － a＋ln x≤0 在 x0时恒成立．1x所以 a≥ ＋ln x在 x0时恒成立．1x令 g(x)＝ ＋ln x(x0)，1x则 g′( x)＝－ ＋ ＝ (x0)，1x2 1x x－ 1x2由 g′( x)0，得 x1；由 g′( x)0时恒成立，即 － a＋ln x≥0 在 x0时恒成立，1x所以 a≤ ＋ln x在 x0时恒成立，由上述推理可知此时 a≤1.1x故实数 a的取值范围是(－∞，1]．5．用分类讨论思想研究函数的单调性典例 (12 分)已知函数 f(x)＝ln x， g(x)＝ f(x)＋ ax2＋ bx，其中函数 g(x)的图象在点(1， g(1))处的切线平行于 x轴．(1)确定 a与 b的关系；(2)若 a≥0，试讨论函数 g(x)的单调性．9思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程 f′( x)＝0 是否有根；②若 f′( x)＝0 有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．规范解答解 (1)依题意得 g(x)＝ln x＋ ax2＋ bx，则 g′( x)＝ ＋2 ax＋ b.[2分]1x由函数 g(x)的图象在点(1， g(1))处的切线平行于 x轴得 g′(1)＝1＋2 a＋ b＝0，∴ b＝－2 a－1.[4 分](2)由(1)得 g′( x)＝2ax2－  2a＋ 1 x＋ 1x＝ . 2ax－ 1  x－ 1x∵函数 g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当 a＝0 时， g′( x)＝－ .x－ 1x由 g′( x)0，得 01，[6 分]当 a0时，令 g′( x)＝0，得 x＝1 或 x＝ ，[7 分]12a若 ，12a 12由 g′( x)0，得 x1或 01，即 00，得 x 或 0 时，函数 g(x)在(0， )上单调递增，12 12a在( ，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[12 分]12a1．(2016·合肥模拟)函数 f(x)＝ x·ex－e x＋1 的单调递增区间是( )A．(－∞，e) B．(1，e)C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)答案 D解析 由 f(x)＝ x·ex－e x＋1 ，得 f′( x)＝( x＋1－e)·e x，令 f′( x)0，解得 xe－1，所以函数 f(x)的单调递增区间是(e－1，＋∞)．2．已知函数 f(x)＝ x3＋ ax＋4，则“ a0”是“ f(x)在 R上单调递增”的( )12A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析 f′( x)＝ x2＋ a，当 a≥0 时， f′( x)≥0 恒成立，32故“ a0”是“ f(x)在 R上单调递增”的充分不必要条件．3．已知 f(x)＝1＋ x－sin x，则 f(2)， f(3)， f(π)的大小关系正确的是( )A． f(2)f(3)f(π)B． f(3)f(2)f(π)C． f(2)f(π) f(3)D． f(π) f(3)f(2)答案 D解析 因为 f(x)＝1＋ x－sin x，所以 f′( x)＝1－cos x，当 x∈(0，π]时， f′( x)0，所以 f(x)在(0，π]上是增函数，11所以 f(π) f(3)f(2)．故选 D.4．已知函数 f(x)＝ x＋ 在(－∞，－1)上单调递增，则实数 a的取值范围是( )1axA．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0,1]C．(0,1] D．(－∞，0)∪[1，＋∞)答案 D解析 函数 f(x)＝ x＋ 的导数为 f′( x)＝1－ ，1ax 1ax2由于 f(x)在(－∞，－1)上单调递增，则 f′( x)≥0 在(－∞，－1)上恒成立，即 ≤ x2在(－∞，－1)上恒成立，1a由于当 x1，则有 ≤1，解得 a≥1 或 af(c)f(d)B． f(b)f(a)f(e)C． f(c)f(b)f(a)D． f(c)f(e)f(d)答案 C解析 依题意得，当 x∈(－∞， c)时， f′( x)0，所以函数 f(x)在(－∞， c)上是增函数，因为 af(b)f(a)，因此 C正确．6．(2015·课标全国Ⅱ)设函数 f′( x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数， f(－1)＝0，当 x0时， xf′( x)－ f(x)＜0，则使得 f(x)0成立的 x的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)12D．(0,1)∪(1，＋∞)答案 A解析 因为 f(x)(x∈R)为奇函数， f(－1)＝0，所以 f(1)＝－ f(－1)＝0.当 x≠0 时，令 g(x)＝ ，f xx则 g(x)为偶函数， g(1)＝ g(－1)＝0.则当 x＞0 时， g′( x)＝[ ]′＝ ＜0，f xx xf′  x － f xx2故 g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当 0＜ x＜1 时， g(x)＞ g(1)＝0⇔ ＞0⇔ f(x)＞0；在(－∞，0)上，当 x＜－1 时， g(x)＜ g(－1)f xx＝0⇔ ＜0⇔ f(x)＞0.f xx综上，知使得 f(x)＞0 成立的 x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选 A.7．(2016·青岛模拟)若函数 f(x)＝ x3＋ bx2＋ cx＋ d的单调减区间为(－1,3)，则b＋ c＝________.答案 －12解析 f′( x)＝3 x2＋2 bx＋ c，由题意知－11，即 x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9．若函数 f(x)＝－ x3＋ x2＋2 ax在[ ，＋∞)上存在单调递增区间，则 a的取值范围是13 12 23________．答案 (－ ，＋∞)19解析 对 f(x)求导，得 f′( x)＝－ x2＋ x＋2 a＝－( x－ )2＋ ＋2 a.12 14当 x∈[ ，＋∞)时， f′( x)的最大值为 f′( )＝ ＋2 a.23 23 29令 ＋2 a0，解得 a－ ，29 19所以 a的取值范围是(－ ，＋∞)．1910．若函数 f(x)＝2 x3－3 mx2＋6 x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数 m的取值范围为________．答案 (－∞， ]52解析 ∵ f′( x)＝6 x2－6 mx＋6，当 x∈(2，＋∞)时， f′( x)≥0 恒成立，即 x2－ mx＋1≥0 恒成立，∴ m≤ x＋ 恒成立．1x令 g(x)＝ x＋ ， g′( x)＝1－ ，1x 1x2∴当 x2时， g′( x)0，即 g(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴ m≤2＋ ＝ .12 5211．(2016·北京)设函数 f(x)＝ xea－ x＋ bx，曲线 y＝ f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为y＝(e－1) x＋4.(1)求 a， b的值；(2)求 f(x)的单调区间．解 (1) f(x)的定义域为 R.∵ f′( x)＝e a－ x－ xea－ x＋ b＝(1－ x)ea－ x＋ b.依题设，Error!即Error!14解得 a＝2， b＝e.(2)由(1)知 f(x)＝ xe2－ x＋e x，由 f′( x)＝e 2－ x(1－ x＋e x－1 )及 e2－ x＞0 知，f′( x)与 1－ x＋e x－1 同号．令 g(x)＝1－ x＋e x－1 ，则 g′( x)＝－1＋e x－1 .所以，当 x∈(－∞，1)时， g′( x)＜0， g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当 x∈(1，＋∞)时， g′( x)＞0， g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故 g(1)＝1 是 g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而 g(x)＞0， x∈(－∞，＋∞)，综上可知， f′( x)＞0， x∈(－∞，＋∞)．故 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．12．已知函数 f(x)＝ln x， g(x)＝ ax＋ b.12(1)若 f(x)与 g(x)在 x＝1 处相切，求 g(x)的表达式；(2)若 φ (x)＝ － f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数 m的取值范围．m x－ 1x＋ 1解 (1)由已知得 f′( x)＝ ，1x∴ f′(1)＝1＝ a，∴ a＝2.12又∵ g(1)＝0＝ a＋ b，∴ b＝－1，∴ g(x)＝ x－1.12(2)∵ φ (x)＝ － f(x)＝ －ln x在[1，＋∞)上是减函数．m x－ 1x＋ 1 m x－ 1x＋ 1∴ φ ′( x)＝ ≤0 在[1，＋∞)上恒成立．－ x2＋  2m－ 2 x－ 1x x＋ 1 2即 x2－(2 m－2) x＋1≥0 在[1，＋∞)上恒成立，则 2m－2≤ x＋ ， x∈[1，＋∞)，1x∵ x＋ ∈[2，＋∞)，∴2 m－2≤2， m≤2.1x故实数 m的取值范围是(－∞，2]．*13.(2016·辽宁鞍山一中高三月考)已知函数 f(x)＝ x3－ x2.13 a2(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 g(x)＝ f(x)＋2 x，且 g(x)在区间(－2，－1)上存在单调递减区间，求实数 a的取值范围．15解 (1) f′( x)＝ x2－ ax＝ x(x－ a)，①当 a＝0 时， f′( x)＝ x2≥0 恒成立，∴ f(x)在 R上单调递增．②当 a0时，当 x∈(－∞，0)时， f′( x)0；当 x∈(0， a)时， f′( x)0，∴ f(x)的增区间为(－∞，0)，( a，＋∞)，减区间为(0， a)．③当 a0；当 x∈( a,0)时， f′( x)0，∴ f(x)的增区间为(－∞， a)，(0，＋∞)，减区间为( a,0)．(2)g′( x)＝ x2－ ax＋2，依题意，存在 x∈(－2，－1)，使不等式 g′( x)＝ x2－ ax＋20 成立，即当 x∈(－2，－1)时， a(x＋ )max＝－2 即可．2x 2所以满足要求的 a的取值范围是(－∞，－2 )．2