1、金太阳新课标资源网 第 1 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 北京市中国人民大学附属中学 2013 届高考冲刺数学（理）试卷（二）第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1若集合 ， ，则 等于2|, MyxR|2, NyxRMNI（A） （B） （C） （D） ， 0,(,)(2, 4)1, )2某校高三一班有学生 54 人，二班有学生 42 人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16 人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（A）8，8 （B）10，6（C）9，7 （D）12，4
2、3极坐标方程 化为直角坐标方程是cos（A） （B） 2()xy24xy（C） （D） 2(1)()4已知 是由正数组成的等比数列， 表示 的前 项的和若 ，nanSna13a，则 的值是 24110S（A）511 （B） 1023 （C）1533 （D）30695函数 的单调增区间是)2(cosxy（A） （B） , kkZ(, )2kkZ（C） （D）() 26已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三 角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于 （A） （B）123（C） （D）6427如图，双曲线的中心在坐标原点 ， 分别是双曲线虚O, AC轴的上
3、、下顶点， 是双曲线的左顶点， 为双曲线的左焦点，F直线 与 相交于点 .若双曲线的离心率为 2，则ABF的余弦值是 D（A） （B） 757（C） （D）4148定义区间 ， ， ， 的长度均为(,)ab,(, ab, ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, d侧视图正视图1俯视图xyOCBAFD金太阳新课标资源网 第 2 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 的长度 . 用 表示不超过 的最大整数，记(1,2)3,5(21)53dxx，其中 .设 ， ，若用 分别表示xxRfx()1g123,d不等式 ，方程 ，不等式 解集区间的长度，则当()fg(f时，有 0 （A） （B）12
4、3,08dd123, , 09d（C） （D） 5 6d第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 9复数 ， ，则 等于 .13iz21iz12z10在二项式 的展开式中，第四项的系数是 .6()x11如下图，在三角形 中， ， 分别为 ， 的中 ABCDEBCA点， 为 上的点，且 . 若 F4FxyE，则实数 ，实数 .y12执行右图所示的程序框图，若输入 ，5.2x则输出 的值为 y13如下图，在圆内接四边形 中, 对角线 相交于ABCD, ABD点 已知 ， ， ，E23E30C则 ， 的长是 CAB14对于各
5、数互不相等的整数数组 ( 是不小于 3 的正整数)，对于任意的),(321nii，当 时有 ，则称 ， 是该数组的一个“逆序” ，,1,23,pqn qpqppiq一个数组中所有“逆序” 的个数称为该数组的“逆序数” ，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组 中的逆序数为 ，则数组1(,)n n中的逆序数为 .1(,)nii三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 （本小题满分 13 分）A BCDEF开始输入 x是?i 5输出 y结束xy|2|yx否0, i1i金太阳新课标资源网 第 3 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 在锐
6、角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 已知 .ABCCabc3os24C（）求 ；sin（）当 ，且 时，求 .2ca37ba16 （本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，且 ，PABCDAB/ADBC，侧面 底面 . 若 .90ABCC12P（）求证： 平面 ；（）侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置并E/ E证明，若不存在，请说明理由；（）求二面角 的余弦值.PC17 （本小题满分 13 分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
7、 23（）记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望；（）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（）已知教师乙在某场比赛中，6 个球中恰好投进了 4 个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？ 18 （本小题满分 13 分）已知函数 .2()ln0)fxax (（）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求函数y1,Pf 2yx的单调区间；f（）若对于 都有 成立，试求 的取值范围；(0,)x()21)xaaABPCD金太阳新课标资源网 第 4 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 （）记 .当 时，函数
8、在区间 上有两个()()gxfbR 1a()gx1, e零点，求实数 的取值范围.19 （本小题满分 14 分）已知 ， 为椭圆 的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆 上异(2, 0)A(, )BCFPC于 ， 的动点，且 面积的最大值为 P23（）求椭圆 的方程及离心率；C（）直线 与椭圆在点 处的切线交于点 ，当直线 绕点 转动时，试判断以DA为直径的圆与直线 的位置关系，并加以证明BDF20 （本小题满分 14 分）有 个首项都是 1 的等差数列，设第 个数列的第 项为nmkmka，公差为 ，并且 成等差数列(,2,3, )mk d123,nna（）证明 （ ， 是 的多项式） ，并求
9、的12mdp3 p12p值；（）当 时，将数列 分组如下：, m(每组数的个数构成等差数列)123456789(), (,d设前 组中所有数之和为 ，求数列 的前 项和 40c2mcdnnS（）设 是不超过 20 的正整数，当 时，对于（）中的 ，求使得不等式 NnN成立的所有 的值(6)50nnSd金太阳新课标资源网 第 5 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 中国人民大学附属中学 2013 届高考冲刺数学（理）试卷（二）参考答案一、选择题: 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）答案 A C A D A B C B二、填空题:题号 （9） （10） （11
10、） （12） （13） （14）答案 1+2i160 2 1 0.8 306 423n三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.15 （本小题满分 13 分）解：（）由已知可得 .所以 .231sin4C27sin8C因为在 中， ，AB0所以 . 6 分4sinC（）因为 ，所以 .2ca14sini28因为 是锐角三角形，所以 ， .ABcosC52cos8A所以 sini()iinA. 1425148378由正弦定理可得： ，所以 . 13 分37siniaB16 （本小题满分 13 分）解法一：（）因为 ，所以 .90PADPAD金太阳新课标资源网 第 6 页 共 10 页 金太
11、阳新课标资源网 又因为侧面 底面 ，且侧面 底面 ，PADBCPADBCAD所以 底面 .而 底面 ，C所以 . 在底面 中，因为 ，B90，12A所以 ， 所以 .CDACD又因为 ， 所以 平面 . PPAC4 分（）在 上存在中点 ，使得 平面 ， E/B证明如下：设 的中点是 ， F连结 ， ， ，B则 ，且 ./EFAD12A由已知 ，90C所以 . 又 ，/所以 ，且 ，BEF所以四边形 为平行四边形，所以 ./BCF因为 平面 ， 平面 ，EPDP所以 平面 . 8 分/C（）设 为 中点，连结 ，GAG则 .又因为平面 平面 ，BA所以 平面 .P过 作 于 ，HD连结 ，由三
12、垂线定理可知 .CCHPD所以 是二面角 的平面角.设 ，则 , .2A1G5在 中， ，所以 .P所以 ， .tan5CH6cosC即二面角 的余弦值为 . 13 分AD6解法二：因为 ，90P所以 .又因为侧面 底面 ，ABC且侧面 底面 ，DDE FABPCDGHABPCDzyxABPCD金太阳新课标资源网 第 7 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 所以 底面 .PABCD又因为 ，90所以 ， ， 两两垂直.分别以 ， ， 为 轴，x轴， 轴建立空间直角坐标系，如图.yz设 ，则 ， ， ， ， . 2(,)(1,0)(,10)C(,20)D(,1)P（） ， ， ,0,1)AP
13、AC所以 ， ，所以 ， .DAP又因为 ， 所以 平面 . 4 分（）设侧棱 的中点是 ， 则 ， .E1(0, )21(,0 )2BE设平面 的一个法向量是 ，则 PC,xyzn.CDPn因为 ， ，(1, 0)D( 1)所以 取 ，则 .2.xyzx, 2所以 ， 所以 .(, )(, )0BEnBEn因为 平面 ，所以 平面 . 8 分PCBEAPCD（）由已知， 平面 ，所以 为平面 的一个法向量.A(1,)PA由（）知， 为平面 的一个法向量.(1, 2)设二面角 的大小为 ，由图可知， 为锐角，D所以 ., (, 0)6cos61Bn即二面角 的余弦值为 . 13 分APC17
14、（本小题满分 13 分）解：（）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知 XB(6， ). ( )66()3kkPkC, 3, 456X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 6P 72960791207914729所以 = .1( )E1或因为 XB(6， )，所以 . 即 X 的数学期望为 4 5 分32643EX金太阳新课标资源网 第 8 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 （）设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A，则 2415641232()()().3381PAC答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为 10 分.8（）设教师乙在这场比赛中获奖为事件 B，则 .2
15、46()5BA即教师乙在这场比赛中获奖的概率为 .2显然 ，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖235801的概率不相等 13 分18 （本小题满分 13 分）解: (I) 直线 的斜率为 1.yx函数 的定义域为 ，f(,)因为 ， 所以 ，所以 . 2()a2(11afa所以 . .lnfx)x由 解得 ；由 解得 .()0(0f所以 的单调增区间是 ,单调减区间是 . 4 分f2(0,2)(II) ，2axx由 解得 ；由 解得 .(0f()0fxa所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.)x(, a2(, )所以当 时，函数 取得最小值， .2)fxminyf
16、因为对于 都有 成立，(0,(21)a所以 即可.)1)fa则 . 由 解得 .2ln2(ln20e所以 的取值范围是 . 8 分a(0,)e(III)依题得 ，则 .2()lngxxb2()xg由 解得 ；由 解得 .1()01所以函数 在区间 为减函数，在区间 为增函数. 0, , )金太阳新课标资源网 第 9 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 又因为函数 在区间 上有两个零点，所以()gx1, e 1()0, .ge解得 .21b所以 的取值范围是 . 13 分(1, e19 （本小题满分 14 分）解：（）由题意可设椭圆 的方程为 ， C21(0)xyab(,)Fc由题意知 解得
17、 ， 3b1c故椭圆 的方程为 ，离心率为 6 分C214xy2（）以 为直径的圆与直线 相切 BDPF证明如下：由题意可设直线 的方程为A()ykx.(0)k则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 (2, )kBDE, 由 得 2143yx22241610xk设点 的坐标为 ，则 P0(,)y0234所以 ， 10 分206834kx1()kx因为点 坐标为 ，F(1, )当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .2P3(, )2D(2, )直线 轴，此时以 为直径的圆 与直线 相切xB2()1xyPF当 时，则直线 的斜率 .1k04PFkk所以直线 的方程为 PF24(1)yx点 到直线 的距离
18、 E228461()kkd328|k1, .abc OF EP DBAyx金太阳新课标资源网 第 10 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 又因为 ，所以 |4|BDk1|2dBD故以 为直径的圆与直线 相切PF综上得，当直线 绕点 转动时，以 为直径的圆与直线 相切14 分APF20 （本小题满分 14 分）解：（）由题意知 1()mnmad，212121()()na nd同理， ， ，32324343()a(1)()nn又因为 成等差数列，所以 .23,a 2132(1)nnnnaa故 ，即 是公差为 的等差数列21 1nddd 1d所以， 212()()()mm令 ，则 ，此时 4
19、分2,p2pp（）当 时， 1 3* mN数列 分组如下： md123456789(), ,)(,)dd按分组规律，第 组中有 个奇数，所以第 1 组到第 组共有 个奇数21注意到前 个奇数的和为 ，k()k所以前 个奇数的和为 . 224()即前 组中所有数之和为 ，所以 4mc因为 ，所以 ，从而 0mcmc *(21)()mdN所以 .234157321nnnS .234()n故 ()nn23 1(2nn.11)()n(3)26所以 9 分(6nS（）由（）得 ， .*2()dN1()nnS* ()N故不等式 就是 1()50nnb13250考虑函数 1350()f1()0n当 时，都有 ，即 ,24)f(2而 ，(6)918)6注意到当 时， 单调递增，故有 .n ()0f因此当 时， 成立，即 成立 13250n1(6)5nnSd所以,满足条件的所有正整数 14 分,67,2N
