九年级数学上册 第24章 解直角三角形导学案（无答案）（打包8套）（新版）华东师大版.zip

124.1 测量【学习目标】1、了解 测量的方法；2、运用测量的方法解决实际问题.【学 习重难点】掌握测量的方法.【学习过程】一、课前准备当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？二、学习新知自主学习：试一试.如图所示，站在离旗杆 BE 底部 10 米处的 D 点，目测旗杆的顶部，视线 AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高 AD 为 1 米。现在请你按 1：500 的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B1C1,用刻度尺量出纸上 B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方法吗？设计一种方案，测量学校科技楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利 用人的身高和标杆，依据相似三角形三角对应成比例和平行线的性质，可 测出大楼的高度。解答：测量过程如下：1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。2、测出 CF、CH 的距离23、算出 KE 的长度。4、用标杆长度减去人的身高，即 DE 的长度。5、由 DE∥AB 得△KDE∽△KAB。又因为相似三角形三边对应成比例，∴ KBEAD6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算 出 AB 的长度。7、用 AB 加上人的身高即得出大楼的高度。探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、 楼顶在一条直线上 （人是站立的） 。2．大楼的高度=AB+人高。3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以至用。实例分析：例 1、如图所示，站在离旗杆 BE 底部 10 米处的 D 点，目测旗杆的顶部，视线 AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高 AD 为 1 米。现在请你按 1：500 的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B1C1,用刻度尺量出纸上 B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方法吗？【随堂练习】1．已知在△ABC 中，∠A=30°，AB=1 米，现要用 1：100 的比例尺把△ABC 画在纸上记作△A′B′C′，那么 A′B′=________，∠A′=______．2．在某时刻的阳光照耀下，身高 160cm的阿美的影长为 80cm，她身旁的旗杆影长10m，则旗杆高为___ ____m．3．在比例尺是 1：38000 的某交通游览图上，某隧道长约 7cm，它的 实际长度约为（ ）A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km34．如图 1，雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，他的身高为 AB，从他前面不远的一小块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影 C 点，于是他向前走了两步，到达积水处，又继续向前走，到达旗杆底部时他共走了 18 步（假设他的步幅是不变的） ，已知他眼部 A 点高1.5m，则旗杆 DE 的高度为多少？（学生一步长为 1m）解：由题意得△ABC∽△DEC．∴ 1.52,6ABCEDE即 ①∴DE=21 3，∴旗杆 DE 高度为 2113m． ②（1）上述解题过程有无错误？如有，错在第______步，错误原 因是________．（2）请写出正确解题的过程．【中考连线】如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得 30BD°，在 C点测得 60BCD°，又测得 50AC米，则小岛 B 到公路 l 的 距离为（ ）米．A．25 B． 253C． 103D． 253答案：随堂练习1．1 厘米 35° 2．20 3．B4． （1）② 相 似三角形对应边对应错误（2）正确解答：由题意得△ABC∽△DEC． 1.52,6ABCDE即,∴DE=12．中考连线4B124.2 直角三角形的性质【学习目标 】1. 掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一 半。2. 会应用直角三角形的性质解决有关图形的计算和证明。【学习重难点】掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的 一半。【学习过程】一、课前准备1、三角形的内角和为 度。2、在△ABC 中，若∠C=90°，则∠A+∠B= 。3、直角三角形的两个锐角 。4、勾股定理：二、学习新知自主学习：探索如图,画 Rt△ABC，并画出斜边上的中线 CD，量一量，看看 CD 与 AB 有什么 关系.AB 与 CD 的关系： .2.我们来证明猜想试一试已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的中线.求证：CD= 21AB2从上题中，你 可以得出直角三角形斜边上的中线有什么性质？性质：直角三角形斜边上的中线 。几何语言（如上图）：∵ ，∴实例分析：例 1、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°,∠A=30°.求证：BC= 21AB【随堂练习】1、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A．形状相同 B． 周长相等 C．面积相等 D．全等2、如 果直角三角形的面积是 12，斜边上的高是 2，那么斜边上的中线长是____________。3、等腰直角三角形斜边上的中线长为 4cm，则其面积为_________ ________。4、直角三角形的面积为 S，斜边上的中线长为 d，则这个三角形周长为（ ）3A． 2ds B． 2ds C． 2ds D． 2ds5、已知直角三角形的周长为 14，斜边上的中线长为 3．则直角三角形的面积为（ ）A、5 B、6 C、7 D、8【中考连线】如图，△ABC 中，D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且 BE⊥AC．若 DE=10，AE=16，则 BE 的长度为何？（ ）A． 10 B．11 C． 12 D． 13【参考答案】随堂练习1、C 2、6 3、16 4、C 5、C中考连线C124.3.1 锐角 三角函数【学习目标】1.掌握锐角三角函数的概念。2.通过学习，培养学生学数学、用数学的意识与能力【学习重难点】掌握锐角三角函数的概念【学习过程】一、课前准备如 图，已知 B1C1⊥AC 2，B 2C2⊥AC 2，求证： 1ABC＝ 2二、学习新知自主学习：我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度 ，其中都出现了 两个相似的直角三角形，即△ABC∽△A′B′C′．按 501的比例，就一定有 501ACB， 就 是它们的相似比．当然也有 CAB．我们已经知道，直角三角形 ABC 可以简记为 Rt△A BC，直角∠C 所对的边 AB 称为斜边，用 c 表示，另两条直角 边分别为∠A 的对边与邻边，用 a、b 表示（如图 25．2．1）． 图 25.1 前面的结论告诉 我们，在 Rt△ABC 中，只 要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻 边的比值是一个固定的值．思考2一般情 况下，在 Rt△ABC 中，当锐角 A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？图 25.2 观察图 25．2．2 中的 Rt△ 1CAB、Rt△ 和 Rt△ 3CAB，易知Rt△ 1CAB∽Rt△_________∽Rt△________，所以 1＝_________＝____________．可见，在 Rt△ABC 中，对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．我们同样可以发现，对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．因此这几个比值都是锐角 A 的函数，记作 sinA、cosA、tanA，即sinA＝ 斜 边的 对 边，cosA＝ 斜 边的 邻 边，tanA＝ 的 邻 边的 对 边A．分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A 的三角函数．显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．根据三角函数的定义，我们还可得出 A22cossin＝1 图 25.3 3实例分析：例 1、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=15,BC=8.试求出图中∠A 的三个三角函数值。解：【随堂练习】1、在△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，则下列各项中正确的是（ ）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确2、在 Rt△ABC 中，∠C=900167，AC=5，AB=13，则sinA=____，cosA=______，tanA=______．3、如图 2，在△ABC 中，∠C=90° ，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．4、如图 1－1－6，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值．【中考连线】如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC 于 D，∠CBD=α，AB=3，BC=4，求sinα，cosα，tanα 的值．4【参考答案】随堂练习1、B 2、 3， 51， 2 3、 15， 2，2 4、sinD= 5，cosD= 3，tanD=43中考连线sinα= 45，cosα= 3，tanα= 4 124.3.2 特殊角的三角函数【学习目标】1、能推导并熟记 30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。2、能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重难点】熟记 30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习过程】一、课前准备一个直角三角形 中，一个锐角正弦是怎么定义 的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、学习新知自主学习：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．归纳结果0° 30° 45° 60° 90°sinAcosA2tanAcotA当锐角 越来越大时, 的正弦值越来___________， 的余弦 值 越来___________.当锐角 越来越大时, 的正切值越来___________， 的余切值越来___________.实例分析：例 1、求值：sin30°·tan 30°+cos60°·tan60°解：【随堂练习】计算：（1）2sin30°－3cos60°+tan45°； （2）cos30°+cos45°•sin45°+sin30°；（3）3tan30°－2tan45°+2cos30°； （4）2cos 30°+5tan60°－2sin 30°；124.3.3 用计算器求锐角三角函数值【学习目标】会用计算器求任意锐角三角函数值以及由已知三角函数值求锐角【学习重难点】会用计算器求任意锐角三角函数值以及由已知三角 函数值求锐角【学习过程】一、课前准备1、回忆 300、45 0、60 0角的三角函数值，你能熟练地说出来 吗？2、什么叫有效数字？二、学习新知自主学习：1、根据课本 110 页操作,演练一下 53°的相关三角函数值。(写出步骤)2、如何用计算器求一个锐角的三角函数值？ 请你整理一下你手中计算器的操作步骤。3、求 sin6°的值 。(精确到 0.0001)4、比 一比，看 谁算得快 (精确到 0.0001)(1) cos78°28′ (2)t an71°36′25″5、在已知一个锐角的三角函数值时，如何用计算器求锐角？操作步骤怎样？已知 cosα=0.618.求锐角 α.2实例分析：例 3、求 sin63°52'41“的值(精确到 0.0001)解：例 4、求 tan19°15'的值.(精确到 0.0001)解：例 5、已知 tanx=0.7410，求锐角 x.(精确到 1')解：【随堂练习】1、利用计算器求∠A=18°36′的三 个三角函数值．2、在△ABC 中，∠C=90°，a=3，b=2，求 sinA+cosA+tanB·cotA 的值．3、计算：sin90°+sin30°+ta n0°+cos60°+cos90°-tan45°-cos0°．4、等腰三角形底角是 55°，底边上的高是 11.3， 求腰与顶角．【中考连线】如图，在坡屋顶的设计图中， ABC，屋顶的宽度 l为 10 米，坡角 为 35°，则坡屋顶高度 h为 米．（结果精确到 0.1 米）3【参考答案】随堂练习1、∠A=18°36′，∴sinA=sin18°36′≈0.319 0，cos18°36′≈0.947 8，tan18°36′≈0.336 5，2、si nA+cosA+tanB·cotA=0.832 0+0.554 7+0.666 7≈1.831 2．3、原式=1+ 1+0+ 2+0-1-1=0．4、顶角为 70°，腰长为 13.79．中考连线3.5AB Chl124.4.1 解直角三角形【学习目标】1.巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。2.学会运用三角函数解直角三角形。3.掌握解直角三角形的几种情况。【学习重难点】1.使学生养成“先画图，再求解”的习惯。2.运用三角函数解直角三角形。【学习过程】一、课前准备1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形 ABC 中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢 ？(1)边角之间关系如果用 表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的 对 边的 邻 边；的 邻 边的 对 边；斜 边的 邻 边；斜 边的 对 边  cottancossin(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系(勾股定理) 二、学习新知自主学习：我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决 与直角三角形有关的实际问题的有效工具.例 1 如图所示，一棵大树在一次强烈 的地震中于离地面 5 米处折断倒下，树顶落在离树根 12 米处.大树在折 断之前高多少？2解 利用勾股定理可以求出折断 倒下部分的长度为 132513＋5＝18（米）.所以，大树在折断之前高为 18 米.在例 1 中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中， 由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.解直角三角形 只有下面两种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角.实例分析：例 1、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面 5 米处 折断倒下，树顶落在离树根 12 米处.大树在折断之前高多少？解：例 2、如图，东西两炮台 A、 B 相距 2000 米，同时发现 入侵敌舰 C，炮台 A 测得敌舰C 在它的南偏东 40 ゜的方向，炮台 B 测得敌舰 C 在 它的正南方，试求敌舰与两炮台的距 离.（精确到 1 米）3解：【随堂练习】1、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB的延长线上的 D′处，那么 tan∠BAD′等于（ ） (A)1 (B) 2(C) 2(D)2、如图，在△ ABC 中，若∠ A＝30°，∠ B＝45°， AC＝ 2， 则 BC＝ w【中考连线】已知：如图，在 ΔABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若∠B＝30°，CD＝6，求 AB 的长．4【参考答案】随堂练习1、B 2、中考连线8 3124.4.2 解直角 三角形【学习目标】1、了解仰角、俯角、方位角的概念，能根据直角三角形的知识解决仰角、俯角、方位角有关的实际问题。2、通过借助辅助线解决实际问题过些，使掌握数形结合、抽象归纳的思想方法。3、感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义。【学习重难点】了解仰角、俯角、 方位角的概念，能根据直角三角形的知识解 决仰角、俯角、方位角有关的实际问题。【学习过程】一、课前准备1、解直角三角形的几种情况：2、求下列直角三角形 未知元素的值 二、学习新知自主学习：读一读如图，在进行测量时，从下向 上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2图 实例分析：例１、如图，为了测量旗杆的高度 BC，在离旗杆 10A 米的 C 处，用高 1.20 米的测角仪 DA 测得旗杆顶端 C 的仰角 α＝52°，求旗杆 BC 的高.（精确到 0.1 米）解：【随堂练习】1.如图：一棵大树的一段 BC被风吹断，顶端着地与地面成 300角，顶端着地处 C 与大树底端相距 4 米，则原来大树高为_________米.2.甲、乙两楼相距 50 米，从乙楼底望甲楼顶 仰角为 60°，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30°，求两楼的高度，要求画出正确图形。3【中考连线】某船向正东航行，在 A 处 望见灯塔 C 在东北方向，前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西30o,又航行 了半小时到 D 处，望灯塔 C 恰在西北方向，若船速为每小时 20 海里，求 A、D两点间的距离。（结果不取近似值）【参考答案】随 堂练习1、 34 2、 310中考 连线A、D 两点间的距离为（30＋10 ）海里。3124.4.3 解直角三角形【学习目标】1．掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.【学习重难点】掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。【学习过程】一、课前准备1.计 算: 60cotan3s0sin2222．如图，两建 筑物的水平距离 BC 为 24 米，从点 A 测得点 D 的俯角 α＝30°，测得点 C 的俯角 β＝60°，求 AB 和 CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）二、学习新知自主学习：1.坡面的铅垂高度（h）和水平长度（ l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 i，即 i ．(坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i＝1∶6．)2.坡面与水平面的 夹角叫做坡角，记作 α，有 tanα＝ ．3.坡度越大，坡角 α 就越 ，坡面就越 ．2图 25.3.6 图 25.3.5 实例分析：例 1 如图 25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为 4．2 米，上底的宽是 12．51 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 32°和 28°．求路基下底的宽．（精确到 0．1 米）解：3【随堂练习】1. 如果 a是等腰直角三角 形的一个锐角，则 tan的值是 。2.如图，坡角为 30的斜坡上两树间的水平距离 AC为 2m，则两树间的坡面距离AB为（ ）A． 4m B． 3 C． 43m D． 43m3. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平面所成角的度 数是 30°，为使出水口的高度为 35m，那么需要准备的水管的长为（ ）A.17.5m B.35m C. 35m D.70m4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离 AC=3 米， 3cos4BAC，则梯子 AB的长度为 米．45.在 RtABC△ 中， 90， :3:4BCA，则 cosA ．【中考连线】河堤横断面如图所示，堤高 BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1： ，则 AB 的长为（ ）A．12 B．4 米 C．5 米 D．6 米【参考答案】随堂练习1、1 2、B 3、D 4、4 5、 4中考连线A