2019版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形（课件+学案+练习）（打包28套）理.zip

课后作业夯关3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 13．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识梳理]1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合S＝{ β |β ＝ α ＋ k·360°， k∈Z}．(4)相关结论①象限角2②轴线角2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.(2)公式3．任意角的三角函数3[诊断自测]1．概念思辨(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．( )(3)α ∈ ，则 tanα α sinα .( )(0，π 2)(4)α 为第一象限角，则 sinα ＋cos α 1.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(必修 A4P9T5)直径为 4 的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( )A. B. C. D.4π5 2π5 π 3 π 2答案 B解析 ∵36°＝36× rad＝ rad，∴36°的圆心角所对的弧长为 l＝ ×2＝ .故π180 π 5 π 5 2π5选 B.(2)(必修 A4P21T9)设 θ 是第三象限角，且 ＝－cos ，则 是( )|cosθ 2| θ 2 θ 24A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案 B解析 由 θ 在第三象限，所以 2kπ＋π0，tan θ 0)，当 α 为多少弧度时，该扇形有最大面积？”解 扇形周长 C＝2 R＋ l＝2 R＋ αR ，∴ R＝ ，C2＋ α∴ S 扇 ＝ α ·R2＝ α · 2＝ · ＝ · ≤ .12 12 ( C2＋ α ) C2α2 14＋ 4α ＋ α 2 C22 14α ＋ 4＋ α C216当且仅当 α 2＝4，即 α ＝2 时，扇形面积有最大值 .C216方法技巧应用弧度制解决问题的方法1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．见典例(1)．2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．见典例(3)．3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．提醒：弧度制下 l＝| α |·r， S＝ lr，此时 α 为弧度．在角度制下，弧长 l＝ ，12 nπ r180扇形面积 S＝ ，此时 n 为角度，它们之间有着必然的联系．nπ r2360冲关针对训练(2018·大连模拟)一个半径为 R 的扇形，它的周长为 4R，则这个扇形所含弓形的面积是( )A. B. R2sin1·cos1R22 12C. R2(2－sin1·cos1) D． R2(1－sin1·cos1)12答案 D解析 设圆心角为 θ ，由题知 2R＋ R·θ ＝4 R，得 θ ＝2，所以 S 弓 ＝ S 扇 － S 三角形＝ ×2R·R－ R2·sin2＝ R2－ R2·sin2＝ R2· ＝ R2(1－sin1·cos1)．故选 D.12 12 12 (1－ 12sin2)题型 3 任意角三角函数的定义及应用角度 1 利用三角函数定义求值8已知角 α 的顶点在原点，始边为 x 轴的非负半轴．若角 α 终边经过点 P(－ 典 例， y)，且 sinα ＝ y(y≠0)，则判断角 α 所在的象限，并求 cosα 和 tanα 的值．334定义法．解 依题意， P 到原点 O 的距离为|PO|＝ ，∴sin α ＝ ＝ ＝ y.－ 32＋ y2yr y3＋ y2 34∵ y≠0，∴9＋3 y2＝16，∴ y2＝ ，∴ y＝± .73 213∴点 P 在第二或第三象限．当 P 在第二象限时，y＝ ，cos α ＝ ＝－ ，tan α ＝－ .213 xr 34 73当 P 在第三象限时，y＝－ ，cos α ＝ ＝－ ，tan α ＝ .213 xr 34 73角度 2 利用三角函数线比较大小，解不等式sin1，cos1，tan1 的大小关系是( ) 典 例A．sin1cos1tan1 B．sin1tan1cos1C．tan1sin1cos1 D．tan1cos1sin1单位圆法．答案 C解析 作单位圆，作出锐角 1 弧度的正弦线 BP，余弦线 OB，正切线 AT，可得tan1sin1cos1，故选 C.方法技巧三角函数定义问题的常见类型及解题策略1．已知角 α 终边上一点 P 的坐标，可求角 α 的三角函数值．先求 P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．2．利用单位圆解三角不等式的步骤9(1)确定区域的边界(注意边界的虚实)；(2)确定区域；(3)写出解集．3．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sinα ，cos α ，tan α )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．提醒：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．冲关针对训练1．设 0)，且 cosα ＝ x，236求 sinα ＋ 的值．1tanα解 角 α 的终边经过点 P(x，－ )(x0)，2∵ r＝ ，∵cos α ＝ ＝ x，可得 x＝ .则 r＝2 .x2＋ 2xr 36 10 3sinα ＝ ＝－ ＝－ ，tan α ＝ ＝－ ＝－ .yr 223 66 yx 210 55那么 sinα ＋ ＝－ － ＝－ .1tanα 66 5 6＋ 6561．(2017·商丘期末)已知点 P(－ ， y)为角 β 的终边上的一点，且 sinβ ＝ ，则31313y 的值为( )A．± B. C．－ D．±212 12 12答案 B解析 由题意可得：| OP|＝ ，所以 sinβ ＝ ＝ ，所以 y＝± ，又因y2＋ 3yy2＋ 3 1313 12为 sinβ ＝ ，所以 y0，所以 y＝ .故选 B.1313 12102．(2018·东莞月考)角 β 的终边上有一点 P(－ m， m)，其中 m≠0，则 sinβ ＋cos β的值为( )A. B．－ C．0 D. 或－2 2 2 2答案 C解析 角 β 的终边上有一点 P(－ m， m)，其中 m≠0，∴ r＝| OP|＝ |m|，2当 m0 时，cos β ＝ ＝－ ，－ m2|m| 22sinβ ＝ ＝ ，∴sin β ＋cos β ＝0；m2|m| 22当 m0)是角 α 终边上的一点，则 2sinα ＋cos α ＝________.答案 25解析 ∵| OP|＝ ＝5| m|＝5 m(m0)，－ 4m2＋ 3m2∴sin α ＝ ＝ ，cos α ＝ ＝－ ，3m5m 35 － 4m5m 45∴2sin α ＋cos α ＝2× － ＝ .35 45 25[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．给出下列四个命题：①－ 是第二象限角；② 是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是3π4 4π3第一象限角．其中正确命题的个数为( )11A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析 ①中－ 是第三象限角，故①错．②中 ＝π＋ ，从而 是第三象限角，3π4 4π3 π 3 4π3故②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选 C.2．sin2·cos3·tan4 的值( )A．小于 0 B．大于 0C．等于 0 D．不存在答案 A解析 ∵ 0，cos30.∴sin2·cos3·tan4cosθ tanθ B．cos θ tanθ sinθC．sin θ tanθ cosθ D．tan θ sinθ cosθ答案 D解析 ∵ 1，sin θ －cos θ ＝ sin .∵ 0，∴sin θ cosθ .故选 D.(θ －π 4)5．在△ ABC 中，若 sinA·cosB·tanC0.∵sin A·cosB·tanC0.∴ B， C 中必定有一个钝角．∴△ ABC 是钝角三角形．故选 B.6．(2018·永昌期末)已知角 α 的终边经过点(3 a,4a)(a≠0)，则 sinα ＋cos α 的值为( )12A. B．－ C．± D．±75 75 75 34答案 C解析 ∵角 α 的终边经过点(3 a,4a)(a≠0)，当 a0 时，r＝5 a，sin α ＝ ＝ ，cos α ＝ ＝ ，sin α ＋cos α ＝ ；yr 45 xr 35 75当 asinβ ，那么下列命题成立的是( )A．若 α ， β 是第一象限的角，则 cosα cosβB．若 α ， β 是第二象限的角，则 tanα tanβC．若 α ， β 是第三象限的角，则 cosα cosβD．若 α ， β 是第四象限的角，则 tanα tanβ答案 D解析 由三角函数线可知，选 D.8．已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A．2 B．sin2 C. D．2sin12sin1答案 C解析 如图，∠ AOB＝2 弧度，过 O 点作 OC⊥ AB 于 C，并延长 OC 交弧 AB 于 D.则∠ AOD＝∠ BOD＝1 弧度，且 AC＝ AB＝1，1213在 Rt△ AOC 中， AO＝ ＝ ，ACsin∠ AOC 1sin1即 r＝ ，从而弧 AB 的长为 l＝| α |·r＝ .故选 C.1sin1 2sin19．若 α 是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A．sin α ＋cos α 0，则可排除 A，C，D.故选B.10．(2018·江西模拟)已知角 α 的终边经过点( ， )，若 α ＝ ，则 m 的值为( )m 3m7π3A．27 B. C．9 D.127 19答案 B解析 角 α 的终边经过点( ， )，若 α ＝ ，则m 3m7π3tan ＝tan ＝ ＝ ＝ m－ ，则 m＝ .故选 B.7π3 π 3 3 3mm 16 127二、填空题11．(2017·广州模拟)若角 θ 的终边经过点 P(－ ， m)(m≠0)且 sinθ ＝ m，则324cosθ 的值为________．答案 －64解析 点 P(－ ， m)是角 θ 终边上一点，由三角函数定义可知 sinθ ＝ .又3m3＋ m2sinθ ＝ m，24∴ ＝ m.m3＋ m2 24又 m≠0，∴ m2＝5，∴cos θ ＝ ＝－ .－ 33＋ m2 6412．(2018·济南期末)已知 ＝－ ，且 lg cosα 有意义，则 α 所在象限1|sinα | 1sinα为第________象限．答案 四解析 由 ＝－ 可知，sin α 0，∴ α 是第一或第四象限角或终边在 x 轴的非负半轴上的角，综上可知角 α 是第四象14限角．13．若角 α 的终边在直线 y＝－3 x 上，则 10sinα ＋ ＝________.3cosα答案 0解析 设角 α 终边上任一点为 P(k，－3 k)(k≠0)，则 r＝ ＝ ＝x2＋ y2 k2＋ － 3k2|k|.10当 k0 时， r＝ k.10∴sin α ＝ ＝－ ， ＝ ＝ .－ 3k10k 310 1cosα 10kk 10∴10sin α ＋ ＝－3 ＋3 ＝0.3cosα 10 10当 k0.(1)求 α 角的集合；(2)求 终边所在的象限；α 2(3)试判断 tan sin cos 的符号．α 2 α 2 α 2解 (1)由 sinα 0，知 α 在第一、三象限，故 α 角在第三象限，其集合为{ α .|2kπ ＋ π 0，cos 0，α 2 α 2所以 tan sin cos 也取正号．α 2 α 2 α 2因此，tan sin cos 取正号．α 2 α 2 α 2 第 3章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 基础知识过关经典题型冲关13．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．给出下列四个命题：①－ 是第二象限角；② 是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第3π4 4π3一象限角．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析 ①中－ 是第三象限角，故①错．②中 ＝π＋ ，从而 是第三象限角，3π4 4π3 π 3 4π3故②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选 C.2．sin2·cos3·tan4 的值( )A．小于 0 B．大于 0C．等于 0 D．不存在答案 A解析 ∵ 0，cos30.∴sin2·cos3·tan4cosθ tanθ B．cos θ tanθ sinθC．sin θ tanθ cosθ D．tan θ sinθ cosθ答案 D解析 ∵ 1，sin θ －cos θ ＝ sin .∵ 0，∴sin θ cosθ .故选 D.(θ －π 4)25．在△ ABC 中，若 sinA·cosB·tanC0.∵sin A·cosB·tanC0.∴ B， C 中必定有一个钝角．∴△ ABC 是钝角三角形．故选 B.6．(2018·永昌期末)已知角 α 的终边经过点(3 a,4a)(a≠0)，则 sinα ＋cos α 的值为( )A. B．－ C．± D．±75 75 75 34答案 C解析 ∵角 α 的终边经过点(3 a,4a)(a≠0)，当 a0 时，r＝5 a，sin α ＝ ＝ ，cos α ＝ ＝ ，sin α ＋cos α ＝ ；yr 45 xr 35 75当 asinβ ，那么下列命题成立的是( )A．若 α ， β 是第一象限的角，则 cosα cosβB．若 α ， β 是第二象限的角，则 tanα tanβC．若 α ， β 是第三象限的角，则 cosα cosβD．若 α ， β 是第四象限的角，则 tanα tanβ答案 D解析 由三角函数线可知，选 D.8．已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A．2 B．sin2 C. D．2sin12sin1答案 C3解析 如图，∠ AOB＝2 弧度，过 O 点作 OC⊥ AB 于 C，并延长 OC 交弧 AB 于 D.则∠ AOD＝∠ BOD＝1 弧度，且 AC＝ AB＝1，12在 Rt△ AOC 中， AO＝ ＝ ，ACsin∠ AOC 1sin1即 r＝ ，从而弧 AB 的长为 l＝| α |·r＝ .故选 C.1sin1 2sin19．若 α 是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A．sin α ＋cos α 0，则可排除 A，C，D.故选 B.10．(2018·江西模拟)已知角 α 的终边经过点( ， )，若 α ＝ ，则 m 的值为( )m 3m7π3A．27 B. C．9 D.127 19答案 B解析 角 α 的终边经过点( ， )，若 α ＝ ，则m 3m7π3tan ＝tan ＝ ＝ ＝ m－ ，则 m＝ .故选 B.7π3 π 3 3 3mm 16 127二、填空题11．(2017·广州模拟)若角 θ 的终边经过点 P(－ ， m)(m≠0)且 sinθ ＝ m，则324cosθ 的值为________．答案 －64解析 点 P(－ ， m)是角 θ 终边上一点，由三角函数定义可知 sinθ ＝ .又3m3＋ m2sinθ ＝ m，24∴ ＝ m.m3＋ m2 24又 m≠0，∴ m2＝5，∴cos θ ＝ ＝－ .－ 33＋ m2 64412．(2018·济南期末)已知 ＝－ ，且 lg cosα 有意义，则 α 所在象限为1|sinα | 1sinα第________象限．答案 四解析 由 ＝－ 可知，sin α 0，∴ α 是第一或第四象限角或终边在 x 轴的非负半轴上的角，综上可知角 α 是第四象限角．13．若角 α 的终边在直线 y＝－3 x 上，则 10sinα ＋ ＝________.3cosα答案 0解析 设角 α 终边上任一点为 P(k，－3 k)(k≠0)，则r＝ ＝ ＝ |k|.x2＋ y2 k2＋  － 3k2 10当 k0 时， r＝ k.10∴sin α ＝ ＝－ ， ＝ ＝ .－ 3k10k 310 1cosα 10kk 10∴10sin α ＋ ＝－3 ＋3 ＝0.3cosα 10 10当 k0.(1)求 α 角的集合；(2)求 终边所在的象限；α 2(3)试判断 tan sin cos 的符号．α 2 α 2 α 2解 (1)由 sinα 0，知 α 在第一、三象限，故 α 角在第三象限，其集合为{ α .|2kπ ＋ π 0，cos 0，α 2 α 2所以 tan sin cos 也取正号．α 2 α 2 α 2因此，tan sin cos 取正号．α 2 α 2 α 2课后作业夯关3． 2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 13．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式[知识梳理]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α ＋cos 2α ＝1.(2)商数关系： ＝tan α .sinαcosα (α ≠ π 2＋ kπ ， k∈ Z)2．三角函数的诱导公式2[诊断自测]1．概念思辨(1)存在角 α ， β ，使 sin2α ＋sin 2β ＝1.( )(2)若 sin(α －37°)＝ ，则 cos(α ＋53°)＝－ .( )13 13(3)若 sin(kπ－ α )＝ (k∈Z)，则 sinα ＝ .( )13 13(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限” ，其中的奇、偶是指 的奇数π 2倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化；其中的“符号”与 α 的大小无关．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修 A4P29B 组 T2)已知 cos ＝ ，且 α ∈ ，则 tanα ＝( )(π 2＋ α ) 35 (π 2， 3π2)A. B. C．－ D．±43 34 34 34答案 B解析 因为 cos ＝ ，所以 sinα ＝－ .显然 α 在第三象限，所以(π 2＋ α ) 35 35cosα ＝－ ，故 tanα ＝ .故选 B.45 34(2)(必修 A4P71T3)设函数 f(x)＝ － ，且 f(α )＝1， α 为第二象限角，1＋ sinx1－ sinx 1－ sinx1＋ sinx则 tanα 的值( )A. B．－ C. D．－12 12 13 133答案 B解析 ∵函数 f(x)＝ － ，且 f(α )＝1， α 为第二象限角．1＋ sinx1－ sinx 1－ sinx1＋ sinx∴ － ＝ － ＝－ － ＝－2tan1＋ sinα1－ sinα 1－ sinα1＋ sinα |1＋ sinαcosα | |1－ sinαcosα | 1＋ sinαcosα 1－ sinα－ cosαα ＝1，∴tan α ＝－ .12故选 B.3．小题热身(1)(2018·石家庄一模)已知 f(α )＝，则 f 的值为( )sinπ － α ·cos2π － α cos－ π － α ·tanπ － α  (－ 25π3 )A. B．－ C. D．－12 12 32 32答案 A解析 ∵ f(α )＝ ＝cos α ，sinα cosα－ cosα ·－ tanα ∴ f ＝cos ＝cos ＝cos ＝ .故选 A.(－25π3 ) (－ 25π3 ) (8π ＋ π 3) π 3 12(2)(2017·桂林模拟)若 sin ＝ ，则 cos ＝________.(α －π 4) 13 (π 4＋ α )答案 －13解析 cos ＝cos ＝sinError!Error!(π 4＋ α ) [π 2－ (π 4－ α )]＝－sin ＝－ .(α －π 4) 13题型 1 同角三角函数关系式的应用(2017·杭州模拟)已知－ 0，π 2∴sin x－cos x0，cos α 0，即 sinx－cos x0，把 sinx＋cos x＝－ ，①713两边平方得 1＋2sin xcosx＝ ，即 2sinxcosx＝－ ，49169 120169∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcosx＝ ，289169即 sinx－cos x＝ ，②1713联立①②，解得 sinx＝ ，cos x＝－ ，513 1213∴cos x－2sin x＝－ .2213方法技巧7化简与求值问题的常见类型及求解策略1．知弦求弦问题，利用诱导公式及同角的平方关系 sin2α ＋cos 2α ＝1 求解．2．知切求弦问题，利用同角的商数关系 ＝tan α 化为 sinα ＝cos α ·tanα 的sinαcosα形式，再结合平方关系求解．3．知弦求切问题，结合平方关系，三个关系式sinα ＋cos α ，sin α －cos α ，sin α ·cosα 可进行相互转化，此时要注意 ＝tan αsinαcosα的灵活运用．提醒：巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有 － α 与π 3＋ α ； ＋ α 与 － α ； ＋ α 与 － α 等，常见的互补关系有 ＋ θ 与π 6 π 3 π 6 π 4 π 4 π 3－ θ ； ＋ θ 与 － θ 等．2π3 π 4 3π4冲关针对训练1．(2017·衡水模拟)已知 cos ＝ ，且－π0，所以－ 0，∴sin θ 0 知|sin θ |sinθ ， ＝(0，π 4) 1－ 2sinπ ＋ θ sin(3π2－ θ )＝|sin θ － cosθ |＝cos θ －sin θ .故选 B.1－ 2sinθ cosθ4．(2018·湖南模拟)已知 sinα ＋ cosα ＝ ，则 tanα ＝________.2 3答案 22解析 已知等式两边平方得(sin α ＋ cosα )22＝sin 2α ＋2 sinα cosα ＋ 2cos2α ＝3，2∴ ＝ ＝3，sin2α ＋ 22sinα cosα ＋ 2cos2αsin2α ＋ cos2α tan2α ＋ 22tanα ＋ 2tan2α ＋ 1整理得( tanα －1) 2＝0，2解得 tanα ＝ .22[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．若 tan(5π＋ α )＝ m，则 的值为( )sinα － 3π ＋ cosπ － α sin－ α － cosπ ＋ α A. B. C．－1 D．1m＋ 1m－ 1 m－ 1m＋ 1答案 A解析 由 tan(5π＋ α )＝ m，得 tanα ＝ m.原式＝ ＝ ＝ ＝ ，－ sinα － cosα－ sinα ＋ cosα sinα ＋ cosαsinα － cosα tanα ＋ 1tanα － 1 m＋ 1m－ 1故选 A.2. 化简的结果是( )1＋ 2sinπ － 3cosπ ＋ 3A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不对答案 A解析 ∵sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，∴ ＝ ＝|sin3－cos3|.1－ 2sin3·cos3 sin3－ cos3210∵ 0，cos30，则 cosθ ＝－ ，22∴ θ ＝ .3π413．已知 ＝－ ，则 的值是________．1－ cosxsinx 13 1＋ cosxsinx答案 －3解析 ∵sin 2x＋cos 2x＝1，∴sin 2x＝1－cos 2x，即 ＝ ，1－ cosxsinx sinx1＋ cosx∵ ＝－ ，∴ ＝ ＝－3.1－ cosxsinx 13 1＋ cosxsinx sinx1－ cosx14．在△ ABC 中，若 sin(2π－ A)＝－ sin(π－ B)， cosA＝－ cos(π－ B)，则2 3 2C＝________.答案 7π12解析 由已知得Error!① 2＋② 2，得 2cos2A＝1，即 cosA＝± ，22当 cosA＝ 时，cos B＝ ，又 A、 B 是三角形的内角，22 32所以 A＝ ， B＝ ，所以 C＝π－( A＋ B)＝ .π 4 π 6 7π12当 cosA＝－ 时，cos B＝－ .22 32又 A、 B 是三角形的内角，所以 A＝ ， B＝ ，不合题意．综上， C＝ .3π4 5π6 7π1213三、解答题15．已知－ 0，∴sin α －cos α 0，∴sin α －cos α ＝－ .π 2 7516．已知 f(x)＝ (n∈Z)．cos2nπ ＋ x·sin2nπ － xcos2[2n＋ 1π － x](1)化简 f(x)的表达式；(2)求 f ＋ f 的值．(π2018) (504π1009)解 (1) f(x)＝cos2nπ ＋ x·sin2nπ － xcos2[2n＋ 1π － x]＝ ＝sin 2x.cos2x·sin2xcos2x(2)由(1)得 f ＋ f(π2018) (504π1009)＝sin 2 ＋sin 2π018 1008π2018＝sin 2 ＋sin 2π018 (π 2－ π2018)＝sin 2 ＋cos 2 ＝1.π018 π018 第 3章 三角函数、解三角形 3． 2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 基础知识过关经典题型冲关13．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．若 tan(5π＋ α )＝ m，则 的值为( )sin α － 3π  ＋ cos π － α sin － α  － cos π ＋ α A. B. C．－1 D．1m＋ 1m－ 1 m－ 1m＋ 1答案 A解析 由 tan(5π＋ α )＝ m，得 tanα ＝ m.原式＝ ＝ ＝ ＝ ，－ sinα － cosα－ sinα ＋ cosα sinα ＋ cosαsinα － cosα tanα ＋ 1tanα － 1 m＋ 1m－ 1故选 A.2. 化简的结果是( )1＋ 2sin π － 3 cos π ＋ 3A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不对答案 A解析 ∵sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，∴ ＝ ＝|sin3－cos3|.1－ 2sin3·cos3  sin3－ cos3 2∵ 0，cos30，则 cosθ ＝－ ，224∴ θ ＝ .3π413．已知 ＝－ ，则 的值是________．1－ cosxsinx 13 1＋ cosxsinx答案 －3解析 ∵sin 2x＋cos 2x＝1，∴sin 2x＝1－cos 2x，即 ＝ ，1－ cosxsinx sinx1＋ cosx∵ ＝－ ，∴ ＝ ＝－3.1－ cosxsinx 13 1＋ cosxsinx sinx1－ cosx14．在△ ABC 中，若 sin(2π－ A)＝－ sin(π－ B)， cosA＝－ cos(π－ B)，则2 3 2C＝________.答案 7π12解析 由已知得Error!① 2＋② 2，得 2cos2A＝1，即 cosA＝± ，22当 cosA＝ 时，cos B＝ ，又 A、 B 是三角形的内角，22 32所以 A＝ ， B＝ ，所以 C＝π－( A＋ B)＝ .π 4 π 6 7π12当 cosA＝－ 时，cos B＝－ .22 32又 A、 B 是三角形的内角，所以 A＝ ， B＝ ，不合题意．综上， C＝ .3π4 5π6 7π12三、解答题15．已知－ 0，∴sin α －cos α 0，∴sin α －cos α ＝－ .π 2 75516．已知 f(x)＝ (n∈Z)．cos2 nπ ＋ x ·sin2 nπ － xcos2[ 2n＋ 1 π － x](1)化简 f(x)的表达式；(2)求 f ＋ f 的值．(π2018) (504π1009)解 (1) f(x)＝cos2 nπ ＋ x ·sin2 nπ － xcos2[ 2n＋ 1 π － x]＝ ＝sin 2x.cos2x·sin2xcos2x(2)由(1)得 f ＋ f(π2018) (504π1009)＝sin 2 ＋sin 2π018 1008π2018＝sin 2 ＋sin 2π018 (π 2－ π2018)＝sin 2 ＋cos 2 ＝1.π018 π018课后作业夯关3． 3 三角函数的图象与性质 13．3 三角函数的图象与性质[知识梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 y＝sin x， x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)， ，(π，0)，(π2， 1)，(2π ，0)．(3π2， － 1)余弦函数 y＝cos x， x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)， ，(π，－1)，(π2， 0)，(2π ，1)．(3π2， 0)2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质23[诊断自测]1．概念思辨(1)y＝tan x在整个定义域上是增函数．( )(2)函数 f(x)＝sin(－2 x)与 f(x)＝sin2 x的单调增区间都是(k∈Z)．( )[kπ －π4， kπ ＋ π4](3)由 sin ＝sin 知， 是正弦函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期．( )(π6＋ 2π3) π6 2π3(4)若非零实数 T是函数 f(x)的周期，则 kT(k是非零整数)也是函数 f(x)的周期．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修 A4P46T2)函数 f(x)＝(1＋ tanx)cosx的最小正周期、最大值为( )3A．2π，2 B. ， C．π，2 D. ，3π2 3 π2 3答案 A解析 f(x)＝(1＋ tanx)cosx＝ ·cosx＝2cos ，则 T＝2π.最大3cosx＋ 3sinxcosx (x－ π3)值为 2.故选 A.(2)(必修 A4P40T4)已知函数 f(x)＝sin (x∈R)，下列结论错误的是( )(2x－π2)A．函数 f(x)是偶函数B．函数 f(x)的最小正周期为 π4C．函数 f(x)在区间 上是增函数[0，π2]D．函数 f(x)的图象关于直线 x＝ 对称π4答案 D解析 f(x)＝sin ＝－cos2 x，此函数为最小正周期为 π 的偶函数，所以(2x－π2)A、B 正确．由函数 y＝cos x的单调性知 C正确．函数图象的对称轴方程为 x＝ (k∈Z)，kπ2显然，无论 k取任何整数， x≠ ，所以 D错误．故选 D.π43．小题热身(1)函数 f(x)＝sin 在区间 上的最小值为( )(2x－π4) [0， π2]A．－1 B．－ C. D．022 22答案 B解析 由已知 x∈ ，得 2x－ ∈ ，所以 sin ∈ ，[0，π2] π4 [－ π4， 3π4] (2x－ π4) [－ 22， 1]故函数 f(x)＝sin 在区间 上的最小值为－ .故选 B.(2x－π4) [0， π2] 22(2)函数 y＝tan 的单调递增区间是________，最小正周期是________．(x2＋ π3)答案 (k∈Z) 2π(2kπ －5π3， 2kπ ＋ π3)解析 由 kπ－ ，由正弦曲线得 ＋2 kπ1，即 a2，则当 cosx＝1 时， ymax＝ a＋ a－ ＝1⇒ a＝ 0(舍去)a2 58 12 125综合上述知，存在 a＝ 符合题设．32方法技巧1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．见典例 1.2．三角函数值域的不同求法(1)形如 y＝ asinx＋ bcosx＋ k的三角函数化为 y＝ Asin(ωx ＋ φ )＋ k的形式，再求值域(最值)．(2)形如 y＝ asin2x＋ bsinx＋ k的三角函数，可先设 sinx＝ t，化为关于 t的二次函数求值域(最值)．(3)形如 y＝ asinxcosx＋ b(sinx±cosx)＋ c的三角函数，可先设 t＝sin x±cosx，化为关于 t的二次函数求值域(最值)．冲关针对训练1．(2017·郑州模拟)已知函数 f(x)＝sin ，其中 x∈ ，若 f(x)的值域(x＋π6) [－ π3， a]6是 ，则实数 a的取值范围是________．[－12， 1]答案 [π3， π ]解析 由 x∈ ，知 x＋ ∈ .[－π3， a] π6 [－ π6， a＋ π6]∵ x＋ ∈ 时， f(x)的值域为 ，π6 [－ π6， π2] [－ 12， 1]∴由函数的图象知 ≤ a＋ ≤ ，所以 ≤ a≤π.π2 π6 7π6 π32．已知 3sin2α ＋2sin 2β ＝2sin α ，求 y＝sin 2α ＋sin 2β 的取值范围．解 ∵3sin 2α ＋2sin 2β ＝2sin α ，∴sin 2β ＝－ sin2α ＋sin α ，32∵0≤sin 2β ≤1，∴Error!解得 0≤sin α ≤ ，23∵ y＝sin 2α ＋sin 2β ＝－ sin2α ＋sin α ＝－ (sinα －1) 2＋ ，0≤sin α ≤ ，12 12 12 23∴sin α ＝0 时， ymin＝0；sin α ＝ 时， ymax＝ ，23 49∴0≤sin 2α ＋sin 2β ≤ .49题型 2 三角函数的单调性(2017·长沙一模)函数 y＝sin ， x∈[－2π，2π]的单调递增区间 典 例 1 (π3－ 12x)是( )A. B.[－π3， 5π3] [－ 2π ， － π3]C. D. 和[5π3， 2π ] [－ 2π ， － π3] [5π3， 2π ]本题用子集法．答案 D解析 依题意得 y＝－sin ，当 2kπ＋ ≤ x－ ≤2 kπ＋ (k∈Z)，即(12x－ π3) π2 12 π3 3π24kπ＋ ≤ x≤4 kπ＋ (k∈Z)时，函数 y＝－sin 是单调递增函数．又5π3 11π3 (12x－ π3)x∈[－2π，2π]，因此函数 y＝－sin ， x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(12x－ π3)和 ，选 D.[－ 2π ， －π3] [5π3， 2π ]7已知 ω 0，函数 f(x)＝sin 在 上单调递减，则实数 ω 的 典 例 2 (ω x＋ π4) (π2， π )取值范围是( )A. B. C. D．(0,2][12， 54] [12， 34] (0， 12]子集反推法．答案 A解析 由 0， －π20， －π20， ω 0,00， |φ |0， ω 0)．若 f(x)在区间 上具有单调性，且 f ＝ f ＝－ f ，则 f(x)的[π6， π2] (π2) (2π3) (π6)最小正周期为________．答案 π解析 记 f(x)的最小正周期为 T.12由题意知 ≥ － ＝ ，T2 π2 π6 π3又 f ＝ f ＝－ f ，且 － ＝ .(π2) (2π3) (π6) 2π3 π2 π6可作出示意图如图所示，∴ x1＝ × ＝ ， x2＝ × ＝ ，(π2＋ π6) 12 π3 (π2＋ 2π3) 12 7π12∴ ＝ x2－ x1＝ － ＝ ，∴ T＝π.T4 7π12 π3 π44．(2017·赣榆区期中)已知函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )的图象在 y轴上的截距为 1，在相邻两个最值点(A0， ω 0， φ ∈ (0，π2))和( x0，－2)上( x00)，函数 f(x)分别取最大值和最小值．(x0－32， 2)(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若 f(x)＝ 在区间 内有两个不同的零点，求 k的取值范围；k＋ 12 [0， 32](3)求函数 f(x)在区间 上的对称轴方程．[134， 234]解 (1) A＝2， ＝ x0－ ＝ ⇒T＝3⇒ ω ＝ ，T2 (x0－ 32) 32 2π3∴ f(x)＝2sin ，代入(0,1)点，2sin φ ＝1.(2π3x＋ φ )∵ φ ∈ ，∴ φ ＝ ，∴ f(x)＝2sin .(0，π2) π6 (2π3x＋ π6)(2)x∈ ⇒ x＋ ∈ ⇒1≤ 0，且 ω ≤ ，则 00， |φ |0)在区间[ a， b]上是增函数，且 f(a)＝－ M， f(b)＝ M，则函数 g(x)＝ Mcos(ωx ＋ φ )在[ a， b]上( )A．是增函数 B．是减函数C．可以取得最大值 M D．可以取得最小值－ M16答案 C解析 解法一：(特值法)取 M＝2， ω ＝1， φ ＝0 画图象即得答案．解法二： T＝ ， g(x)＝ Mcos(ωx ＋ φ )2πω＝ Msin ＝ Msin ，(ω x＋ φ ＋π2) [ω (x＋ π2ω )＋ φ ]∴ g(x)的图象是由 f(x)的图象向左平移 得到的．π2ω (即 T4)由 b－ a＝ ，可知， g(x)的图象由 f(x)的图象向左平移 得到的．T2 b－ a2∴得到 g(x)图象如图所示．选 C.10．(2018·新疆质检)已知函数 f(x)＝|sin x|·cosx，给出下列五个结论：① f ＝－ ；(2018π3 ) 34②若| f(x1)|＝| f(x2)|，则 x1＝ x2＋ kπ( k∈Z)；③ f(x)在区间 上单调递增；[－π4， π4]④函数 f(x)的周期为 π；⑤ f(x)的图象关于点 成中心对称．(π2， 0)其中正确的结论是( )A．①⑤ B．①②⑤ C．②④ D．②⑤答案 A解析 ① f ＝ ·cos ＝ × ＝－ ，∴①正确；(2018π3 ) |sin2018π3 | 2018π3 32 (－ 12) 34②若| f(x1)|＝| f(x2)|，则＝ ，当 x1＝0， x2＝ 时也成立，∴②不正确；|12sin2x1| |12sin2x2| π2③∵当 x∈ 时，[－π4， π4]f(x)＝|sin x|cosx＝Error!∴ f(x)在 上不是单调函数，∴③不正确；[－π4， π4]17④∵ f(x＋π)≠ f(x)，∴函数 f(x)的周期不是 π，∴④不正确；⑤∵ f(x)＝|sin x|cosx＝Error! k∈Z，∴结合图象可知 f(x)的图象关于点 成中心对称，∴⑤正确．故(π2， 0)选 A.二、填空题11．设函数 f(x)＝sin( x＋ φ )(00,00,00， φ ∈ (－π2， π2))象关于直线 x＝ 对称，则在下面四个结论中：π12①图象关于点 对称；(π4， 0)18②图象关于点 对称；(π3， 0)③在 上是增函数；[0，π6]④在 上是增函数．[－π6， 0]所有正确结论的编号为________．答案 ②④解析 ∵ y＝sin( ωx ＋ φ )的最小正周期为 π，∴ ω ＝ ＝2.又其图象关于直线 x＝2ππ对称，得 ＋ φ ＝ ＋ kπ( k∈Z)．令 k＝0，得 φ ＝ .∴ y＝sin .当 x＝ 时，π12 π6 π2 π3 (2x＋ π3) π3f ＝0，∴函数图象关于点 对称．所以②正确．解不等式－ ＋2 kπ≤2 x＋ ≤(π3) (π3， 0) π2 π3＋2 kπ，得－ ＋ kπ≤ x≤ ＋ kπ( k∈Z)，所以④正确．π2 5π12 π12三、解答题15．已知函数 f(x)＝2sin x＋1.(1)设 ω 为大于 0的常数，若 f(ωx )在区间 上单调递增，求实数 ω 的取[－π2， 2π3]值范围；19解 (1)当 a＝1 时， f(x)＝－cos 2x＋cos x＋2＝－ 2＋ .(cosx－12) 94∵cos x∈[－1,1]，∴当 cosx＝ ，即 x＝2 kπ± (k∈Z)时，12 π320f(x)max＝ .94(2)依题意 sin2x＋ acosx＋ a≤1，即 sin2x＋ a(cosx＋1)≤1 对任意 x∈ 恒成立．[0，π2]当 x∈ 时，0≤cos x≤1，[0，π2]则 1≤cos x＋1≤2，∴ a≤ 对任意 x∈ 恒成立．cos2xcosx＋ 1 [0， π2]令 t＝cos x＋1，则 1≤ t≤2，∴ a≤ ＝ ＝ t＋ －2 对任意 1≤ t≤2 恒成立，于是 a≤ min.t－ 12t t2－ 2t＋ 1t 1t (t＋ 1t－ 2)又∵ t＋ －2≥0，当且仅当 t＝1，即 x＝ 时取等号，1t π2∴ a≤0.