内蒙古呼和浩特市赛罕区八年级数学下册 17 勾股定理教案+学案（打包12套）（新版）新人教版.zip

117.1 勾股定理 学习目标：1.通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想．2.通过习题巩固勾股定理的三边关系。重点及难点：勾股定理的推导以及简单应用。知识点归纳：1 勾股定理的具体内容是： 。2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°， （用几何语言表示）（1）两锐 角之间的关系： ；（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（3）三边之间的关系： 。3．已知在 R t△ABC 中，∠B=90°，a、b、c 是△ABC 的三边，则⑴c= 。 （已知 a、b，求 c）⑵a= 。 （已知 b、c，求 a）⑶b= 。 （已知 a、c， 求 b）针对训练： 1.A 的面积 B 的面积 C 的面积图 1图 2图 32.求出下列直角三角形中未知的边？1. 填 空题：在 Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果 a=7，c=25，则 b= 。AC BABCABCCBA6 101045°2⑵如果∠A=30°，a=4，则 b= 。⑶如果∠A=45°，a=3，则 c= 。4．求下面图形中未知正方形的面积．5.求出下列各直角三角 形中未知边 x 的长度．6. 求出下列直角三角形中未知的边7．在 Rt△ABC，∠C=90°⑴已知 a=b=5,求 c。 ⑵已知 c=17,b=8, 求 a。⑶已知 a=1,c=2, 求 b。⑷已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。⑸已知 b=15，∠A=30°，求 a，c。8.填空题：⑴在 Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则 c= 。⑵在 Rt△ABC，∠B=90°，a=3， b=4，则 c= 。（3）已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm， ，则第三边长为 。9.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。10.如图，一根旗杆在离地面 9m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12m 处，旗杆折断之前有多高?11.如图，一架 25 m 长的云梯 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 24 m.1030°1583(1)求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远；(2)当 BD＝8 m 时，AC 的长是多少米？ (3)如果梯子的底端向墙一侧移动 2 m，那么梯子顶端向上滑动的距离是多少米？12. 1.在长方形 ABCD 中，宽 AB 为 1m，长 BC 为 2m ，求 AC 的长2.用式子表示长方形 ABCD 中 AB、 BC、 AC 大小关系：3.一个门框的尺寸如图所示．①若有一块长 3 米，宽 0.8 米的 薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长 3 米，宽 1.5 米呢？③若薄木板长 3 米，宽 2.2 米呢？为什么？BC1m2mA117.1 勾股定理课 题 17.1 勾股定理 课 时 第 1 课时课 型 新授课 作课时间教 学内 容分 析 本节课学习勾股定理的推导以及简单应用。教 学目 标1. 通过拼图活动，体会数形结合思想，体验勾股定理的探索过程.2. 用拼图的方法证明勾股定理.3. 通过应用举例，让学生对本节课的知识进行最基本的运用。重 点难 点用拼图的方法证明勾股定理.教 学策 略选 择与设计在勾股定理的探索过程中，通过拼图活动，体会数形结合思想．最后通过应用举例，让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应用做好铺垫．学 生学 习方 法探索分析法，拼图观察法，分析法教 具 三角板教 学 过 程教师活动 学生活动 设计意图2前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个 角和三条边．三个角的数量关系明确吗？三条边的数量关系明确吗？【探究 1】 观察特 例→发现新知毕达哥拉斯是古希 腊著名的数学家．相传在 2500 多年前，他在朋友家作客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系．(1)现在请你也观察一下，你能 有什么发现吗？(2)你能找出图中正方形 A、B、C 的面积之间的关系吗？(3)正方形 A、B、C 所围等腰直角三角形的三边之间有什么 特殊关系？ 【探究 2】 深入探究→交流归纳(1)等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？如图 17－1－18，每个小方格的面积均为 1，以格点为顶点，①②中分别有一个直角边分别是 3，4 和 2，3的直角三角形．仿照上一活动，我们以这 两个直角三角形的三边为边向外作正方形．静听思考观察思考1.学生回忆并回答，为突破本节难点做准备．2．回顾三角形的内角和是 180°以及三角形任何两边的和大于第三边，由三角形三边的不等关系引导 学生思考，三角形三边之间是否存在等量关系.通过问题激发学生好奇 、探究和主动学习的欲望．3观察教师活动 学生活动 设计意图4(2)想一想，怎样利用小方格计算正方形 A、B、C 面 积？A 的面积(单位面积)B 的面积(单位面积)C 的面积(单位面积)图① 16 9 25图② 4 9 13A、B、C 面积关系A＋B＝C直角三角形三边关系两直角边的平方和等于斜边的平方(3)正方形 A、B、C 面积之间的关系是什么？(4)直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？【总结】如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b 2＝c 2.【应用举例】例 在直角三角形中 ，各边的长如图，求出未知边的长度．师生总结：通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：c＝ ，b＝ ，a2＋ b2 c2－ a2a＝ .在直角三角形中，已知两边，求第三边，c2－ b2应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想．填表总结记忆让学生在轻松的氛围中积极参与对数学问题的讨论。应用举例，让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应用做好铺 垫．5分析讨论6作业课本 24 页 1，2 题。板书设计17.1 勾股定理(1)【总结】如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b 2＝c 2.【应用举例】 例：在直角三角形中，各边的长如图，求出未知边的长度．分析：通过对等式变形，可以 得出直角三角形三边之间的关系：c＝ ，b＝a2＋ b2，a＝ .在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也c2－ a2 c2－ b2可建立方程解决问题，渗透方程思想．教学反思117.1 勾股定理课 题 17.1 勾股定理 课 时 第 2 课时课 型 习题课 作课时间教 学内 容分 析 本节课学习勾股定理的应用。教 学目 标1.通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想．2.通过习题巩固勾股定理的三边关系。重 点难 点掌握勾股定理的应用。教 学策 略选 择与设计先通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想．再通过习题巩固勾股定理的三边关系。针对学生认知的差异设计了有层次的练习题，既使学生 巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展．学 生学 习方 法数形结合法，分析法，讨论法教 具 三角 板教 学 过 程教师活动 学生活动 设计意图2【观察填表】A 的面积 B 的面积 C 的面积图 1图 2图 3【课堂小结】如图，直角三角形 ABC 的主要性质是：∠C＝90 °，(1)两锐角之间的关系：__∠A＋∠B＝90°__；(2)若∠B＝30°，则∠B 的对边和斜边的关系： _AB＝2AC__；(3)三边之间的关系：__AC 2＋BC 2＝AB 2__．【当堂 训练】1.求出下列直角三角形中未知的边观察填表填空总结记忆通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想．学生回忆并回答，为突破本节难点做准备．ABCABCCBA6101045°3教师活动 学生活动 设计意图2、填空题：在 Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果 a=7，c=25，则 b= 。⑵如果∠A=30°， a=4，则 b= 。⑶如果∠ A=45°，a=3，则 c= 。3．求下面图形中未知正方形的面积．1. 求出下列各直角三角形中未知边 x 的长度．2. 求出下列直角 三角形中未知的边6．在 Rt△ABC，∠C=90°⑴已知 a=b=5,求 c。 ⑵已知 c=17,b=8, 求 a。⑶已知 a=1,c=2, 求 b。⑷已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。⑸已知 b=15，∠A=30°，求 a，c。7.填空题⑴在 Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则 c= 。⑵在 Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则 c= 。 （3）已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm， ，则第三边长为 。分析讨论读题1.当堂检测，及时反馈学习效果．2．针对学生认知的差异设计了有层次的练习题，既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展．1030°1584练习分析讨论1、求出下列直角三角形中未知的边5作业2、填空题⑴在 Rt△ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则 c= 。⑵在 Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则 c= 。（3）已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm， ，则第三边长为 。板书设计17.1 勾股定理如图，直角三角形 ABC 的主要性质是：∠C＝90°，(1)两锐角之间的关系：__∠A＋∠B＝90°__；(2)若∠B＝30°，则∠B 的对边和斜边的关系： _AB＝2AC__；(3)三边之间的关系：__AC 2＋BC 2＝AB 2__．【当堂训练】 1.求出下列直角三角形中未知的边2、填空题：在 Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果 a=7，c=25，则 b= 。⑵如果∠A=30°，a=4，则 b= 。⑶如果∠A=45°，a=3，则 c= 。6101045°1030°1586教学反思117.1 勾股定理课 题 17.1 勾股定理 课 时 第 3 课时课 型 新授课 作课时间教 学内 容分 析 本节课学习勾股定理的应用.教 学目 标1. 经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.2. 在解决问题过程中更好地理解勾股定理，树立数形结合的思想.重 点难 点勾股定理的应用.教 学策 略选 择与设计先复习勾股定理的知识点，再经历探究勾股定理在实际问题中的 应用过程，感受勾股定理的应用方法. 联系 实际，归纳抽象，会用勾股定理解决简单的实际问题，树立数形结合的思想.学 生学 习方 法复习总结法，探究法，分析法，讨论法教 具 三角板教 学 过 程教师活动 学生活动 设计意图2【复习提问】问题 1：勾股定理的内容是什么？你能用符号表示吗？如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为c 那么 a2＋b 2＝c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．公式变形：c＝ ，a＝ ，b＝ .a2＋ b2 c2－ b2 c2－ a2问题 2：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，(1)已知 a＝b＝5，求 c；(2)已知 a＝1，c＝2，求 b；(3)已知 c＝17，b＝8，求 a；(4)已知 b＝15，求∠A＝30°，求 a，c.总结出：理清边之间的关系，已知两 直角边求斜边，直接用勾股定理，结合算术平方根的意义求出斜边；已知斜边和一直角边，求另一直角边 ，用勾股定理的变形式.【探究】[教材 P25 例 1] 一个门框尺寸如 图所示，一块长 3 m，宽2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？师生共同分析：木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过，对角线 AC 是斜着能通过的最大长度，对角线 AC 是斜着能通过的最大长度，求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过．解答过程略。口答总结记忆练习思考1.学生回忆并回答，为突破本节难点做准备．2．让学生回忆勾股定理的内容，并注意文字语言、图形语言、符号语言的规范统一.本题可以转化为求门框的对角线的长，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待求量。也就是已知两直角边求斜边，从而用勾股定理解决．3分析教师活 动 学生 活动 设计意图4【应用举例】例 2 [教材 P25 例 2] 如图，一架 2.6 m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4 m．如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移0.5 m 吗？[解析] (1)由图根据勾股定理可求 BD 的长，看看是否是 0.5 m，(2)已经知道哪些线段的长？AB 和 CD 是什么关系？(3)由图可知 BD＝OD－OB，分别求出 OB，OD 即可．教师：出示题目并利用后面 2 图引导学生分析．学生：理解、写出过程，感受应用勾股定理进行计算．解：可以看出，BD＝OD－OB，在 Rt△AOB 中，根据勾股定理，OB2＝AB 2－OA 2＝2.6 2－2.4 2＝1. OB＝ ＝1.1在 Rt△COD 中，根据勾股定理，OD2＝CD 2－OC 2＝2.6 2－(2.4－0.5) 2＝ 3.15，OD＝ ≈1.77.3.15BD＝OD－OB≈1.77－1＝0.77.所以梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时，梯子底端并不是也外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m．读题分析讨论通过运用勾股定理对实际问题进行解释，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待求量，让学生掌握解决实际问题的一般思路.5作业课本 26 页 1 题。板书设计17.1 勾股定理例 2 [教材 P25 例 2] 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时AO 为 2.4 m．如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗？解 ：可以看出，BD＝OD－OB，在 Rt△AOB 中，根据勾股定理，OB2＝AB 2－OA 2＝2.6 2－2.4 2＝1. OB＝ ＝1.1在 Rt△COD 中，根据勾股定理，OD2＝CD 2－OC 2＝2.6 2－(2.4－0.5) 2＝3.15，OD＝ ≈1.77.3.15BD＝OD－OB≈1.77－1＝0.77.所以梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时，梯子底端并不是也外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m．教学反思117.1 勾股定理课 题 17.1 勾股定理 课 时 第 4 课时课 型 作课时间教 学内 容分 析 本节课学习勾股定理的应用.教 学目 标1.经历探究勾股定 理在实际问题中的应用过程，感受勾股 定理的应用方法.2.在解决问题过程中更好地理解勾股定理，树立数形结合的思想.重 点难 点勾股定理在实际问题中的应用教 学策 略选 择与设计通过 2 个探究讲解，联系实际，感受勾股定理在实际问题中的应用过程，树立数形结合的思想，会用勾股定理解决简单的实际问题。学 生学 习方 法分析法，讨论法，练习法教 具 三角板教 学 过 程教师活动 学生活动 设计意图2探究 1：1.在长方形 ABCD 中，宽 AB 为 1m，长 BC 为 2m ，求 AC的长2.用式子表示长方形 ABCD 中 AB、 BC、 AC 大小关系：3.一个门框的尺寸如图所示．①若有一块长 3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长 3 米，宽 1.5 米呢？③若薄木板长 3 米，宽 2.2 米呢？为什么？探究 2： 如图，一个 3 米长的梯子 AB，斜着靠在竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5 米．①球梯子的底端 B 距墙角 O 多少米？②如果梯的顶端 A 沿墙下滑 0.5 米至 C，请同学们猜一猜，底端也将滑动 0.5 米吗？算一算， 底端滑动的距离近似值（结果 保留两 位小数） ．分析审图思考读题将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待求量，让学生掌握解决实际问题的一般思路.BC1m2mAO B DCＣACAO BO D3审图分析教师活动 学生活动 设计意图4课堂检测：1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树 的离地面的高度是 米。2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平3距离是 米。3．如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。4．有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。5．一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q 两点，PQ=16 厘米，且 RP⊥PQ，则 RQ= 厘米。分析讨论填空分析通过综合应用勾股定理和直角三角形全等的知识对实际问题进行解释，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学。30A BC RP Q5思考如图，一架 25 m 长的云梯 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 24 m.6作业(1)求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远；(2)当 BD＝8 m 时，AC 的长是多少米？ (3)如果梯子的底端向墙一侧移动 2 m，那么梯子顶端向上滑动的 距离是多少米？ 板书设计17.1 勾股定理探究 1：1.在长方形 ABCD 中，宽 AB 为 1m，长 BC 为 2m ，求 AC 的长2.用式子表示长方形 ABCD 中 AB、 BC、 AC 大小关系：3.一个门框的尺寸如图所示．①若有一块长 3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长 3 米，宽 1.5 米呢？③若薄木板 长 3 米，宽 2.2 米呢？为什么？教学反思BC1m2mA117.1 勾股定理课 题 17.1 勾股定理 课 时 第 5 课时课 型 新授课 作课时间教 学内 容分 析 本节课学习运用勾股定理在数轴上标出表示无理数的点．教 学目 标1. 经历用勾股定理求直角三角形边长的过程，为在数轴上标出表示无理数作铺垫。2. 会运用勾股定理在数轴上画出并表示无理数，进一步理解感受数轴上的点与实数一一对应．3. 了解利用勾股定理证明 HL 定理.重 点难 点运用勾股定理在数轴上标出表示无理数的点．教 学策 略选 择与设计经历用勾股定理求直角三角形边长的过程，理解 掌握在数轴上通过画线段的方法表示无理 数. 进一步理解数学中的数形结合思想，转化思想，发展数学理念。学 生学 习方 法探究分析法，讨论法教 具 三角板教 学 过 程教师活动 学生活动 设计意图2【课堂引入】数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 ， ， ， ，…的点吗？2 3 4 5现在我 们利用勾股定理来探究一下这个问题．【探究 1】 1．根据下图填空：x＝__ __，y＝__ __，z＝__2__，w＝__ __．2 3 52.按照图中的规律一直作下去，你能说出第 n 个小直角三角形的各边长吗？第 n 个小直角三角形的两直角边分别为 1 和 ，斜n边长为 .n＋ 13．利用勾股定理，是否可以在数轴 上画出表示 ， ，2 3， ， …的点？试一试．想一想．4 5教师：提出问题：巡查、指导．学生：(1)画图完成，感知画法并掌 握．(2)阅读教材 27 页学习理解画法．【探究 2】 怎样在数轴 上画出表示 的点？13思考口答填空观察想一想利用目的明确的操作探究问题引入新课，激发学生的学习兴趣.通过探究问题引入新课，培养学生动手 操作能力，抽象 概括能力。3分析思考教师活动 学生活动 设计意图4分析引导：(1）你能画出长为 的线段吗？怎么画？说2说你的画法.(2)设斜边 c＝ ，两直角边分别为 a，b，根据勾股定13理有 a2＋b 2＝13，若 a，b 为正整数，则 13 必须分解为两个平方数的和，即 13＝4＋9，a 2＝4，b 2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为 的线段是直角边的长为正整13数 2 和 3 的直角三角形的斜边．(3)在数轴上怎样作出这个三角形呢？解：①在数轴上找到点 A，使 OA＝3，②过 A 点作直线 L 垂直于 OA， ，在 L 上截取 AB＝2，③以点 O 为圆心，OB 长为半径画弧，交数轴于点 C，点C 即为表示 的点．你知道 OC 为什么等于 吗？13 13【探究 3】 利用勾股定理证明 HL 定理(1)回忆 HL 定理的内容(2)写出已知、求证、证明．针对训练：如 果一个三角形的三边长分别是 ，a2＋ b2， ，a，b 均是正数，它的面积是a2＋ 4b2 4a2＋ b2__ ab__．32(提示：构造如图所示的矩形即可) 分析讨论师生共同画图，写出已知、求证,证明.引导学生主动探究，养成良好的思维习惯。通过证明 HL 定理使学生掌握勾股定理在推理证明中的应用，提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力.实际应用题意在考查数学建模能力及解决实际问题的能力．5作业课本 27 页 1，2 题。板书设计17.1 勾股定理（3）1．根据下图填空：x＝__ __，y＝ __ __，z＝__2__，w＝__ __．2 3 52.按照图中的规律一直作下去，你能说出第 n 个小直角三角形的各边长吗？第 n 个小直角三角形的两直角边分别为 1 和 ，斜边长为 .n n＋ 13．利用勾股定理，是否可以在数轴上画出表示 ， ， ， ，…的点？2 3 4 5【探究 2】 怎样在数轴上画出表示 的点？13教学反思117.2 勾股定理的逆定理学习目标：通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，掌握勾股定理的逆定理 ，体验数形结合思想的应用.重点及难点：勾股定理的逆定理及其应用.知识点归纳：定理 勾股定理 勾股定理的逆定理内容如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2＋b 2＝c 2如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足 a2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形题设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为 c三角形的 三边长分别为a，b，c，满足 a2＋b 2＝c 2结论 a2＋b 2＝c 2 这个三角形是直角三角形用途 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法针对训练：1．以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有( )①3，4，5；②1，2，4；③3 2，4 2，5 2；④6，8，10A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个2. ①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④3n，4n，5n(n＞1 且 n 为自然数)．上面各组数中，勾股数有( )A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组3．判断由线段 a， b， c 组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝7， b＝24， c＝25；(2) a＝ ， b＝4， c＝5；41(3)a＝ ， b＝1， c＝ ；54 34(4)a＝40， b＝50， c＝60.4. 如图 1，若小方格边长均为 1，则△ ABC 是 （ ）2A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对5. 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是( A )A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定6. 若一个三角形的三边之比为 3∶4∶5，且周长为 60 cm，则它的面积为 .7． 如果△ABC 三边长 a，b，c 满足关系式|a＋2b－60|＋(b－18) 2＋|c－30|＝0，则△ABC 是__________三角形．8． 在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝5，BC 边上的中线长为 4，则 S△ABC ＝__________．9. 如图，四边形 ABCD 中，已知 AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝90°，求这个四边形的面积．10．在△ ABC 中， AB＝13， BC＝10， BC 边上的中线 AD＝12.求 AC.11. 如图，每个小正方形的 边长都为 1.(1)求四边形 ABCD 的面积与周长；(2)∠ BCD 是直角吗？12．如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点，且 CF＝ CD.14求证:∠ AEF＝90°.13．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？(1)同旁内角互补，两直线平行；(2)如果两个角是直角，那么它们相等；(3)全等三角形的对应边相等；(4)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．314. 如图所示，南北方向线 MN 为我国领海线，即 MN 以西为我领海，以东为公海，上午 9 时 50 分，我国反走私艇 A 发现正东方向有一走私艇 C 以 13 海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在 MN 线上巡逻的我国反走私艇 B，已知 A，C 两艇的距离是 13 海里，A，B 两艇的距离是 5 海里，反走私艇 B 测得离 C 艇的距离是 12 海里，若走私 艇 C 的速度不变，则最早会在什么时间进入我国领海？117.2 勾股定理的逆定理课 题 17.2 勾股定理的逆定理 课 时 第 1 课时课 型 新授课 作课时间教 学内 容分 析 本节课学习勾股定理的逆定理及其应用.教 学目 标1. 通过一系列富有探究性的问题，理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系．2. 通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，掌握勾股定理的逆定理，体验数形结合思想的应用.重 点难 点勾股定理的逆定理及其应用.教 学策 略选 择与设计通过一系列富有探究性的问题，通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合思想的应用. 掌握勾股定理的逆定理，并掌握判定一个三角形是直角三角形的方法.学 生学 习方 法探究分析法，讨论法教 具 三角板教 学 过 程教师活动 学生活动 设计意图2【课堂引入】1．把准备好的一根打了 13 个等距离结的绳子，按 3 个结、4 个结、5 个结的长度为边摆放成一个三角形，请观察并说出此三角形的形状．2．分别以 2.5 cm、6 cm、6.5 cm 和 4 cm、7.5 cm、8.5 c m 为三边长画出两个三角形，请观察并说出此三角形的形状．3．结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状之间有怎样的关系吗？【新课教学】1. 介绍命题的题设和结论，并且举例说明。2.列表分清勾股定理和勾股定理的逆定理如下：定理 勾股定理勾股定理的逆定理内容如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为 c，那么 a2＋b 2＝c 2如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形题设直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边为 c三角形的三边长分别为a， b，c，满足a2＋b 2＝c 2结论 a2＋b 2＝c 2这个三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法补充：勾股定理的使用条件：必须是直角三角形，并且要分 清斜边和直角边，避免盲目代入等式而出现错误，但是，勾股定理的逆定理中的条件中不能出现直角或斜边的字眼.例 1：判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：动手练习思考口答对比分析通过学生动手实践，体验数与形的内在联系，自然地得出勾股定理的逆命题.通过比较勾股定理及其逆定理的题设和结论，引出互逆命题(定理)的概念，并通过第 5 题，进一步理解互逆命题(定理)的概念及互逆命题之间的关系.3讨论理解教师活动 学生活动 设计 意图4(1)a＝15，b＝8，c＝17(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)∵15 2 ＋8 2 ＝289，17 2 ＝289，∴15 2 ＋8 2 ＝289，∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形． （2）∵13 2 ＋14 2 ＝365，15 2 ＝225，∴13 2 ＋14 2≠15 2，∴根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形．例 2： 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上． “远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16n mile， “海天”号每小时航行 12n mile，它们离开港口一个半小时后分别位于 Q，R 处，且相距 30n mile.如果 知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？解 ：根据题意， 得PQ＝16×1.5＝24(海里)，PR＝12×1.5＝18(海里)，QR＝30(海里)．∵24 2＋18 2＝30 2，即PQ2＋PR 2＝QR 2，∴∠QPR＝90°.由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPN＝ 45°，则∠NPR＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．例 3： ①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④3n，4n，5n(n＞1 且 n 为自然数)．上面各组数中，勾股数有( B )A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组思考分析讨论读题观察图形进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节的教学重点.5规范书写解答6作业课本 34 页 1，2，3 题。板书设计17.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为 a，b，c，满足 a2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。例 1： 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝1 5，b＝8，c＝17(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)∵15 2 ＋8 2 ＝289，17 2 ＝289，∴15 2 ＋8 2 ＝289，∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．（2）∵13 2 ＋14 2 ＝365，15 2 ＝225，∴13 2 ＋14 2≠15 2，∴根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形．教学反思117.2 勾股定理的逆定理课 题 17.2 勾股定理的逆定理 课 时 第 2 课时课 型 作课时间教 学内 容分 析 本节课学习勾股定理的逆定理的应用。教 学目 标1. 通过习题，巩固如何用三角形三边的数量关系来判断三角形的 形状。2. 通过应用勾股定理的逆定理解决实际问题，学会构造直角三角形，体验数形结合思想的应用.3. 通过习题，巩固互逆命题。重 点难 点勾股定理的逆定理及其应用.教 学策 略选 择与设计先通过习题，应用勾股定理的逆定理巩固如何用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状。再通过实际问题，学会构造直角三角形，体验数形结合思想的应用.最后通过习题，巩固互逆命题。学 生学 习方 法记忆法，分析法，讨 论法教 具 三角板教 学 过 程教师活动 学生活动 设计意图2一．利用勾股定理的逆定理判定直角三角形：用勾股定理的逆定理判定直角三角形的一般步骤：(1)先找出三角形中最长的边 c；(2)分别计算 a2＋b 2和c2；(3)判断 a2＋b 2和 c2是否相等．例：判断由线段 a，b，c 组成的三角形是否是直角三角形． (1)a＝5，b＝13，c＝12；(2)a＝4，b＝5，c＝6；(3)a∶b∶c＝3∶4∶5；(4)m4＋n 4，m 4－n 4，2 m2n2(m＞n＞0)．解：(1)∵5 2＋12 2＝169，13 2＝169，∴5 2＋12 2＝13 2，∴这个三角形是直角三角形．(2)∵4 2＋5 2＝4 1，6 2＝36，∴4 2＋5 2≠6 2，∴这个三角形不是直角三角形．(3)设三角形的三边长分别为 3k，4k，5k，∵(3k) 2＋(4k) 2＝25k 2，(5k) 2＝25k 2，∴(3k) 2＋(4k) 2＝(5k) 2，∴这个三角形是直角三角形．(4)∵(m 4－n 4)2＋(2m 2n2)2＝m 8－2m 4n4＋n 8＋4m 4n4＝m 8＋2m 4n4＋n 8＝( m4＋n 4)2，∴这个三角形是直角三角形．二．利用勾股定理及其逆定理解决实际问题：在应用题 中要学会构造直角三角形，运用勾股定理及其逆定理求解．记忆应用分析讨论利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法思路。通过例题加以巩固掌握。进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用。教师活动 学生活动 设计意图3例：如图所示，已知四边形 ABCD 中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且 AB⊥BC， 求四边形ABCD 的面积． 解：如图，连接 AC.在 Rt△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2＝1 2＋2 2＝5，所以AC＝ .在△ACD 中，因为 AC2 ＋CD 2＝( )5 52＋2 2＝9，AD 2＝3 2＝9，所以 AC2＋CD 2＝AD 2，所以∠ACD＝90°.因为 S△ABC ＝ ×1×2＝1，S △12ACD＝ × ×2＝ ，所以 S 四边形 ABCD＝S △ABC ＋S △ACD ＝1＋12 5 5.5三．判断互逆命题例：下列命题是否成立，说出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)两直线平行，同位角相等；(2)若 x＝1，则 x2－1＝0；(3)对顶角相等．解：(1)命题成立．逆命题是“同位角相等，两直线平行” ．逆命题成立．(2)命题成立．逆命题是“若x2－1＝0，则 x＝1” ．逆命题不成立，因为当 x2－1＝0时，x＝±1.(3)命题成立．逆命题是“相等的两个角是对顶角” ．逆命题不成立，如图所示的∠1 和∠2 相等，但它们显然不是对顶角．读题审图分析讨论分析思考从实际生活中所遇到的问题出发，以本节的知识为载体建立数学模型，利用数学模型(勾股定理的逆定理)去解决实际问题，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，有效地培养了学生的应用意识.当堂检测，及时反馈学习效果．1．判断由线段 a， b， c 组成的三角形是不是 直角三角形：4作业(1) a＝7， b＝24， c＝25；(2) a＝ ， b＝4， c＝5；41(3)a＝ ， b＝1， c＝ ； (4) a＝40， b＝50， c＝60.54 342．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？(1)同旁内角互补 ，两直线平行；(2)如果两个角是直角，那么它们相等；(3)全等三角形的对应边相等； (4)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(5)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．板书设计17.2 勾股定理的逆定理例：如图所示，已知四边形 ABCD 中，AB＝1，BC＝2，CD＝ 2，AD＝3，且 AB⊥BC，求四边形 ABCD 的面积．解：如图，连接 AC.在 Rt△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2＝1 2＋2 2＝5，所以 AC＝ .5在△ACD 中，因为 AC2＋CD 2＝( )2＋2 2＝9， AD2＝3 2＝9，所以 AC2＋CD 2＝AD 2，5所以∠ACD＝90°.因为 S△ABC ＝ ×1×2＝1，S △ACD ＝ × ×2＝ ，12 12 5 5所以 S 四边形 ABCD＝S △ABC ＋S △ACD ＝1＋ .5教学反思117.2 勾股定理的逆定理课 题 17.2 勾股定理的逆定理 课 时 第 3 课时课 型 习题课 作课时间教 学内 容分 析 本节课通过习题勾股定理的逆定理及其应用.教 学目 标1. 通过习题，巩固如何用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状。2. 通过应用勾股定理的逆定理解决几何和实际问题，学会构造直角三角形，体验数形结合思想的应用.3. 通过习题，巩固互逆命题。重 点难 点勾股定理的逆定理及其应用.教 学策 略选 择与设计先通过习题，应用勾股定理的逆定理巩固如何用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状。再通过几何实际问题，学会构造直角三 角形，体验数形结合思想 的应用.最后通过习题，巩固互逆命题。学 生学 习方 法分析法，讨论法， 练习法教 具 三角板教 学 过 程教师活动 学生活动 设计意图21．以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有( B )①3，4，5②1，2，4③3 2，4 2，5 2④6，8，10A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个2. ①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④3n，4n，5n(n＞1 且 n 为自然数)．上面各组数中，勾股数有( B )A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组3．判断由线段 a， b， c 组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝7， b＝24， c＝25；(2) a＝ ， b＝4， c＝5；41(3)a＝ ， b＝1， c＝ ；54 34(4)a＝40， b＝50， c＝60.4. 如图 1，若小方格边长均为 1，则△ ABC 是（ ）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对5. 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是( A )A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定6. 若一个三角形的三边之比为 3∶4∶5，且周长为 60 cm，则它的面积为 .计算判断思考计算进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节的教学重点.当堂检测，及时反馈学习效果．3口答填空教师活动 学生活动 设计意 图47． 如果△ABC 三边长 a，b，c 满足关系式|a＋2b－60|＋(b－18) 2＋|c－30|＝0，则△ABC 是__________三角形．8． 在△AB C 中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝5，BC 边上的中线长为 4，则 S△ABC ＝__________．9. 如图，四边形 ABCD 中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝90°，求这个四边形的面积．10．在△ ABC 中， AB＝13， BC＝10， BC 边上的中线AD＝12.求 AC.11. 如图，每个小正方形的边长都为 1.(1)求四边形 ABCD 的面积与周长；(2)∠ BCD 是直角吗？12．如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD上一点，且 CF＝ CD. 求证:∠ AEF＝90°.1413．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？(1)同旁内角互补，两直线平行；(2)如果两个角是直角，那么它们相等；(3)全等三角形的对应边相等；计算填 空观察思考分析讨论观察口答分析通过练习，加强对勾股定理及勾股定理的逆定理的认识及应用.比较勾股定理及其逆定理的题设和结论，通过练习题复习互逆命题(定理)的概念。5(4)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 讨论口述 1．在△ABC 中，AB＝5，AC＝5，BC ＝5 ，求△ABC 各内角的度数．26作业2．如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求 DC 的长．板书设计17.2 勾股定理的逆定理12．如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点，且 CF＝ CD. 14求证:∠ AEF＝90°.解：设正方形边长为：4 k，则 CF＝ k， BE＝ CE＝2 k，∴ AE＝2 k， EF＝ k， AF＝5 k.5 5∵ AE2 ＋ EF2＝ AF2，∴∠ AEF＝90°.13．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？(1)同旁内角互补，两直线平行；(2)如果两个角是直角，那么它们相 等；(3)全等三角形的对应边相等；(4)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．答案： (1)两直线平行，同旁内角互补．逆命题成立．(2)如果两个角相等，那么这两个角都是直角．逆命题不成立．(3)如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等．逆命题成立．(4)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．逆命题不成立．教学反思7