八年级数学下册 19 一次函数教案（打包10套）（新版）新人教版.zip

119.1.1 函数一、教学目标1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量；二、课时安排：1 课时三、教学重点：１．认识变量、常量．2． 变量、常量必须存在于一个变化过程中.四、教学难点： 用含有一个变量的式子表示另一个变量．五、教学过程（一）导入新课 图片欣赏开头语：为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的 知识，共同见证事物变化的规 律.（二）讲授新课问题 1：汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间 为 t 小时，先填下面的表，再试用含 t 的式子表示 s.1．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．2．试用含 t 的式子表示 s．s=_________________2这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程． 问题 2：每张电影票的售价为 10 元，如果早场售出票 150 张，日场售出 205 张，晚场售出 310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，怎样用含 x 的式子表示 y？1．在以上这个过程中，变化的量是________________________．不变化的量是__________________________．2．试用含 x 的式子表示 y．y=_________________ 这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题 3：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长 10cm，每 1kg重物使弹簧伸长 0．5cm，怎样用含有重物质量 m 的式子表示受力后的弹簧长度？1．在以上这个过程中，变化的量_______________________．不变化的量是____________________．2．试用含 m 的式子表示 L．L=_____ ____________ 这个问题反映了_________随____________的变化过程．问题 4：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个 面积为 10cm2 的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为 20cm2 呢？怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径 r？1．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．2．试用含 s 的式子表示 r．r=_________________这个问题反映了___ 随___的变化过程．变量（variable)：在一 个变化过程中，数值 发生变化的量为变量。常量（constant）：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。问题 1：在一个变化过程中，理解变量、常量的关键词是什么？指出：在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词分别是：发生了变化和始终不变.问题 2：请指出上面四个问题中的常量、变量。3（三）重难点精讲例：指出下列关系式中的变量与常量：(1) y = 5x －6； (2) y= x6(3) y= 4X2＋5x－7； (4) S = Лr 2解：（1）5 和-6 是常量，x 和 y 是变量. （2）6 是常量，x、y 是变量.（3）4、5、-7 是常量，x、y 是变量.（4）兀是常量，s、r 是变量.（四）归纳小结：引导学生总结本课知识点（五）随堂小测:1．长方形相邻两边长分别为 x、y，面积为 30，则用含 x 的式子表示 y 为____________，则这个问题中，____________常量；____________是变量．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．2.直角三角形中一个锐角 α 与另一个锐角 β 之间的关系．试用含 α 的式子表示 β 。3.一盛满 30 吨水的水箱，每小时流出 0.5 吨水，试用流水时间 t（小时）表示水箱中的剩水量 y（吨）．六、板书设计19.1.1 函数常量： 例题：变量:七、作业布置：家庭作业：完成本节的同步练习预习作业：预习 19.1.2 导学案中的“预习案”8、教学反思： 这节课我们学习的主要内容是什么？1.变量、常量的概念2.会用一个变量表示另一个变量119.1.2 函数一、教学目标1．进一步体会运动变化过程中的数量变 化；从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念．2.了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简单实际问题中的函数关系；3.能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围；二、课 时安排：1 课时三、教学重点：概括并理解函数概念中的单值对应关系．四、教学难点：用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自变量取值范围．五、教学过程（一）导入新课 我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说 当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容．（二）讲授新课[师]我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．[生]活动一两个问题都有两个变量．问题（1）中，经计算可以发现：行驶里程 s（千米）与行驶时间 t（小时）的关系式为：S=60t。每当行驶时间 t 取定一个值时，行驶里程 s 就随之确定一个值．例如当 t=1，则 s=60；当t=2，则 y=120；当 t=3，则 y=180．问题（2）中，通过试验可以看出：票房收入 y 元与售票数量 x 张的关系式： y=10x X=150 时 y=1500; X=205 时 y=2050；X=310 时 y=3100；[师]很好，他说得非常正确．谢谢你．我们再来回顾活动二中的两个问题．看看它们中的变量又怎样呢？[生]活动二中的两个问题也都分别有两个变量．问题（3）中，很容易算出：2圆的面积 s 与半径 r 的关系式为（ ）.当 S=10cm2时，r=1．78cm；当 S=20cm2时，r=2．52cm．每当 S 取定一个值时，r 随之确定一个值，它们的关系为 r= ．S问题（4）中，我们可以根据题意，矩形的邻边长 y 与 x 的关系式为：y=5-x每确定一个矩形的一边长，即可得出另一边长，再计算出矩形的面积．如：当 x=1cm 时，则Ｓ＝1×（5-1）=4cm 2，当 x=2cm 时，则Ｓ＝2×（5-2）=6cm 2……它们之间存在关系 S=x（5-x）=5x-x2．因此可知，每当矩形长度 x 取定一个值时，面积Ｓ就随之确 定一个值．[师]谢谢你，大家为他鼓掌．由以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量 取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标 x 表示时间，纵坐标 y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于 x 的每个确定的值，y 都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量 x 与 y，对于表中每个确定的年份（x） ，都对应着个确定的人口数（y）吗？中国人口数统计表年份 人口数／亿1984 10．341989 11．061994 11．761999 12．523[生]我们通过观察不难发现在 问题（1）的心电图中，对于 x 的每 个确定值，y 都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份 x，都对应着一个确定的人口数 y．[师]一般地，在一个变化过 程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量（independentvariable） ，y 是 x 的函数（function） ．如果当 x=a 时，y=b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值．据此我们可以认为：上节情景问题中时间 t 是自变量，里程 s 是 t 的函数．t=1 时的函数值s=60，t=2 时的函数值 s=120，t=2．5 时的函数值 s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间 x 是自变量，心脏电流 y 是 x 的函数；人口数统计表中，年份 x 是自变量，人 口数 y 是 x 的函数．当 x=1999 时，函数值 y=12.52 亿．从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．[活动一]活 动内容设计：1．在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：x 1 3 -4 0 101y显示的数 y 是输入的数 x 的函数吗？为什么？2．在计算器上按照下面的程序进行操作．下表中的 x 与 y 是输入的 5 个数与相应的计算结果：x 1 2 3 0 -1y 3 5 7 2 -1所按的第三、四两个键是哪两个键？y 是 x 的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有 x 的式子表示 y） ．4设计意图：通过在计算器上操作及填表分析，进一步认识函数意义，经过对表中数据分析推理验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法．教师活动：引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式．学生活动：在教师引导下，1．经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更加深刻理解函数意义．2． 通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程，进一步掌握建立函数关系式的办法．活动结论：1．从计算结果完全可以看出，每输入一个 x 的值，操作后都有一个唯五的 y 值与其对应，所以在这两个变量中，x 是自变量、y 是 x 的函数．2．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是 这两个键，且每个 x的值都有唯一一个1y 值与其对应，所以在这两个变量中，x 是自变量，y 是 x 的函数．关系式是：y=2x+1[师]通过以后活动，我们对函数意义认识更深刻了，并完善掌握了函数关系式确定的方法．为了进一步学好函数，我们再来完成一个问题．（三）重难点精讲[活动二]活动内容设计：一辆汽车油箱现有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y（L）随行驶里程 x（km）的增加而减少，平均耗油量为 0．1L/km．1．写出表示 y 与 x 的函数关系式．2．指出自变量 x 的取值范围．3．汽车行驶 200km 时，油桶中还有多少汽油？设计意图：通过这一活动，加深函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法．学会确定自变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题．教师活动：注意学生在活动中对函数意义的认识水平，引导其总结归纳自变量取值范围的方法．5学生活动：通过活动，感知体会函数意义，学会确立函数关系式及自变量取值范围，并能掌握其一般方法．活动过程及结果：1．行驶里程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x 的函数．行驶里程 x 时耗油为：0.1x油箱中剩余油量为：50-0.1x所以函数关系式为：y=50-0.1x2．仅从式子 y=50-0．1x 上看，x 可以取任意实数，但是考虑到 x代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为 0.1x，它不能超过油箱中现有汽油 50L，即0.1x≤50，x≤500．因此自变量 x 的取值范围是：0≤x≤5 003．汽车行驶 200km 时，油箱中的汽油量是函数 y=50-0．1x 在 x＝200 时的函数值，将 x=200代入 y=50-0．1x 得： y=50-0．1×200=30汽车行驶 200km 时，油箱中还有 30 升汽油．[师]通过这个活动，我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义．（四）归纳小结：本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数 值，提高了用函数解决实际问题的能力．（五）随堂小测:写出下列各问题中的关系式，并指出其中的自变量与函数。（1）正方形的面积S 随边长 x 的变化答案：S=x 2（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕地面积y随着人数x的变化而变化答案：6106(3)长方形的周长是18 ,它的长是m，宽是n ；答案：m=9-n4.答案：A六、板书设计19.1.2 函数定义： 例题：七、作业布置：家庭作业：完成本节的同步练习预习作业：预习 19.2.1 导学案中的“探究案”八、教学反思： 本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力．119.2.1.1 正比例函数一、教学目 标（1）理解正比例函数的概念；（2）会用正比例函数表示实际问题中的数量关系，会解决简单的实际问题和相关的数学问题二、课时安排： 1 课时三、教学重点：经历正比例函数概念的形成过程，理解正比例函数的概念；四、教学难点：能根据已知条件确定正比例函数的解析式，体会函数建模思想．五、教学过程（一）导入新课 上一节我们已经学习了关于函数的最基础的知识，知道了变量与函数、函数的图象及函数的三种表示方法，从这节课开始，我们将重点研究一种最基本的具 体函数——一次函数，本节课先研究特殊的一次函数——正比例函数.（二）讲授新课问题 1 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1 318km.设列车的平均速度为 300km/h.考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？(1)1318÷300≈4.4（ h）（2）京沪高铁列车的行程 y（单位：km）与运行时间 t（单位：h）之间有何数量关系？y=300t ( 0≤ t≤4.4）（3）这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．是.因为对于 t 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与其对应.（4）对于自变量 t 和函数 y 的每一对对应值，y 与 t 的比值是多少？这个比值会发生变化吗？300.比值不会改变.（5）如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程 y（单位：km）和运行时间 t（单位：h）是什么关系？2正比例关系（6）京沪高铁列车从北京南站出发 2.5h 后，是否已经过了距始发站 1 100km 的南京南站？对于函数 ,当 时,ty305.2)(750.23kmy师生活动:教师引导学生分析问题中的数量关系，这是典型的行程问题，数量关系是学生熟悉的“路程=速度×时间” ．设计意图：让学生真切感受数学与实际的联系，即数学理论来源于实际又服务于实际．帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模型的能力，初步体会函数建模思想．对问题（1）学生解答后可追问：在京沪高速铁路上以平均速度 300km/h 运行的列车，其运行时间在什么范围内？设计意图：由于自变量 t 是列车运行时间，作为实际问题，自变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明．对问题（2）的分析解答过程让学生回答下列问题：追问 1 这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．设计意图：让学生感受量与量之间的函数关系，体会函数关系蕴涵在实际问题中，激发学生探究兴趣．对理由的说明学生可能有障碍，此时教师要引导 学生回顾函数概念的学习过程，用函数的概念来回答：问题中的两个变量，当其中的变量 t 变化时，另一个变量 y 随着 t 的变化而变化，并且对于变量 t 的每 一个确定的值，另一个变量 y 都有唯一确定的值与之对应．追问 2 请你写出 y 与 t 之间的函数解析式，并分析解析式在结构上是什么形式？追问 3 对于自变量 t 和函数 y 的每一对对应值，y 与 t 的比值是多少？这个比值会发生变化吗？师生活动: 追问 2 学生独立完成写出解析式，观察解析式的结构形式后发表意见与同学交流；追问 3 分小组分别取不同的对应值，求出比值后 先小组内统一意见，然后全班交流．设计意图：让学生初步感知正比例函数解析式的结构形式为：左边是表示函数的字母，右边是常数（量）与自变量的积的形式．正比例函数的基本特征是：对于自变量和函数的每一对对应值，函数值与自变量的比值是一定的，都等于自变量前的那个常数．对问题（3）的分析解答后可追问：我们是怎样确认列车是否已经过了南京南站的？师生活动:教师引导学生分析，根据函数解析式，求自变量 t=2.5 时的函数值，得出列车出发2.5 小时的行程，再与两站的实际距 离比较，对实际问题的作出解答．设计意图：让学生初步体会用函数建模思想解决实际问题的方法．32.类比思考，概括共性问题 2 思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．（1）圆的周长 l 随半径的变化而变化．（2）铁的密度为 7.8g/cm3，铁块的质量 m（单位：g）随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为 0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的个数 n 的变化而变化．（4）冷冻一个 0℃的物体，使它每分钟下降 2℃，物体的温度 T（单位：℃）随冷冻时间（单位：min）的变化而变化．师生活动：学生根据每个问题中蕴涵的数量关系和已知条件，运用函数建模思想独立写出每个问题中变量间的函数解析式．设计意图：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数 关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力．追问：这些函数解析式有哪些共同特征？师生活动：引导学生类比问题 1 的分析方法，对 4 个解析式从结构形式上分析它们的共同特征，学生分组讨论，教师参与讨论并组织交流．设计意图：通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备．3.归纳抽象，建立概念问题 3 你能否根据上面这些函数的共同特征归纳出这种函数的一般形式？一般形式中各字母的意义是什么？师生活动：教师引导学生归纳出这些函数的一般形式，即都可以写成 y=kx（k 是常数，k≠0）的形式．设计意图：让学生根据共同特征归纳抽象出正比例函数的一般形式，培养学生从具体问题中抽象出共同具有的本质属性的能力．知道一般形式中各字母的意义．知道自变量系数的限制条件为k≠0．追问 1：函数 y=kx（k 是常数，k≠0）中，对于自变量 x 和函数 y 的每一组对应值，函数值与对应自变量的比值等于多少？这说明这两个变量之间有怎样的关系？设计意图：强化学生对正比例函数基本特征的认识，知道正比例函数的两个变量具有正比例关4系，为给正比例函数下定义埋下伏笔．追问 2：如果给这样的函数取一个名称，你觉得应该叫什么函数比较合适？师生活动：师生共同归纳出正比例函数的概念．一般地，形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数．设计意图：引导学生根据函数解析式的形式和变量间具有的正比例关系，得出正比例函数的定义．（三）重难点精讲问题 4 （1）请你举出几个 y 是 x 的正比例函数的解析式；（2）完成教科书第 87 页练习 1，补充问题：如果是，请指出比例系数是多少？（3）完成教科书第 87 页练习 2．师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论后交流，教师予以激励性评价．设计意图：引导学生根据概念辨析正比例函数，能够从实际问题中根据已知条件抽象出函数模型并辨析是否是正比例函数．（四）归纳小结：（1）本节课我们学习了哪些知识？（2）正比例函数概念中对比例系数 k 有怎样的限制条件？（3）请 举一个生活中正比例函数的实例.（五）随堂小测:1、函数 xmy)3( 是正 比例函数， 则 m 的取值范围是___________.答案： 2、函数 是正比例函数， 则 m 的取值范围是___________.1答案: 3、已知：y=(k+1)x+k-1 是正比例函数，则 k=____ 答案：1 4、已知一个正比例函数的比例系数是-5， 则它的解析式为___________。答案： xy5六、板书设计正比例函数5概念： 例 1：注意： 七、作业布置：家庭作业：完成本节的同步练习预习作业：预习下一讲导学案中的“探究案”八、教学反思： 对正比例函数概念的学习，既要借助具体的函数进一步加深对函数概念的理解，即实际问题的两个变量中，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，而且对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，这是理解正比例函数的核心；也要加强对正比例函数基本特征的认识，即根据实际问题构建的函数模型中，函数和自变量每一对对应值的比值是一定的，等于比例系数，反映在函数解析式上，这些函数都是常数与自变量的积的形式，这是正比例函数的基本特征.119.2.1.2 正比例函数的性质一、教学目标1．会画正比例函数的图象；2．能根据正比例函数的图象、解析式等, 理解 k＞0 和 k＜0 时，函数的图象特征与增减性；3．用数形结合的方法，通过画图、观察,概括正比例函数的图象特征及正比例函数的性质的活动，发展数学概括能力，体会数形结合的思想。二、课时安排：1 课时三、教学重点： 能根据正比例函数的图象、解析式等, 理解 k＞0 和 k＜0 时，函数的图象特征与增减性4、教学难点：能根据正比例函数的图象、解析式等, 理解 k＞0 和 k＜0 时，函数的图象特征与增减性五、教学过程（一）导入新课 1.一般地，形如 ___________（ ）的函数，叫做正比例函数，其中 ___叫做比例系数。y:x=______.请你写出两个具体的正比例函数解析式，并指出它的比例系数是正数还是负数。2.用描点法画函数图象的步 骤是 ___ ，注意事项有哪些？（二）讲授新课请同学们独立的认真阅读教材第 87-89（练习之前）的内容，注意正比例函数的特征有哪些，8 分钟后完成检测：1、画出下列函数的图象：（1） （2） 2、正比例函数 的图象过第二、四象限，则 ___0, 随 的增大而____.kyx3、正比例函数 的图象经过（3,4 ） ，则 k=_____学生将自学检测中的图形画在这个环节的平面直角坐标系中，教师点拨画图注意问题。（三）重难点精讲例 1：画正比例函数 y =2x 的图象2解：1.列表2.描点 3.连线 观察上图，正比例函数 y= kx (k≠0)的图象有什么特征和性质？1、一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象是一条经过_____的 直线2、当 k0 时，直线 y=kx 经过第____象限 ，从左向右上升,即随着 x 的增大 y也增大；当 k＜0 时,直线 y=kx 经过第____象限,从左向右下降,即随着 x 的增大 y 反而减小。已知正比例函数 （1）哪些函数图像经过第一、三象限？15,3yxyx（2）哪些函数的函数值 y 随着自变量 x 的减小而增大？（3）如果正比例函数 y=-5x 的图像上有两点， 和 ，那么 y1与 y2有11,Ay22,怎样的大小关系？你是怎样判断出来的？通过以上学习，画正比例函数图象有无简便的办法？归纳 ：正比例函数 的图象是经过原点____和点________的一条直线。(0)ykx（四）归纳小结正比例函数 y= kx (k≠0) 的图象是经过原点____和点_____的一条直线。解析式 图象 图像 位置 图像变化（五）随堂小测:31、若 是正比例函数， 则 m = 。23()myx答案;22、正比例函数 y=(m-1)x 的图象经过一、三 象 限，则 m 的取值范围是___答案：m13、直线 y=(k 2+3)x 经过 象限，y 随 x 的 减小而 答案：一、三 增大六、板书设计1. 画图象的步骤：列表，描点，连线2. 两点法画正比 例函数 的图象：（ 0,0）,(1,k)3、正比例函数 的性质：(1) 当 k0 时，正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量 x 逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大。(2) 当 k0 时，正比例函数的图像经过 第二、四象限，自变量 x 逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小。七、作业布置：1.课时作业2.预习下一讲导学案八、教学反思： 本节课前，学生在“变量之间的关系”的学习中已经接触了 “图象” ，为描点画图象打下了良好的基础，通过上节课的学习了解正比例函数的概念，对正比例函数已经有了初步的认识。正比例函数是学生第一次接触函数，缺乏研究函数图像及性质的学习经验。因此本节课的教学中给予学生足够的时间和空间，在画图过程中培养动手动脑的能力，并在动手动脑的过程中逐步理解正比例函数的图象和性质。119.2.2.1 一次函数一、教学目标1. 结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式。2.能根据一次函数的图象和表达式 y =kx+b（k≠0）理解 k＞0 和 k＜0 时，图象的变化情况. 从而理解一次函数的增减性。3. 通过观察图象概括一次函数性质的活动，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，体会数形结合的思想，发展几何直观。二、课时安排 1 课时三、教学重点 一 次函数的概念。四、教学难点用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括一次函数的性质。五、教学过程（一）新课导入【过渡】在上节课的学习中，我们主要学习了正比例函数的定义以及性质，现在大家来填空一下这个表格吧。课件展示表格。【过渡】从刚刚的复习中，大家掌握的都很不错。正比例 函数相对来说是比较基础的，今天我们就来学习另一种函数：一次函数。一次函数的图象和性质有什么特点呢？今天我们就来探究一下。（二）讲授新课【过渡】在正式上课之前，我们先通过几个简单的问题，来检测一下大家预习的情况。课件展示问题。21、下列函数①y=2x-1，②y=πx，③y= ，④y=x 2中，一次函数的个数是（ ）3xA．1 B．2 C．3 D．42、一次函数 y=-2x+2 的 图象大致是（ ）A． B． C． D．3、一次函数 y=5x-3 不经过第（ ）象限．A．一 B．二 C．三 D．四4、 一次函数 y=-5x+3 的图象经过的象限是（ ）A．一，二，三 B．二，三，四C．一，二，四 D．一，三，四【过渡】现在，我们一起来看一下今天要学习的内容。1．一次函数【过渡】跟学习正比例函数一样，我们通过不同的问题来学习一次函数。首先，我们来思考这样一个问题。某登山队大本营所在地的气温为 5ºC，海拔每升高 1km 气温下降 6ºC，登山队员由大本营向上登高 xkm 时，他们所在的位置的气温是 yºC，试用解析式表示 y 与 x 的关系。【过渡】通过分析，我们知道，海拔每增加 xkm，气 温就下降 6x℃，因此，我们得到解析式为：y=-6x+5【过渡】对于这个关系式，我们能够计算不 同海拔下的温度，比如说，登山队员由大本营向上登高 0.5km 时，他们所在位置的气温就是 y=-6×0.5+5=2℃。【过渡】根据刚刚的问题，我们知道，这个解析式与正比例函数相比，多了一个常数项。那么是不是所有的这类式子都有一样的特征呢？我们再来看几个问题。课本 P90 思考内容。【过渡】这几个问题的函数关系式很容易就能得到，大家观察这四个关系式，这几个关系式有什么共同点呢？（学生回答）3列表更清晰直观。【过渡】根据大家的观察，这些函数有什么共同点？都是常数 k 与自变量的积与常数 b 的和的形式。【过渡】在数学中，我们将这样的函数称为一次函数。一般地，形如 y=kx+b（k、b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。【过渡】我们上节课学习的正比例函数与一次函数有什么关系呢？通过对两个解析式的观察，我们发现，当 b=0 时，y=kx+b 为 y=kx，正比例函数是特殊的一次函数。 2、一次函数的图象【过渡】上节课我们学习的正比例函数图象的特点，与 k 的正负有关，那么，对于一次函数而言，是否与 k 有关呢？对于另一个常量 b 来说，有没有关系呢？我们来验证一下吧。【过渡】我们以例 2 为例，按照画函数图象的步骤：列表、描点、连线，得到如图所示的图象。然后我们将第二个图象也画出来。观察这两个图象，有什么相似之处呢？（1）你能说出一次函数 y=-6x+5 的图象是什么形状吗？（2）它与直线 y=-6x 有什么关系吗？（3）这种关系能推广到一次函数 y=kx+b 与正比例函数 y=kx 的关系吗 ？【过渡】通过对比我们所得到的图象，我们发现：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同。而观察两条直线在直角坐标系中的位置，又能得到：函数 y1=-6x 的图象经过原点，函数 y2=-6x+5 的图像与 y 轴交于点（0,5） ，即它可以看作由直线 y1=-6x 向上平移 5 个单位长度而得到。【过渡】通比较这两个图象，我们能得到一次函数的图象与正比例函数的图象的关系：函数 y=kx+b 图象可以看作由直线 y=kx 图象平移|b|个单位长度而得到。4（当 b＞0 时，向上平移，当 b＜0 时，向下平移)。【过渡】一次函数的图象也是一条直线，我们称之为直线 y=kx+b。【过渡】在正比例函数的图象中，我们知道，k 的取值会影响直线的方向，既然一次函数可以看做是由正比例函 数平移得到的，那么一次函数的方向是否也与 k 有关呢？我们来看例 3。课件展示画图。【过渡】针对例 3，我们有两种不同的画法，一种是平移法，根据一次函数与正比例函数的关系，平移就能得到。另一种方法即为描点法。【过渡】画出 y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1 的图象。通过刚刚的比较，我们发现，一次函数的图象同样与 k 的取值有关，这一点与正比例函数的 图象性质是一致的：k＞0 时，直线左低右高，y 随 x 的增大而增大；k＜0 时，直线左高右低，y 随 x 的增大而减小。当|k |越大时，图象越靠近 y 轴。总结一次函数的性质。（三）重难点精讲1、一次函数的图象的画法：经过两点（0，b） 、 （- ，0）或（1，k+b）作直线 y=kx+b。bk注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线） ，但直线不一定是一次函数的图象．如 x=a，y=b 分别是与 y 轴，x 轴平行的直线，就不是一次函数的图象。2、一次函数图象之间的位置关系：直线 y=kx+b，可以看做由直线 y=kx 平移|b|个单位而得到．当 b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律 是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线。3、一次函数的性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大，函数 从左到右上升；k＜0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降．5由于 y=kx+b 与 y 轴交于（0，b） ，当 b＞0 时， （0，b）在 y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正半轴；当 b＜0 时， （0，b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴。（四）归纳小结1、一次函数的定义及解析式。2、一次函数的图象。3、一次函数图象的性质。（五）随堂检测1、 （1）不画图象，仅以函数解析式，你能否判断直线 y=3x+4 与直线 y=3x-1 的位置关系是 平行 。 （2）直线 y=3x-2 可由直线 y=3x 向 下 平移 2 单位得到。（3）直线 y=x+2 可由直线 y=x-1 向 上 平移 3 单位得到。2、若函数 y=（m-1）x |m|-1 是关于 x 的一 次函数，试求 m 的值。解：∵函数 y=（m-1）x |m|-1 是关于 x 的一次函数，∴|m|=1，且 m-1≠0，解得：m=-1。3、在同一平面直角坐标中，关于下列函数：①y=x+1；②y=2x+1；③y=2x-1；④y=-2x+1 的图象，说法不正确的是（ C ）A．②和③的图象相互平行B．②的图象可由③的图象平移得到C．①和④的图象关于 y 轴对称D．③和④的图象关于 x 轴对称4、画出函数 y=|3x|+x-2 的图象，利用图象回答：（1）x 在哪个范围，y 随着 x 的增大而减小？（2）函数图象上最低点的坐标是什么？函数 y 的最小值是多少？解：当 x＞0 时，y=3x+x-2=4x-2；当 x＜0 时，y=-3x+x -2=-2x-2。函数图象如图所示：6（1）由函数图象可知：当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；（2）由函数图象可知：图象最低点的坐标为（-2，0） ，y 的最小值为-2。六、板书设计一次函数概念 例题 练习七、作业布置1.家庭作业：完成本节课的同步练习；2.预习作业：预习下一讲导学案中的“探究案”八、教学反思119.2.2.2 一次函数一、教学目标1.学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式；2.能通过函数解决简单的实际问题；3.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的 过程中，增强数学建模意识。二、课时安排1 课时三、教学 重点待定系数法求函数解析式。四、教学难点函数解决简单的实际问题。五、教学过程（一）新课导入【过渡】 【过渡】上节课，我们学习了一次函数的图象与 k 和 b 的关系，并学习了如何简单的画出一次函数的图象，现在，我给大 家一个题目，大家画出它的图象吧。在平面直角坐标系中作出一次函数 y= x-5 的图形。52【过渡】这个图形，大家都是如何画出来的呢？（学生回答）【过渡】针对这个问题，我们先将其变式为一次函数的形式，然后根据两点法画出图象就行，相信大家都能准确的画出。那么，我就要问大家一个问题了。如果题目中先给的是图象，我们该如何去求这个函数的解析式呢？反过来已知一个一次函数的图象经过具体的点，你能求出它的解析式吗？这就是我们今天要学习的问题。2（二）讲授新课【过渡】在正式上课之前，我们先通过几个简单的问题，来检测一下大家预习的情况。课件展 示问题。1、若一次函数 y=-x+b 的图象经过点（3，2） ，则一次函数的解析式为（ B ）A．y=x+1 B．y=-x+5 C．y=-x-5 D．y=-x+12、一次函数 y=2mx+m2-4 的图象经过原点，则 m 的值为（ D ）A．0 B．2 C．-2 D．2 或-23、如图，是某复印店复印收费 y（元）与复印面数（8 开纸）x（面）的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过 100 面的部分，每面收费（ A ）A．0.4 元 B．0.45 元C．约 0.47 元 D．0.5 元【过渡】现在， 我们一起来看一下今天要学习的内容。1．待定系数法【过渡】如何根据图象，或者是图象上的点来求函数解析式，我们直接根据例题来进行讲解。课本例 4。【过渡】通过对题目的解读，我们知道，既然这两个点是图象上的点，那么，这两个点就必然适合一次函数解析式。根据我们之前学过的二元一次方程。我们就可以解出 k、b 的值。课件展示解题过程。【过渡】我们将一次函数的解析式设出，然后将过直线的两点的坐标代入这个解析式中，这样我们就得到了一个二元一次方程组，接下来要做的就是解这个方程组，我们就能够得到一次函数的解析式中的未知数 k、b，自然就得到了我们的解析式。【过渡】像这种我们先设出解析式，然后求解的方法，我们称之为待定系数法：先设出函数解析式,再根据条件确定解 析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法。【过渡】对于我们的一次函数来说，我们一般设为 y=kx+b 即可。那么待定系数法求解的过程谁能总结一下呢？3（学生回答）第一步：设，设出函数的一般形式.(称一次函数的通式)第二步：代，代入解析式得出方程或方程组.第三步：求，通过列方程或方程组求出待定系数 k,b 的值第四步：写，写出该函数的解析式.【过渡】简单的总结为四个字：设、代、求、写。【过渡】通过课堂开始我们的问题，以及刚刚的例 4，我们发现不管是从函数解析式到图象，还是从图象或点到解析式， 是可以相互转化的。这也体现出数学的基本思想方法：数形结合。【过渡】在实际问题中，有些问题可能会出现分段问题，如电费的标准等，在这种情况下，函数的图象及解析式就需要按照不同的范围分开考虑，这种函数我们一般称为分段函数。我们跟着例 5 的解答来了解一下分段函数的解析式与图象吧。讲解例 5.【过渡】从题目中，我们看出，付款金额与种子价格有关，而价格又与购买量有关，因此，我们就需要按照不同的购买量来分析问题。【过渡】这种按照自变量取值范围的函数为分段函数，它的图象也是由几个组成，但是同样的，我们能从这些图象中得到我们想要的答案。（三）重难点精讲1、待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设 y=kx+b；（2）将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式。注意：求正比例函数，只要一对 x，y 的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组 x，y 的值。（四）归纳小结1、待定系数法求一次函数解析式。2、利用函数解决实际问题。3、理解分段函数的意义。（五）随堂检测1、若一次函数 y=-x+b 的图象经过点（3，2） ，则一次函数的解析式为（ B ）4A．y=x+1 B．y=-x+5 C．y=-x-5 D．y=-x+12、若 A(-2，3)，B(1，0)，C(-1，m)三点在同一直线上，则 m 的值为多少？解：设一次函数的解析式为 y=kx+b，由于三点在同一直线上，所以3=-2k+b；0=k+b；解得：k=-1，b=1一次函数的解析式为 y=-x+1，将(-1,m)代入得：m=2。3、已知一次函数 y=（a-1）x+2（a-1） （a≠1）的图象如图所示，已知 3OA=2OB，求一次函数的解析式.解：令 x=0 得，y=2（a-1） ，由图象可知 a-1＞0，所以 OA=2（a-1） ，令 y=0 得，0=（a-1）x+2（a-1） ，解得 x=-2，所以 OB=2，又 3OA=2OB，可得 6（ a-1）=4，解得 a= ，53所以一次函数解析式为：y= x+ 。23 434、为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过 7 立方米时，每立方米收费 1.0 元并加收 0.2 元的城市污水处理费；超过 7 立方米的部分每立方米收费 1.5元并加收 0.4 元的城市污水处理费，设某户每 月用水量为 x（立方米） ，应交水费为 y（元） 。（1）分别写出用 水未超过 7 立方米和多于 7 立方米时，y 与 x 间的函数关系式；（2）如果某单位共有用户 50 户，某月共交水费 541.6 元，且每户的用水量均未超过 10 立方米，求这个月用水未超过 7 立方米的用户最多可能有多少户？解：（1）未超出 7 立方米时：y=x×（1+0.2）=1.2x；超出 7 立方米时：y=7×1.2+（x-7）×（1.5+0.4）=1.9x-4.9；（2）当某户用水 7 立方米时，水费 8.4 元。当某户用水 10 立方米时，水费 8.4+5.7=14.1 元，比 7 立方米多 5.7 元。58.4×50=420 元，还差 541.6-420=121.6 元，121.6÷5.7=21.33。所以需要 22 户换成 10 立方米的，不超过 7 立方米的最多有 28 户。x 最大可取 27。六、板书设计一次函数概念 例题 练习七、作业布置1.家庭作业：完成本节课的同步练习；2.预习作业：预习 19.2.3《一次函数与方程、不等式》导学案中的“探究案”八、教学反思