八年级数学下册 16 二次根式导学案（打包4套）（新版）新人教版.zip

116.1 二次根式一 、学习目标1、理解二次根式的性质，并利用性质对二次根式进行化简。二、预习内容预习课本 P3-4 页内容。1、二次根式的两个性质： 。根据性质进行计算。（1）如果 =x 成 立，则 x 一定是（ ）𝑥2A．正数 B．0 C．负数 D．非负数2、代数式的定义： 。三、预习检测1、如果 =-1，则 a 与 b 的大小关系为（ ）1a-b𝑎2-2ab+b2A．a＞b B．b＞a C．a≥b D．b≥a2、已知 x＜1，那么化简 的结果是（ ）𝑥2-2x+1A．x-1 B．1-x C．-x-1 D．x+13、下列各式是否成立？（1） = ；（2） = - ；(12)212 (-12)2 12（3） =3+4；（4） =3+4(3+4)2 32+42探究案一、合作探究（15min）【探究】问题 1.之前我们学习了算术平方根，现在，大家根据算术平方根的意义填一下探究内容。( )2= ________；( )2 = ________；4 2( )2 =________； ( )2 =________。13 0【过渡】请 大家思考一下，如果我们把被开方数换成 a，那么就会有： ________（a≥0） 。这就是二次根式的第一 个性质 .例题：课本例 2。2【探究】接下来，我们来看第二个探究内容。问题 2 填空：= ； = ；22 0.12= ； = 。(23)2 02和刚刚一样，我们同样将其扩展到所有范围内，则得到： （a≥0）____________由此，我们可以得到二次根式的第二个性质.【过渡】利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“ ”的形式。例题：课本例 3。【 探究】代数式：问题 3.回顾我们学过的式子，如 5，a，a+2b，-ab，等，这些式子有哪些共同特征？ 【典例】1.实数 a，b 在数轴上 的位置如图所示，化简 + -|b-a|。a2 (a-b)22. 已知 x 为实数时，化简 + 。x2-2x+1 x23二、小组展示（规定出小组展示的时间或方案）每小组口头或利 用投影仪展示 , 一个小组展示时，其他组要 积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）。交流内容 展示小组（随机） 点评小组（随机）____________ 第______组 第______组____________ 第______组 第______组三、归纳总结二次根式的性质：( 2=a（a≥0）a)=a（a≥0）a2利用二次根式的基本性质进行化简。四、课堂达标检测1、若 =3-a，则 a 与 3 的大小关系是（ ）(3-a)2A. a＜3 B. a≤3 C. a＞3 D. a≥32、把二次根式 a• 化为最简二次根式是（ ）-1aA. B. - C. - D. a a -a -a3、已知 2＜a＜3，化简 +|a-3|。(2-a)24、已知实数 a 满足 + =a，求 a-20132的值。(2013-a)2 a-2014五、学习反馈本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？4参考答案预习检测1、B2、B3、 （1）成立；（2）不成立；（3）成立；（4）不成立课堂达标检测1、B2、C3、14、2014116.1 二次根式预习案一、学习目标1、理解二次根式的乘法法则，并利用性质对二次根式进行化简。2、 理解二次根式的除法法则。3、理解最简二次根式的含义。二、预习内容预习课本第二节内容。1、二次根式的乘法法则： 。2、二次根式的除法法则： 。3、最简二次根式的条件： 。三、预习检测1、对于任意实数 x，下列各式中一定成立的是（ ）A． = •𝑥2-1 𝑥-1 𝑥+1B． =x+1(𝑥+1)2C． = •(‒4)•(‒𝑥)(‒4)(‒𝑥)D． =6x236x42、计算 • 的结果是（ ）2 3A． B． C．2 D．35 6 3 23、计算 ÷ × 结果为（ ）1834 43A．3 B．4 C．5 D．62 2 2 2探究案一、合作探究（15min）【探究】二次根式的乘法看一下课本的探究 内容，填写下列空格，研究二次根式的乘法。1、 × = ； = 。4 9 4×92、 × = ； = 。16 25 16×253、 × = ； = 。36 25 36×252从刚刚的结果中，大家能用字母表示你所发现的规律吗？二次根式的乘法法则是什么？这个乘法法则中，我们需要注意什么？例 1：计算（1） × ；（2） ×3 513 27大家思考这样一个问题， = × 成立吗？为什么？(-4)×(-9) (-4) (-9)例 2：计算（1） ；（2） 16×81 4𝑎2𝑏3从这个例题中，你可以总结出化简二次根式的一般步骤吗？例 3： 计算（1 ） × （2）3 ×2 ；（3） × 14 7； 5 10 3𝑥13xy3【探究】二次根式的除法1、 = ； = 。49 492、 = ； = 。1625 16253、 = ； = 3649 3649你能用字母表示你所发现的规律吗？你知道二次根式的除法法则是什么了吗？二次根式的除法法则要注意什么？例 4 计算: (1) ; (2) 。243 23÷ 118最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。例 6 计算： (1) ; (2) ；(3) .35 3227 82a【典 例精讲】1. 若等 式 = • 成立，化简：|2x-4|+(3x+1)(2x-1)(3x+1) (2-x)+ 。(9x2+6x+1) (4-4x+x2)2. 求比( + )6大的最小整数。6 54二、小组展示（规定出小组展示的时间或方案）每小组口头或利用投影仪展示, 一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）。交流内容 展示小组（随机） 点评小组（随机）____________ 第______组 第______组____________ 第______组 第______组三、归纳总结最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中 不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 2、3、a（a≥0） 、x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 4、9、a 2、 （x+y） 2、x 2+2xy+y2等．四、课堂达标检测1、若 + 与 − 互为倒数，则（ ）a b a bA. a=b-1 B. a=b+1 C. a+b=1 D. a+b=-12、把二次根式 a• 化为最简二次根式是（ ）-1aA. B. - C. - D. a a -a -a3、已知：m= ，a= ，b= ，则 m 的值是 （ ）ab 20062007 20072008A．大于 1 B．小于 1C．等于 1 D．无法确定4、已知|x-2|+ +z2-6z+9=0，求 • • 的值。6-y x y z5、已知 x 为奇数，且 = ，求 + 的值。x-69-x x-69-x 1+2x+x2 3x-1五、学习反馈本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？5参考 答案预习检测1、D2、B3、B课堂达标检测1、B2、C3、B4、解：∵|x-2|+ +z2-6z+9=|x-2|+ +（z-3） 2=06-y 6-y∴x-2=0，6-y=0，z-3=0，即 x=2，y=6，z=3，则原式= × × =62 6 35、解：∵ = ，x-69-x x-69-x∴x-6≥0，9-x0，解得 6≤x＜9；又∵x 为奇数，∴x=7，∴ + =8+21+2x+x2 3x-1 5116.3 二次根式的加减预习案一、学习目标1、理解二次根式的性质，并利用性质对二次根式进行化简。二、预习内容预习课本 P3-4 页内容。1、二次根式的两个性质： 。根据性质进行计算。（1）如果 =x 成立，则 x 一定是（ ）𝑥2A．正数 B．0 C．负数 D．非负数2、代数式的定义： 。三、预习检测1、下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）3A． B． C． D． 24 1232 182、下列各式计算正确的是（ ）A． + = B．4 -3 =1 C．2 ×3 =6 D． ÷ =32 3 5 3 4 3 3 27 33、下列等式一定成立的是（ ）A．a 2×a5=a10B． ＝ + C． （-a 3） 4=a12 D． ＝aa+b a b 𝑎2探究案一、合作探究（15min）探究 1．现有一块长 7.5dm、宽 5dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8dm2和 18dm2的正方形 木板？2问题是要判断能否截出两个正方形，转化为几何问题，即为判断两个正方形的边长和与长方形的边长的大小，若小于长方形的边长，则说明不能截出。那么两个正方形的边长分别是 和 ，8 18两者之和为 + 。该如何计算这个呢？8 18练习：二次根式的加减（1） +3 = （2）3 - = 5 5 5 5（3） + = （4） - =8 18 8 18（5） + = （6） + =2 3 5 3同类二次根式 ：几个二次根式化为最简二次根式后， 若被开方数________，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。如何判断是否为同类二次根式呢？练习:下列各组二次根式是否为同类二次根式？（1） 与 ； （2） 与 ；0.5 50 12 18（3）-3 与 2 ； （4） 与 ；a2b b2ab3 23ab（5） 与a31a3探究 2．在认识 了同类二次根式之后，总结二次根式加减的一般步骤。【练习】下列计算哪些正确，哪些不正确？（1） + = ； （2）a+ = ；3 2 5 b𝑎b（3） - = ； （4）a +b =(a+b) ；a b a-b a a a（5） - = - =0。133a122aa a二、小组展示（规定出小组展示的时间或方案）每小组口头或利用投影仪展示, 一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）。交流内容 展示小组（随机） 点评小组（随机）____________ 第______组 第______组____________ 第______组 第______组三、归纳总结1、二次根式的加减即为对同类二次根式的合并。2、二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的运算实质也基本相同。四、课堂达标检测1、计算：（1）3 + -4 ；（2） -15 + ；（ 3） - - + -18505 0.5 27 131448 6 32 23 48122、把下列各式化成最简二次根式（a＞0，b＞0）.（1） +3a - ×24a23a2a2 3a（2） -ab ) ÷23(18ab 2ab a23、解下列方程和不等式。（1） x+ =2x+122-1 12+1（2） （x-1）＞3（x+1）6五、学习反馈4本 节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？5参考答案预习检测1、B2、D3、C课堂达标检测1、解：（1）原式=9 + -4× =8 ；2525 22 2（2）原式=3 -15× + ×4 =- ；333 14 3 3（3）原式= - - +4 -2 = +2 。662 63 3 3 66 32、解：（1）原式=2 + - =26a6a6a 6a（2）原式= - ) × =2 。(22ab2ab2a b3、解：（1） x+ =2x+122-1 12+1分母有理化，得( +1)x+ −1＝2x− 12 2 2去括号，得 2x+ x+ −1＝2x−12 2移项及合并同类项，得x＝ −2，解得， x=-1。2（2） （x-1）＞3（x+1）6去括号，得x− ＞3x-36 6移项及合并同类项，得( -3)x ＞3+ 6 6系 数化 为 1，得x−5-2 61第 16章 二次根式复习 一、知识梳理1．二次根式的概念一般地，形如 ( a≥0)的式子叫做二次根式；(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数．(2) 是非负数，即 ≥0.a a2．二次根式的性质( )2＝ ； ＝ ＝Error!a a2 |a|3．最简二次根式满 足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)被开方数不含 ；(2)被开方数中不含能 的因数或因式．4．二次根式的运算· ＝ (a≥0， b≥0)； ＝ ( a≥0， b0)．a bab二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 的二 次根式进行合并．二、题型、技巧归纳考点一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例 1 若实数 x， y满足 ＋( y－ )2＝0，则 xy的值是________．𝑥+2 3考点二 二次根式性质的运用例 2 如图 21－1 所示是实数 a、 b在数轴上的位置，化简： － 2－ .a2 (b)  a－ b 2图 21－1考点三 二次根式的化简例 3 设 ＝ a， ＝ b，用含 a， b的式子表示 ，则下列表示正确的是( )2 3 0.54A．0.03 ab B．3 abC．0.1 ab3 D．0.1 a3b考点四 二次根式的运算例 4 计算下列各题：2(1) · · ；3105abc 532acb (－ 215bca )(2)(1－ ＋ )(1＋ － )．3 2 3 2三、随堂检测1．要使 ＋ 有意义，则 x应满足( )3‒𝑥12𝑥‒1A. ≤x≤3 B． x≤3 且 x≠ C. 0，所以 a－ b0，所以 － 2－a2 (b)＝| a|－ b－| a－ b|＝－ a－ b－[－( a－ b)]＝－ a－ b＋ a－ b＝－2 b. a－ b 233、C4、解：(1)原式＝－ × ×2310 53 5abc·2acb·15bca＝－ ＝－5 .5×2×15×3abc 6abc(2)原式＝[1－( － )]·[1＋( － )]＝1－( － )23 2 3 2 3 2＝1－( )2＋2· · －( )2＝1－3＋2 －2＝2 －4.3 3 2 2 6 6三、随堂检测1、D 2、2015，-13、D4、C5、-16、67、解：(－3) 0－ ＋ ＋ ＝1－3 ＋ －1＋ － ＝－2 .27 |1－ 2|13＋ 2 3 2 3 2 38、 解：方法一：∵x＝2－ ，∴x－2＝－ ，10 10∴x 2－4x＋4＝10，即 x2－4x＝6，∴x 2－4x－6＝6－6＝ 0.方法二：x 2－4x－6＝x 2－4x＋4－10＝(x－2) 2－10.当 x＝2－ 时，10原式＝(2－ －2) 2－10＝10－10＝0.10