1、1.了解排序不等式的数学思想和背景. 2.了解排序不等式的结构与基本原理. 3.理解排序不等式的简单应用.,1.排序不等式 定义:设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn为b1,b2,bn的任一排列,称a1b1+a2b2+anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称a1bn+a2bn-1+anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和),称a1c1+a2c2+ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和). 定理(排序原理,又称为排序不等式)设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn为b1,b2,bn的任一排列,则有a1bn+a2bn-1+anb1 a1
2、c1+a2c2+ancna1b1+a2b2+anbn,等号成立(反序和等于顺序和)a1=a2=an或b1=b2=bn. 排序原理可简记作:反序和乱序和顺序和.,名师点拨(1)排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.对于排序原理的记忆,我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系. (2)学习排序不等式要抓住它的本质含义:两实数序列同方向单调(同时增加或同时减少)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一
3、增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列.,【做一做1-1】 已知两组数a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+a5c5的最大值和最小值分别是( ) A.132,6 B.304,212 C.22,6 D.21,36 解析:由排序不等式可知,最大值应为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304,最小值为a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a
4、5b1=212. 答案:B,【做一做1-2】 设a1,a2,a3(0,+),且a1,a2,a3的任一排列为,A.3 B.6 C.9 D.12,答案:A,2.切比晓夫不等式 设a1,a2,an;b1,b2,bn为任意两组实数,上述两式中等号当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时成立.,【做一做2】 已知a1,a2,a3;b1,b2,b3R,且a1a2a3,b1b2b3,则3(a1b1+a2b2+a3b3) (a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(填“,=”号). 解析:由a1a2a3,b1b2b3, 根据切比晓夫不等式可知,即3(a1b1+a2b2+a3b3)(a1+a2+a3)(b1+
5、b2+b3), 当且仅当a1=a2=a3或b1=b2=b3时等号成立. 答案:,1.对排序不等式的证明如何理解? 剖析:在排序不等式的证明中,用到了“探究猜想检验证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了“一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法,所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解. 对于出现的“逐步调整比较法”,则要引起注意,研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时,这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的.,2.排序原理的思想是什么? 剖析:在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的
6、量,它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.,题型一,题型二,题型三,题型四,所证不等式中字母的大小顺序已确定的情况,分析:由于题目条件中已明确ab0,因此可以直接构造两个数组证明.,反思可以直接利用ab0这一条件构造两个数组,用排序不等式证明.,题型一,题型二,题型四,题型三,需对所证不等式中所给的字母顺序作出假设的情况,题型一,题型二,题型四,题型三,反思利用排序原理解答相关问题,必须构造
7、出相应的数组,并且要排列出大小顺序,因此比较出数组中各数间的大小关系是解题的关键.,题型一,题型二,题型三,题型四,对所证不等式中字母的大小顺序需要加以讨论 【例3】 若x0,求证:1+x+x2+x2n(2n+1)xn. 分析:题目中只给出了x0,但对于x1,x1没有明确,因而需要进行分类讨论. 证明:(1)当x1时,1xx2xn,由排序原理:顺序和反序和,得11+xx+x2x2+xnxn1xn+xxn-1+xn-1x+xn1, 即1+x2+x4+x2n(n+1)xn. 因为x,x2,xn,1为序列1,x,x2,xn的一个排列,所以再次由排序原理:乱序和反序和,得 1x+xx2+xn-1xn+
8、xn1 1xn+xxn-1+xn-1x+xn1, 得x+x3+x2n-1+xn(n+1)xn. 将和相加,得1+x+x2+x2n(2n+1)xn.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)当0xx2xn, 但仍然成立,于是也成立. 综合(1)(2),可知1+x+x2+xn(2n+1)xn. 反思在没有给定字母大小的情况下,要使用排序不等式,必须限定字母的大小顺序,而只有具有对称性的式子才可以直接限定字母的大小顺序,否则要根据具体情况分类讨论.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:应用排序不等式时,因忽视等号成立的条件致错. 【例4】 已知a1,a2,a3,b1,b2,b31,2,且
9、a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,试求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范围. 错解:不妨设1a1a2a32,c1,c2,c3为b1,b2,b3的一个排列,且1c1c2c32, 则a1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3,3a1b1+a2b2+a3b312. a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为3,12. 错因分析:由于a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3也不全相等,因此排序不等式中的等号不成立.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:(以上解答同错解中的过程) 3a1b1+a2b2+a3b312. 又a1,a2,a
10、3不全相等,且b1,b2,b3不全相等, 等号不成立. a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为(3,12).,1 2 3,1设a,b(0,+),P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q之间的大小关系是( ) A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ 答案:B,1 2 3,2设a1,a2,an都是正数,b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列,则,答案:B,1 2 3,3车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min,8 min,6 min,10 min,5 min,每台机床停产1 min损失5元,如果一次只能修理1台机床,则经合理安排损失最少为( )元. A.420 B.400 C.450 D.570 解析:利用排序原理求得5台机床修复时间最少为84 min,所以最少损失为845=420元. 答案:A,
