1、专题五 二次函数的综合探究 (针对陕西中考24题),第二部分 专题综合强化,中考考点 讲练,二次函数与三角形相似的综合题，可以结合几何图形来解题，充分利用图象上点的坐标就表示相关线段的长度几何意义，实现从“数或式”到“形”的转化，在解题中充分运用函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法,1二次函数与相似三角形,有关函数与相似三角形的问题一般有三个解决途径： (1)求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论； (2)利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等
2、知识来推导边的大小； (3)若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解,【例】 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线yax2bx(a0)，经过点A和x轴正半轴上的点B，AOOB2，AOB120.(1)求这条抛物线的表达式； (2)连接OM，求AOM的大小； (3)如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标,【思路点拨】 (1)根据AOOB2，AOB120，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；(2)根据(1)中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出FOM30，进而得出答案；(
3、3)分析得AOMABx150，分别根据当ABC1AOM以及当C2ABAOM时，利用相似三角形对应边成比例列方程，求出C点坐标即可,陕西中考中关于二次函数与图形的面积的综合题涉及图形的平移变换、动点问题等，通常是在坐标系背景下，利用抛物线上的点构造成三角形、四边形，然后探究几何图形的面积或周长最值解题时要充分利用二次函数的图象和性质，函数在自变量取值范围内的增减性，挖掘图形的几何意义,2二次函数与图形的周长或面积,因动点产生的最值问题一般都归于两类基本模型： (1)函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性确定某范围内函数的最大或最小值 (2)几何模型：这类模型又分为两种情况：
4、归于“两点之间的连线中线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时大都应用这一模型 归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时大都应用这一模型,(1)求抛物线的解析式； (2)证明：ABC为直角三角形； (3)ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？(顶点D、E、F、G在ABC各边上)若能，求出最大面积；若不能，请说明理由,(3)在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，AB边上有两点，AC、BC边上各有一点讨论时可设矩形一边长x，利用三角形相似等性质表示另一边，进而描述面积函数利用二次函数最值性质可求得最大面
5、积,二次函数与特殊图形的判定是陕西二次函数综合题的热点，涉及到的图形有等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，此类题以探究特殊图形存在性问题的形式出现，解题时一般先假定特殊图形存在，再通过分析、归纳、证明，得出结论若存在，可利用特殊图形的性质求解；若不存在给出证明过程，说明不存在的理由，从而解决问题,3二次函数与特殊图形的判定,(1)求二次函数的表达式； (2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； (3)在(2)的条件下，是否存在点N，使得四边形BCMN是菱形？如果存在请求出N点的坐标，否则，请说明理由 【思路
6、点拨】 (1)首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；(2)设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；(3)四边形BCMN是菱形，则BCMC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标,二次函数与图形的变换是近年二次函数综合题的热点命题之一，这类题目结构新颖，形式美观，动静结合，解法活而不难，但有较强的综合性二次函数图象与图形的变换一般指平移、轴对称、旋转(含中心对称)、位似四种变换 解决此类问题的关键在于确定的二次函数解析式方法是先将二次函数解析式化为顶点式，确定抛物线图象变换前的顶
7、点坐标，再根据图形变换的规律，确定变化后新的顶点坐标及a值，进而求出二次函数解析式,4二次函数与图形的变换,注意二次函数yax2bxc的图象有以下变换规律： (1)平移：二次函数图象左右或上下平移，a值不变； (2)轴对称：二次函数图象关于x轴对称后，a值为原来的相反数；二次函数图象关于y轴对称后，a值不变； (3)旋转：以二次函数图象的顶点为中心，旋转180的图象变换，a值变为原来的相反数,【例】 (2015菏泽改编)如图，直线yx2与二次函数yax2bx的图象交点A，B的横坐标分别是2和1，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MNx轴，交二次函数的图象于点N，,【思路点拨】 本题是主要考查了二次函数的对称变换，难点在于(3)，求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题(1)先根据一次函数表达式求出A，B两点坐标，再利用待定系数法求出a，b的值；(2)利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；(3)根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可,谢谢观看！,
