1、课时跟踪训练( 三十七)基础巩固一、选择题1若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( )Aa 2b 22ab Bab2 abC. D. 21a 1b 2ab ba ab解析 a 2b 22ab(ab) 20，A 错误 对于 B，C，当a0， 2 2.ba ab baab答案 D2(2017福建福州外国语学校期中) 在下列各函数中，最小值为2 的函数是( )Ay x (x0)1xB y cosx1cosx(00，所以1x2 2ye x 22 22，当且仅当 ex2，即 xln2 时等号成4ex ex4ex立故选 D.答案 D3(2017陕西咸阳质检) 已知 xy3，则 2x2 y的
2、最小值是( )A8 B6 C3 D42 2解析 因为 2x0,2y0，xy 3，所以由基本不等式得2x 2y2 2 4 ，当且仅当 2x2 y，即 xy 时等号2x2y 2x y 232成立，故选 D.答案 D4(2017湖南衡阳四校联考) 设 x，y 为正实数，且 x2y 1，则 的最小值为( )1x 1yA22 B322 2C 2 D3解析 因为 x，y 为正实数，且 x2y1，所以 (x 2y)1x 1y3 32 32 ，当且 仅当 x y 1 时(1x 1y) 2yx xy 2yxxy 2 2 2取等号所以 的最小值为 32 .故选 B.1x 1y 2答案 B5(2017江西九江一中期
3、中) 已知 a0，b0，如果不等式 恒成立，那么 m 的最大值等于 ( )2a 1b m2a bA10 B7 C8 D9解析 不等式 恒成立，即不等式 m(2 ab)2a 1b m2a b恒成立，而(2 a b) 5 52 9，当且(2a 1b) (2a 1b) 2ab 2ba 2ab2ba仅当 ab 时“”成立，所以 m9，m 的最大值等于 9，故选 D.答案 D6(2015陕西卷 )设 f(x)lnx,0p Dprq解析 0 ，又 f(x)lnx 在(0，) 上单调递a b2 ab增，故 f( )p，r (f(a) f(b) (lnalnb)ab (a b2 ) 12 12ln f ( )
4、p， pr0 ，b0) 过点(1,2)，则xa yb2ab 的最小值为_解析 直线 1(a0，b0)过点(1,2)，xa yb 1，2ab(2ab)1a 2b2 2 42 8(当且仅当 b2a，即(1a 2b) ba 4ab ba4aba2， b4 时取等号)答案 88设 ba0，且 ab 1，则 ，2ab，a 2b 2，b 四个数中最大12的是_解析 根据基本不等式知 a2b 22ab(ba0)，因为 ba0，且ab1，所以 b a.因为 ba 2b 2b(ab) a 2b 2a( ba)0 ，12所以 ，2ab，a2b 2，b 四个数中最大的是 b.12答案 b9(2017江苏卷 )某公司
5、一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 _解析 本 题考查基本不等式及其应用设总费用为 y 万元，则y 6 4x4 240.600x (x 900x)当且仅当 x ，即 x30 时，等号成立900x答案 30三、解答题10(1) 已知 a0，b0，c0，且 abc1，求证： 9.1a 1b 1c(2)设 a、b 均为正实数，求证： ab2 .1a2 1b2 2证明 (1) a0，b0，c0，且 abc 1， 1a 1b 1c a b ca a b cb a b cc3 ba ca a
6、b cb ac bc3 (ba ab) (ca ac) (cb bc)32229，当且仅当 abc 时，取等号13(2) 2 ，1a2 1b2 1a21b2 2ab当且仅当 ab 时取等号又 ab2 ，当且仅当 ab 时取等号，2ab 2 2 ab2 ，当且仅当Error!1a2 1b2 2即 ab 时取等号42能力提升11(2017 河北保定一模) 司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )A甲合适 B乙合适C油价先高后低甲合适 D油价先低后高甲合适解析 设 甲每次加 m 升油，乙每次
7、加 n 元 钱的油，第一次加油x 元/ 升，第二次加油 y 元/升甲的平均单价为 ，乙的平mx my2m x y2均单价为 ，因为 xy，所以 1，即2nnx ny 2xyx yx y22xyx y x2 y2 2xy4xy 4xy4xy乙的两次平均单价低，乙的方式更合适，故选 B.答案 B12(2018 贵州铜仁一中月考) 若两个正实数 x，y 满足 1，且不等式 x 4.解得 m4.故选 C.y2答案 C13已知正实数 x，y 满足 xy2xy 4，则 xy 的最小值为_解析 因 为 xy2x y 4，所以 x .由 x 0，得4 yy 2 4 yy 220, 则 00)，由各项均为正数的
8、等比数列a n满足 a7a 62a 5，可得a1q6a 1q52a 1q4，所以 q2q20，所以 q2.因为 4a 1，所以 qmn2 16，所以 2mn2 2 4，所以amanmn6，所以 (mn) (54) ，当且1m 4n 16 (1m 4n) 16(5 nm 4mn) 16 32仅当 时，等号成立nm 4mn所以 的最小值为 ，故选 A.1m 4n 32解法二(拼凑法) ：由解法一可得 mn6，所以 n6m ，又 m，n1，所以 1m5.故 1m 4n 1m 46 m 6 m 4mm6 m 3m 2m6 m 3m6 mm 2 . 3m 2 2m 2 8m 2 3m 2 16m 2 10由基本不等式可得(m2) 102 10 2(当且仅当 m2 ，16m 2 m 216m 2 16m 2即 m2 时等号成立)，易知(m2) 100，16m 2所以 .故选 A.1m 4n 3 2 32答案 A
