1、感知高考刺金 261 题在 中, 是边 上一点, , ,若 的外心 恰在线段ABCDAC6BAC4DABCO上,则 解:设 2113O因为 是等腰三角形,故 ,即AB25故有 235C再对上式两边同时与 作数量积,有 ,得AB235AOBACB1cos4A故由余弦定理得 22cos4C即 36BC点评:本题的一个难点在于从等腰三角形想到 在 方向的分量一样,即系数一致,求出 。其次还是向量与外心合作的老套路点积转边长。感知高考刺金 262 题已知平面 和 相交形成的四个二面角中的其中一个为 ,则在空间中过某定点 与这 60 P两个平面所成的线面角均为 的直线 有 条30l解:设平面 和平面 过
2、点 的法线(垂直于平面的直线)P分别为 ,则,mn,6而直线 与两个平面所成的线面角均为 可转化为直线 与l 30l法线 所成的角均为,0由“鸡爪定理”可知,直线 与法线 所成角为 的直线l,mn6有 3 条。点评:平面的法向量是平面方向的代表。“鸡爪定理”:如图,若直线 所成角为 ,则与直线,所成角相同的直线 一定在直线 的角平分面上,且该角的取值范围是 和,mnln ,2,2其中 与 就是直线 正好为直线 的两条角平分线时, 就是垂直时取得。l,mn2感知高考刺金 263 题已知向量 满足 ,则 最大值为 。,ab231ab解法 1:(方程构造法)构造方程 223()4ba则 ,当且仅当
3、,且 时,上22()()()1443b14a式等号成立解法 2:(不等式法)对于条件 ,则有 ,3ab249a又因 ,则有 ,则 ,230ab24911b因此 最大值为1解法 3:(极化恒等式法)设 , ,取 的中点为 , ,对2aOA3BAM12O于 ,因 可以变化,当 趋向于 度时, 趋OAB0向于 ,而 ,则 ,012Mb214M -因此 最大值为ab4感知高考刺金 264 题已知过点 ,且斜率为 的直线 与圆 : 相交于 两0,1AklC22(3)1xy,MN点则 MN解法 1:(普通方法)设直线 与圆的交点为 ,l12(,)(,)MxyN则 ,12(,),(,)AxyAxy由直线 与
4、圆 联立得 ,k2324(1)70kxkx因此有 , ,1212274(),kxx22111241kyOAB,因此可得2121264()1kykx1212()AMNxy22277k解法 2:(极化恒等式)如图所示,取 的中点为 ,则 ,MNGCN由极化恒等式可得224MAAG22()C187点评:这里的极化恒等式并没有出现在三角形中,但仍然适用。其本质就是圆的切割线定理。感知高考刺金 265 题已知 为双曲线 上经过原点的一条动弦,,AB2164xy为圆 : 上的一个动点,则MC22()的最大值为 。解法 1:(普通方法)设 ,满足 ;0,Mxy220()1xy设 ,满足11,(,)AxyB2164, ,10,M1010(,)xy因此 2210xy221(x,220011()()46xy20154yACNyOx因此 的最大值为MAB201maxin515144367y解法 2:(借助于极化恒等式)如图所示, 为 的中点,O,AB由极化恒等式可得 ,2M而 , ,22max(1)9Omin4A因此 的最大值为MAB 2axO22in97