1、专题限时集训(十一) 直线与圆(对应学生用书第 139 页)建议 A、B 组各用时：45 分钟A 组 高考达标一、选择题1已知直线 l： x ay10( aR)是圆 C： x2 y24 x2 y10 的对称轴过点 A(4， a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则| AB|( )A2 B4 2C6 D2 10C 圆 C 的标准方程为( x2) 2( y1) 24，圆心为 C(2,1)，半径为 r2，因此2 a110，所以 a1，从而 A(4，1)，|AB| 6.|AC|2 r2 4 2 2 1 1 2 42已知圆 x2 y2 mx 0 与抛物线 y x2的准线相切，则 m( )14 14【导学
2、号：68334121】A2 B2 3C. D.2 3B 抛物线的准线为 y1，将圆化为标准方程得 2 y2 ，圆心到准线的距离(xm2) 1 m24为 1 m .1 m24 33若动点 A， B 分别在直线 l1： x y70 和 l2： x y50 上运动，则 AB 的中点 M 到原点的距离最小值为( )A. B22 2C3 D42 2C 由题意知 AB 的中点 M 的集合为到直线 l1： x y70 和 l2： x y50 的距离相等的直线，则点 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点 M 所在的直线方程为：x y m0，根据平行线间的距离公式得， ，解得 m6，即 l： x y
3、60，再根据点到直线的距离公式得点 M 到原|m 7|2 |m 5|2点的距离的最小值为 3 .| 6|2 24已知圆心在原点，半径为 R 的圆与 ABC 的边有公共点，其中 A(4,0)， B(6,8)， C(2,4)，则R 的取值范围是( ) 【导学号：68334122】A. B4,10855， 10C2 ，10 D.5 655， 10A 由图形(图略)可得当圆与 AC 边相切时， R 取得最小值，直线 AC 的方程为2x y80，则由点到直线的距离公式可得 Rmin .当圆经过点 B 时， R 取得最大值，则855Rmax10，所以 R 的取值范围是 ，故选 A.855， 105两圆 x
4、2 y22 ax a240 和 x2 y24 by14 b20 恰有三条公切线，若 aR， bR 且ab0，则 的最小值为( )1a2 1b2A1 B3 C. D.19 49A x2 y22 ax a240，即( x a)2 y24， x2 y24 by14 b20，即 x2( y2 b)21，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则123，即 a24 b29，a2 2b 2所以 1a2 1b2 (1a2 1b2)(a2 4b29 ) 1，19(5 a2b2 4b2a2) 19(5 2a2b24b2a2)当且仅当 即 a b 时取等号，故选 A.a2b2 4b2a2 2二、填空
5、题6已知 O： x2 y21，若直线 y kx2 上总存在点 P，使得过点 P 的 O 的两条切线互相垂直，则实数 k 的取值范围是_(，11，) 因为圆心为 O(0,0)，半径 R1.设两个切点分别为 A， B，则由题意可得四边形 PAOB 为正方形，故有 PO R ，2 2由题意知圆心 O 到直线 y kx2 的距离小于或等于 PO ，即 ，即 1 k22，2|2|1 k2 2解得 k1 或 k1.7设点 P 在直线 y2 x1 上运动，过点 P 作圆( x2) 2 y21 的切线，切点为 A，则切线长|PA|的最小值是_2 圆心 C(2,0)到直线 2x y10 的距离 d ，所以| P
6、A| 2.5 |PC|2 1 d2 18若直线 l1： y x a 和直线 l2： y x b 将圆( x1) 2( y2) 28 分成长度相等的四段弧，则 a2 b2_.18 由题意得直线 l1： y x a 和直线 l2： y x b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为 r2，即 2 a2 b2(2 1)22 |1 2 a|2 |1 2 b|2 22(2 1) 218.2三、解答题9已知圆 C： x2 y24 x6 y120，点 A(3,5)(1)求过点 A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接 OA， OC，求 AOC 的面积 S.解 (1)由圆 C：
7、x2 y24 x6 y120，配方得( x2) 2( y3) 21，圆心 C(2,3). 2 分当斜率存在时，设过点 A 的圆的切线方程为 y5 k(x3)，即 kx y53 k0.由 d 1，得 k . 4 分|2k 3 5 3k|k2 1 34又斜率不存在时直线 x3 也与圆相切， 5 分故所求切线方程为 x3 或 3x4 y110. 6 分(2)直线 OA 的方程为 y x，即 5x3 y0， 8 分53点 C 到直线 OA 的距离为 d . 12 分|52 33|52 32 134又| OA| ， S |OA|d . 15 分32 52 3412 1210已知点 P(0,5)及圆 C：
8、 x2 y24 x12 y240.(1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 ，求 l 的方程；3(2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程解 (1)如图所示，|AB|4 ，将圆 C 方程化为标准方程为( x2) 2( y6) 216， 2 分3所以圆 C 的圆心坐标为(2，6)，半径 r4，设 D 是线段 AB 的中点，则 CD AB，所以| AD|2 ，| AC|4， C 点坐标为(2,6)3在 Rt ACD 中，可得| CD|2.若直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y5 kx，即 kx y50.由点 C 到直线 AB 的距离公式： 2，得 k .
9、| 2k 6 5|k2 1 2 34故直线 l 的方程为 3x4 y200. 4 分直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x0. 6 分所以所求直线 l 的方程为 x0 或 3x4 y200.10 分(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x， y)，则 CD PD，即 0，CD PD 所以( x2， y6)( x， y5)0，12 分化简得所求轨迹方程为 x2 y22 x11 y300. 15 分B 组 名校冲刺一、选择题1已知圆的方程为( x1) 2( y1) 29，点 P(2,2)是该圆内一点，过点 P 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积
10、是( ) 【导学号：68334123】A3 B45 5C5 D67 7D 依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点 P 垂直于直径的弦，所以| AC|236.因为圆心到 BD 的距离为 ，所以| BD|2 2 .则四 2 1 2 2 1 2 2 32 2 2 7边形 ABCD 的面积为 S |AC|BD| 62 6 .故选 D.12 12 7 72若直线 l： ax by10 始终平分圆 M： x2 y24 x2 y10 的周长，则( a2) 2( b2)2的最小值为( )A. B5 5C2 D105B 由题意，知圆心 M 的坐标为(2，1)，所以2 a b10.因为( a2) 2( b2) 2
11、表示点( a， b)与(2,2)的距离的平方，而 的最小值为 ，所以( a2) 2( b2) 2的最小值为 5. a 2 2 b 2 2|4 2 1|4 1 5故选 B.3命题 p：4 r7，命题 q：圆( x3) 2( y5) 2 r2(r0)上恰好有两个点到直线4x3 y2 的距离等于 1，则 p 是 q 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B 因为圆心(3，5)到直线 4x3 y2 的距离等于 5，所以圆( x3) 2( y5) 2 r2上恰好有两个点到直线 4x3 y2 的距离等于 1 时，4 r6，所以 p 是 q 的必要不充分条件4已知直线 x
12、y k0( k0)与圆 x2 y24 交于不同的两点 A， B， O 为坐标原点，且有| | | |，则 k 的取值范围是( )OA OB 33 AB A( ，) B ，2 )3 2 2C ，) D ，2 )2 3 2B 由已知得圆心到直线的距离小于半径，即 2，|k|2由 k0，得 0 k2 . 2如图，又由| |OA OB | |，得| OM| |BM| MBO ，因| OB|2，所以33 AB 33 6|OM|1，故 1 k . |k|1 1 2综得 k2 .2 2二、填空题5已知直线 x y a0 与圆 x2 y22 交于 A， B 两点， O 是坐标原点，向量 ， 满足OA OB |
13、2 3 |2 3 |，则实数 a 的值为_. OA OB OA OB 【导学号：68334124】 由|2 3 |2 3 |得2 OA OB OA OB 0，即 OA OB，则直线 x y a0 过圆 x2 y22 与 x 轴， y 轴正半轴或负半轴的OA OB 交点，故 a .26(2017浙江省五校高三联考)已知圆 C： x2( y1) 23，设 EF 为直线 l： y2 x4 上的一条线段，若对于圆 C 上的任意一点 Q， EQF ，则| EF|的最小值是_ 22( ) 欲求| EF|的最小值，由于直线 l 固定，故只需求 EQF 时的| EF|的最小5 3 2值设圆 C 上的任意一点
14、Q 到直线的距离为 t，| EF| ttan QEFttan QFE ttan QEF2 t(当且仅当 QEF 时，取等号)，所以只需求 t 的最大值，由于 tmax为圆心ttan QEF 4C(0，1)到直线 l： y2 x4 的距离 d 加上圆的半径 ，如图所示因为圆 C(0，1)到直3线 l： y2 x4 的距离为 d ，所以 tmax ，所以| EF|的最小值是(2 )55 5 5 3 5 3三、解答题7已知半径为 2，圆心在直线 y x2 上的圆 C.(1)当圆 C 经过点 A(2,2)，且与 y 轴相切时，求圆 C 的方程；(2)已知 E(1,1)， F(1，3)，若圆 C 上存在
15、点 Q，使| QF|2| QE|232，求圆心的横坐标 a的取值范围解 (1)圆心在直线 y x2 上，半径为 2，可设圆的方程为( x a)2 y( a2) 24， 2 分其圆心坐标为( a， a2)圆 C 经过点 A(2,2)，且与 y 轴相切，有Error!解得 a2， 4 分圆 C 的方程是( x2) 2 y24. 5 分(2)设 Q(x， y)，由| QF|2| QE|232，得( x1) 2( y3) 2( x1) 2( y1) 232，解得 y3，点 Q 在直线 y3 上. 7 分又点 Q 在圆 C：( x a)2 y( a2) 24 上，圆 C 与直线 y3 必须有公共点圆 C
16、 圆心的纵坐标为 a2，半径为 2，圆 C 与直线 y3 有公共点的充要条件是1 a25，即3 a1. 12 分圆心的横坐标 a 的取值范围是3,1. 15 分8已知 ABC 的三个顶点 A(1,0)， B(1,0)， C(3,2)，其外接圆为 H.(1)若直线 l 过点 C，且被 H 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程；(2)对于线段 BH 上的任意一点 P，若在以点 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M， N，使得点M 是线段 PN 的中点，求 C 的半径 r 的取值范围解 (1)线段 AB 的垂直平分线方程为 x0，线段 BC 的垂直平分线方程为 x y30，所以外接圆圆心为 H(0,
17、3)，半径为 ， 1 2 32 10 H 的方程为 x2( y3) 210.设圆心 H 到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 被 H 截得的弦长为 2，所以 d 3. 3 分10 1当直线 l 垂直于 x 轴时，显然符合题意，即 x3 为所求； 4 分当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线方程为 y2 k(x3)，则 3，解得 k ，直线|3k 1|1 k2 43方程为 4x3 y60.综上，直线 l 的方程为 x3 或 4x3 y60. 5 分(2)直线 BH 的方程为 3x y30，设 P(m， n)(0 m1)， N(x， y)，因为点 M 是线段 PN 的中点，所以 M ，(m x2
18、 ， n y2 )又 M， N 都在半径为 r 的 C 上，所以Error!即Error! 7 分因为该关于 x， y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心， r 为半径的圆与以(6 m,4 n)为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2 r r)2(36 m)2(24 n)2( r2 r)2， 8 分又 3m n30，所以 r210 m212 m109 r2对 m0,1成立而 f(m)10 m212 m10 在0,1上的值域为 ，故 r2 且 109 r2.325， 10 32512 分又线段 BH 与圆 C 无公共点，所以( m3) 2(33 m2) 2 r2对 m0,1成立，即 r2 .325故 C 的半径 r 的取值范围为 . 15 分103， 4105 )
