1、第 17 讲 线段、角、相交线和平行线1直线、射线、线段考试内容考试要求直线公理 经过两点，有且只有 条直线线段公理 两点之间，线段最 两点间的距离连结两点间的线段的 ，叫做两点间的距离bc2.角考试内容考试要求定义 1具有公共端点的两条 组成的图形叫做角角的概念定义 2一条_绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角b定义如果两个角的和等于 ，则这两个角互余b互为余角性质 同角(或等角) 的余角 c定义如果两个角的和等于 ，则这两个角互补b互为补角性质 同角(或等角) 的补角 c3.相交线考试内容考试要求对顶角 对顶角相等 b性质 1在同一平面内，过一点有且只有 条直线与已知直
2、线垂直性质 2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 最短垂直点到直线的距离直线外一点到这条直线的_的长度，叫做点到直线的距离c4.角的平分线与线段的垂直平分线考试内容考试要求角的平分线 线段的垂直平分线性质角的平分线上的点到角两边的距离 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 判定角的内部到角的两边距离相等的点在 _上与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上bc5.平行线考试内容考试要求平行线的概念在同一平面内， 的两条直线叫做平行线 b平行公理 经过直线外一点有且只有 条直线与已知直线平行平行公理的推论如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也 同位角相等，两直线平行
3、.内错角相等，两直线平行.平行线的判定同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同位角相等.平行线的性质 两直线平行，内错角相等.bc 两直线平行，同旁内角互补定义过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，_的长度叫做两条平行线间的距离平行线间的距离性质 两条平行线间的距离处处_b6.命题考试内容考试要求命题的概念判断一件事情的句子叫做命题命题的分类命题分为 命题和 命题a命题的组成命题由 和 两个部分组成 b考试内容考试要求基本思想方程思想：在解答有关线段或角的计算问题时，找出线段之间的关系或角之间的关系，列方程来解答基本方法“两点之间线段最短” 、 “垂线段最短”在求几何问题最值时经常用到c1(20
4、17宁波)已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图方式放置(ABC30)，其中 A，B 两点分别落在直线 m，n 上，若120，则2 的度数为( )A20 B30 C45 D502(2015金华)以下四种沿 AB 折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线 a，b 互相平行的是( )A展开后测得12B展开后测得12 且 34C测得12D展开后再沿 CD 折叠，两条折痕的交点为 O，测得 OAOB ，OCOD3(2017台州)如图，已知直线 ab，170，则2_.第 3 题图 第 4 题图4(2016金华)如图，已知 ABCD，BCDE.若A 20，C120，则AED 的度数是_
5、【问题】下列图形中，ABCD.(1)能使12 成立的是_(2)若145，你能求出各图形中2 的度数吗？若能，直接写出答案(3)把“ABCD”改为“12” ，那么各图形中 ABCD 还成立吗？(4)请你结合(1)、(2)、( 3)的解答，回答该题用了哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理角、相交线和平行线的相关知识类型一 线段、角的计算(1)已知 E、F 两点把线段 AB 分成 234 三部分，D 是线段 AB 的中点，例 1FB12 ，求 DF 的长及 AE AD；(2) 在同一平面上，若AOB71，BOC15，OE 是AOC 的平分线，则AOE 的度数是 _【解后感悟】在解答有关线段、
6、角的计算问题时，一般要注意以下几个方面：按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；学会观察图形，找出线段或角之间的关系，列算式或方程来解答1(1)在直线 l 上，线段 AB7cm，BC3cm，D 是 AC 的中点，求 DB 的长度(2)如图，已知 O 是直线 AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分AOB，OE 在BOC 内，2 BOEEOC，DOE 70，求EOC 的度数类型二 相交线例 2(1) (2017嵊州模拟 )如图所示的仪器中，ODOE，CD CE.小州把这个仪器往直线 l上一放，使点 D、E 落在直线 l 上，作直线 OC，则 OCl ，他这样判断的理由是( )A
7、到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上B角平分线上的点到这个角两边的距离相等C到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(2) (2017苏州模拟 )如图，在 RtABC 中，A Rt ，ABC 的平分线 BD 交 AC于点 D，AD3，BC10，则BDC 的面积是_ 【解后感悟】(1)思考问题要全面是正确解答本题的关键； (2)角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等2(1)(2015黄冈)如图，在ABC 中，CRt，B30，边 AB 的垂直平分线DE 交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，CD3，则 BC
8、 的长为( )A6 B6 C9 D33 3(2) (2016湖州 )如图，ABCD，BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直若 AD8，则点 P 到 BC 的距离是( )A8 B6 C4 D2(3) 如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：13；如果230，则有 ACDE；如果2 30，则有 BCAD；如果 230，必有4C.其中正确的有_( 只填序号) ；(4) (2017深圳市罗湖区模拟)如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；12作直线 MN 交 AB 于点 D，连结 CD
9、.若 CDAC ，A50，则ACB 的度数为_类型三 平行线(1)如图，下列条件中：BBCD180；例 312；34；B5；则一定能判定 ABCD 的条件有_(填写所有正确的序号)(2) (2017启东模拟 )如果 与 的两边分别平行， 比 的 3 倍少 36，则 的度数是_(3)(2015泰州)如图，直线 l1l 2，140，则2_.【解后感悟】(1)根据图形联想平行线的判定；(2)解题的关键：若 与 的两边分别平行，即可得 与 相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用； (3)平行线的性质和判定的互逆运用，两条直线平行时，只有被第三条直线所截时才能揭示图形中的数量关系，故延长 AE 进
10、行角的等量转换3(1)如图所示，将含有 30角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若135，则2 的度数为( )A10 B20 C25 D30(2)(2017温州模拟)如图，直线 ab，ACAB，AC 交直线 b 于点 C，160，则2 的度数是( )A50 B45 C35 D30(3) (2017河南模拟 )如图是婴儿车的平面示意图，其中 ABCD，1120，340，那么2 的度数为_类型四 命题与逆命题(1)(2017奉化模拟)对于命题“如果1290，那么12” ，能说明它例 4是假命题的反例是( )A150，240 B150，250C140，240 D145，245(2
11、)对于同一平面的三条直线，给出下列 5 个论断：ab；bc ；a b； ac；ac. 以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题，并说明理由已知：_，结论_【解后感悟】(1)理解满足已知条件，但不满足结论的例子是解决本题的关键； (2)本题是命题的叙述形式，利用平行线的判定方法解题4(1)(2017福建)下列关于图形对称性的命题，正确的是( )A圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形B正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形(2)(2017杭州模拟)选择用反证法证明“已知：在ABC 中，C90，求证：
12、A，B 中至少有一个角不大于 45”时，应先假设( )AA45，B45 BA 45，B45CA45，B45 DA45，B 45类型五 综合与应用如图，直线 AB、CD 相交于点 O，AOD3BOD20.例 5(1)求BOD 的度数；(2)以 O 为端点引射线 OE、OF，射线 OE 平分BOD ，且EOF90，求BOF 的度数，并画图加以说明【解后感悟】(1)本题利用邻补角得出关于BOD 的方程是解题关键；(2)OEOF 有两种情况，以防遗漏5(1)(2017杭州市江干区模拟) 一副直角三角尺叠放如图 1 所示，现将含 45角的三角尺 ADE 固定不动，将含 30角的三角尺 ABC 绕顶点 A
13、 顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行如图 2：当BAD15时，BC DE.则BAD(0BAD 180)其他所有可能符合条件的度数为_ (2)(2017嘉兴模拟)如图，ABD 和BDC 的平分线交于 E，BE 交 CD 于点F，12 90.试说明：ABCD；若225，求BFC 的度数【课本改变题】教材母题浙教版七下，第 29 页第 13 题小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图 1，直线 a，b 所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？(1)请帮小明在图 2 的画板内画出你的测量方案图( 简要说明画法过程)；说出该画法依据的定理(2)小明在此基础上进行了
14、更深入的探究，想到两个操作：在图 3 的画板内，在直线 a 与直线 b 上各取一点，使这两点与直线 a、b 的交点构成等腰三角形(其中交点为顶角的顶点 )，画出该等腰三角形在画板内的部分在图 3 的画板内，作出“直线 a、b 所成的跑到画板外面去的角”的平分线(在画板内的部分) ，只要求作出图形，并保留作图痕迹请你帮小明完成上面两个操作过程(必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内)【方法与对策】本题是借助实际问题场景的几何基本作图题由于题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答涉及到的几何基本作图包括：(1)过直线外一点作直线的平行线，(2) 作线段的垂直平分线；涉及到的考
15、点包括： (1)平行线的性质，(2)等腰三角形的性质，(3)三角形内角和定理，(4)垂直平分线的性质等课本改变题是当前中考命题的一种趋势，学习中要重视课本例题和习题【忽视平行线的性质的前提条件】如图，已知直线 a、b 被直线 c 所截，则12；13；23；34180中，正确的结论有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个参考答案第 17 讲 线段、角、相交线和平行线【考点概要】1一 短 长度 2.射线 射线 90 相等 180 相等 3.一 垂线段 垂线段 4.相等 相等 角的平分线 垂直平分线 5.不相交 一 平行 垂线段 相等 6.真 假 题设 结论【考题体验】1D 2.C 3.110
16、 4.80【知识引擎】【解析】(1) 根据平行线的性质对各选项分析判断由 ABCD 可得12180，故错误；ABCD，13，又 23( 对顶角相等)，12，故正确；由 ACBD 得到12，由 ABCD 不能得到，故错误；ABCD，1A，只有 ADBC 才可以有12，故错误 (2)由ABCD 可得12180，2135；245. (3)仍可以成立 (4)本题主要用到了“对顶角相等” ， “两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”的知识【例题精析】例 1 (1)设 AE2x，EF3x，FB4x，则 AB9x.D 是 AB 的中点，ADBD 4.5x.FB12，4x12，x3.又AF 2
17、x3x 5x，DF 5x4.5x0.5x0.531.5.AEAD 2x4.5x24.549.(2)如果射线 OC 在 AOB 的内部，AOCAOB BOC56，AOE AOC28，如果射线 OC 在AOB 的外部，12AOC AOBBOC 86，AOE AOC 43.故答案为：28或 43. 12例 2 (1) C；(2)过 D 作 DEBC 于 E，A 90，DAAB，BD 平分ABC，AD DE3， BDC 的面积是 DEBC 31015.故答案为：15. 12 12例 3 (1) ； (2)18或 126； (3)如图，l 1l 2，3140， ABCD， 23180，218031804
18、0 140. 例 4 (1)D； (2)本题答案不唯一，已知：ab，bc，结论 ac；已知：bc，ab，结论 ac；已知：ab，ac ，结论 bc；已知：bc，ac，结论 ab；已知：bc，ac ，结论 ab；已知：ab，ac ，结论 bc. 例 5 (1)由邻补角互补，得AODBOD180，即 3BOD20BOD 180，解得BOD40； (2)如图：由射线 OE 平分BOD，得BOE BOD 4020 ，由角的和差，得BOFEOFBOE902012 12110， BOFEOFBOE902070.【变式拓展】1(1)当点 C 在线段 AB 延长线上，如图 1：有 ACABBC7310.D 是
19、AC 的中点，AD AC5.DBABAD752( cm)12当点 C 在线段 AB 上，如图 2：有 ACABBC734.D 是 AC 的中点，ADCD AC2.DB DCCB235( cm)综上，DB 的长度为 2cm 或 5cm.12(2)设AOB 为 x，则BOC 为(180x) ，OD 平分AOB ，DOB AOB ，则可得12DOB x，2BOE EOC，BOE BOC (180x) ，12 13 13DOE DOBBOE70，则可得： x (180x)70，解得 x60，12 13BOC180 60 120 ，EOC BOC 12080. 2.(1) C (2) C (3)23 2
20、3 (4)105 3.(1) C (2)D (3)80 4.(1)A (2)D 5.(1)45，60，105，135 (2)略； 115.【热点题型】【分析与解】(1)方法一：利用平行线的性质如图 2，画 PCa，量出直线 b 与 PC的夹角度数，即为直线 a，b 所成角的度数；依据：两直线平行，同位角相等；方法二：利用三角形内角和定理如图 2，在直线 a，b 上各取一点 A，B，连结 AB，测得1，2 的度数，则 18012 即为直线 a，b 所成角的度数；依据：三角形内角和为 180； (2)如图 3，以 P 为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线 b，PC 于点B，D，连结 BD 并延长交直线 a 于点 A，则 ABPQ 就是所求作的图形；如图 3，作出线段 AB 的垂直平分线 EF，由等腰三角形的性质可知， EF 是顶角的平分线，则 EF 就是所求作的线【错误警示】1 与2 是对顶角，12.直线 a、b 不一定平行，不一定成立故答案为 A.
