1、习题课 函数的应用学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，能 够解决与函数零点相关的 问题(重点).2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异(易错点).3. 巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用(重点)1函数 f(x)e x3x 的零点个数是( )A0 B1 C2 D3解析 令 f(x)e x3x0，即 ex3x ，在同一坐标系中作出函数 ye x和 y3x 的图象，如图所示，由图知二者有一个交点，即 f(x)有 1 个零点答案 B2已知函数 f(x)Error!则函数 f(x)的零点为( )A，0 B2,0 C D012 12解析 当 x1 时，由 f(x)0 ，得 2x
2、10，所以 x0.当 x1 时，由 f(x)0，得1log 2x0，所以 x ，不成立，所以函数的零点为 0，选 D12答案 D3函数 f(x)ax 2x 1 至少存在一个零点，则 a 的取值范围是_解析 当 a0 时，f(x)x 1 有一个零点 x1；当 a0 时，则零点 14a0，解得a 且 a0，综上 a 的取值范围是 a .14 14答案 14， )4生产某机器的总成本 y(万元) 与产量 x(台)之间的函数关系式是 yx 275x，若每台机器售价为 25 万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为_台解析 设生产 x 台，获得利润 f(x)万元，则 f(x)25xy x 2100x(x5
3、0) 22 500，故当 x50 时，获得利润最大答案 50考查方向 类型一 函数的零点方向 1 判断函数零点所在的区间【例 11】 函数 f(x)2 x 3x 的零点所在的一个区间是( )A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2)解析 由 f(1) 30 及零点存在性定理，知 f(x)的零点在区间( 1,0)上12答案 B方向 2 判断函数零点的个数【例 12】 方程|x | 0(a0) 的零点有( )axA1 个 B2 个 C3 个 D至少 1 个解析 令 f(x)|x |，g(x ) (a0)，作出两个函数的图象，如图，从 图象可以看出，交点只ax有 1 个答案 A方向 3
4、根据函数零点求参数的取值范围【例 13】 已知函数 f(x)|x 23x|，xR .若方程 f(x)a|x1| 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为_解析 设 y1f( x)|x 23x|，y 2a|x1|.在同一平面直角坐标系中作出 y1| x23x|，y2a|x 1| 的图象，如图由图可知 f(x)a|x 1|0 有 4 个互异的实数根等价于 y1|x 23x|与 y2a| x1| 的图象有 4 个不同的交点，且 4 个交点的横坐 标都小于 1，所以Error!有两组不同的解消去 y 得 x2(3a)xa0，该方程有两个不等实根所以 (3a) 24a0 ，即 a210a9
5、0，解得 a9.又由图象得 a0，09.答案 (0,1)(9，)规律方法 函数零点问题的解法(1)确定函数零点所在的区间，可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理，结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数(3)根据函数的零点求参数的取值范围：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式( 组)，再通过解不等式(组) 确定参数范围；分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；数形 结合法：先 对解析式变形，在同一平面直角坐 标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【训练 1】 (1)函数 f(x)xlg x3 的零点所在的区间为
6、( )A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3，)(2)若方程 4x2 x1 3a0 有零点，则实数 a 的取值范围是_解析 (1)易知函数 f(x)xlg x3 在定义域上是增函数，f(1)1030.故函数 f(x)xlg x3 的零点所在的区间为(2,3)，选 C(2)由 4x2 x1 3a0 得 a4 x2 x1 3，又 4x2 x1 3(2 x)222 x3(2 x1)22，因为 2x0，所以(2 x1) 223.故要使原方程有零点，则 a3.答案 (1)C (2)(3，)类型二 函数模型及其应用【例 2】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益
7、与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？解 (1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为 f(x)k 1x，g(x )k 2 .x由已知得 f(1) k 1，g(1) k 2，18 12所以 f(x) x(x0)，g(x ) (x0)18 12x(2)设投资稳健型产品为 x 万元，则投资风险型类产品为(20 x)万元依题意得 yf(x )
8、g(20 x) (0x 20) x8 1220 x令 t (0t2 )，20 x 5则 y t (t2) 23，20 t28 12 18所以当 t2，即 x16 时，收益最大， ymax3 万元规律方法 建立函数模型的方法(1)关系分析法：通过寻找实际问题中的关键词和关键量之 间的数量关系来建立函数模型(2)图表分析法：通过列表的方法探求建立函数模型(3)图象分析法：通过对图象中的数量关系进行分析来建立函数模型【训练 2】 今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓为此，某工厂新购置并
9、安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染已知过滤过程中废气的污染物数量 P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时) 间的关系为 PP 0ekt (P0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数) ，其中 P0 为t0 时的污染物数量若经过 5 小时过滤后还剩余 90%的污染物(1)求常数 k 的值；(2)试计算污染物减少到 40%至少需要多少时间(精确到 1 小时，参考数据：ln 0.21.61，ln 0.31.20， ln 0.40.92，ln 0.50.69，ln 0.90.11.)解 (1)由已知，当 t0 时，PP 0；当 t5 时，P90%P 0.于
10、是有 90%P0 P0e5k .解得 k ln 0.9(或 0.022)15(2)由(1)得，PP 0e( ln 0.9)t.15当 P40%P 0时，有 0.4P0P 0e( ln 0.9)t.15解得 t 41.82.ln 0.415ln 0.9 0.9215 0.11 4.600.11故污染物减少到 40%至少需要 42 小时1对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围2函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题3函数建模的基本过程如图
