1、13.4 函数 的图象与变换sin()yAx【知识网络】1函数 的实际意义；i()函数 图象的变换（平移平换与伸缩变换）snyAx【典型例题】例 1(1)函数 的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；3i()26相位是 ；初相是 （） ； ； ；14x（2）函数 的对称中心是 ；对称轴方程是 2sin()3y；单调增区间是 （） ； ； (,0)6kZ5,21kxZ5,12z(3) 将函数 的图象按向量sin(0)yx平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图,06a象所对应函数的解析式是（ ）A Bsin()yxsin()6yxC D2323（）C 提示：将函数 的图象按向si(0)量 平移，平移后的
2、图象所对应的解析式为 ，由图象知，,06a sin()6yx，所以 73()122(4) 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像Rxy),63sin( Rxy,sin2上所有的点 （ ）（A）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）6 31（B）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）2（C）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）6（D）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）（）C 先将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数Rxy,sin26的图象，再把
3、所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标2sin(),6yxR不变）得到函数 的图像xy),63sin(2(5)将函数 的图象向右平移 个单位后再作关于 轴对称的曲线，得到函数xfi)(4x的图象，则 的表达式是 （ ）y2sn1)(xf（A） （B） （C） （D）cocos2sinxsin2（）B 提示: 的图象关于 轴对称的曲线是 ,向左inyxcoy平移 得4s()si4xxicos例 2已知函数 ，若直线 为其一2()co3in,(01)f其 中 3x条对称轴。 （1）试求 的值 （2）作出函数 在区间 上的图象fx,解：（1） 2()cssi1cos23sinfxxxxi
4、n()6是 的一条对称轴3xyfxsin()1362,2kZ12kZ10（2）用五点作图例 3已知函数 ，且 的最大2()sin()0,)2fxAx()yfx值为 2，其图象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点（1,2） （I）求 ；（II）计算 (1)2(8)ff3解：（I） 的最大值为 2， .2sin()cos(2).AyAxx()yfx0A又 其图象相邻两对称轴间的距离为 2， ，,.201()4. 过 点，cos(2)1cos()2fxxx()yfx1,cs(2).,kZ2kZ又 .,4kZ04（II） ，1cos()1sin22yxx.(1)2(3)4ff又 的周期为 4， ，yx0
5、85()()208.ff例 4设函数 2()3cosincosfxxxa（其中 ） 。且 的图像在 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 0,aR()fy6（）求 的值；（）如果 在区间 上的最小值为 ，求 的值()fx5,363a解：（I） 13cos2insin(2)f xxa依题意得 632（II）由（I）知， 又当 时，()sin)fx5,36x，故 ，从而 在区间70,36x1i()123x()f，上的最小值为 ，故a.2【课内练习】41.若把一个函数的图象按 （ ，2）平移后得到函数 的图象，则原图a3xycos象的函数解析式是 （ ）（A） （B） （C ） （D ）2)3cos(xy
6、 )cos(xy 2)3cs(xy2)3cos(xyD 提示：将函数 的图象按 平移可得原图象的函数解析式xycosa2为了得到函数 y=sin（2 x ）的图象，可以将函数 y=cos2x 的图象 （ 6）A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度6 3C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 B 提 示 ： y=sin（ 2x ） =cos （ 2x ） =cos（ 2x）663=cos（ 2x ） =cos2（ x ） ，将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位长度333若函数 f（ x）=sin（ x + ）的图象（部分）如下图所示，则 和 的取值是 （ ）xy
7、2O33-1A. =1， = B. =1， = C. = ， = D. = ， =36216C 提示：由图象知， T=4（ + ）=4= ， = .3又当 x= 时， y=1，sin（ + ）=1，221+ =2k+ ， kZ，当 k=0 时， = . 364函数 的图象向右平移 （ ）个单位，得到的图象关于直线 对称，sin2yx06x则 的最小值为 （ ）以上都不对()A51()B16()C12()DA 提示：平移后解析式为 ，图象关于 对称，sinyx6x （ ） ， （ ） ，262kZ1kZ当 时， 的最小值为 1k5155若函数 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两
8、倍，然后再将()fx整个图象沿 轴向右平移 个单位，向下平移 3 个单位，恰好得到 的图象，21sin2yx则 ()f x11sin()3cosxx函数 为奇函数的充要条件是 ；,0,)yA为偶函数的充要条件是 ；()kZ(2kZ7一正弦曲线的一个最高点为 ，从相邻的最低点到这最高点的图象交 轴于1(,3)4 x，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为 .1(,0)4 3sin()yx已知方程 sinx+cosx=k 在 0x 上有两解，求 k 的取值范围解：原方程 sinx+cosx=k sin（x+ ）=k，在同一坐标系内作函数24y1= sin（x+ ）与 y2=k 的图象.对于
9、 y= sin（x+ ） ，令 x=0，得 y=1.2424当 k1， 时，观察知两曲线2xy y12 =k4 4- 3O在0，上有两交点，方程有两解9数 的最小值是2，其图象相邻最)|,0,(),sin(Axy高点与最低点横坐标差是 3，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。解：易知：A = 2 半周期 T = 6 即 从而：631设： 令 x = 0 有)1sin(y 1sin2又： 所求函数解析式为2|6 )6sin(2xy10已知函数 f（ x）= Asinx +Bcosx （ A、 B、 是实常数， 0）的最小正周期为2，并当 x= 时， .312)(max（1）求 f（ x）.（2
10、）在闭区间 ， 上是否存在 f（ x）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；43如果不存在，请说明理由.解：（1）由 2,T得 ()sincosfAxB6由题意可得 解得 2sincos23AB31AB()sisi()6fxxx（2）令 所以,62kZ,3kZ由 得 13459125所以在 ， 上只有 f（ x）的一条对称轴 x= 316作业本A 组1将函数 的周期扩大到原来的 2 倍，再将函数图象左移 ，得到图象对应5sin(3)yx 3解析式是 （ ）()Ai()2()B75sin()102xy（C） （D） 35snxy 6A 已知函数 在同一周期内，当 时，取得最大值 ，当i()9x1
11、2时，取得最小值 ，则该函数的解析式是 （ ）49x12()Asin()36yx(B1sin(3)26yxCD 提示：代入验证3要得到函数 的图象，只需将函数 的xycos2 )42sin(xy图象上所有的点的( ) A横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平行移动 个单位长度47B横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平行移动 个单位长度8C横坐标缩短到原来的 倍，再向右平行移动 个单位长度14D横坐标缩短到原来的 倍, 再向左平行移动 个单位长度 2函数 y= sin（ ）的单调减区间是 2143x 3 k ，3 k+ ，89()kZ5已知函数 （ ）的一段图象如sin()yAx0,|A下图所示，
12、则函数的解析式为 32i()4提示：由图得 ， ， ，,()82TT2 ，又图象经过点 ，sin()yx,)8 ， （ ） ，244kZ ， 3k6、已知函数 （ ） ，该函数的图2()2cosin()3sinicos2fxxxxR象可由 （ ）的图象经过怎样的变换得到？sinyR解： 21()(is)sisf222sico3snxxi3co2in()23xx由 的图象向左平移 个单位得 图象，nysn()y再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 得 图象，12si()yx再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍得 图象，n23最后将所得图象向上平移 个单位得 的图象2sin()
13、3yx说明：（1）本题的关键在于化简得到 的形式；（2）若在水平方向2先伸缩再平移，则要向左平移 个单位了6求函数 的最小值，求22 7()53cosin4sico()24fxxxx38208其单调区间解： 22()53cosin4sicofxxx23csin23x4()36因 ，故 ，所以 的最小值为72x24x()fx单调递减区间为 ,4若函数 的定义域为 ，值()2sinco2(sinco)fxaxaxab0,2域为 ，求 的值5,1,b解：令 ，则 ，又 ，故sincoxt21sincotx0,2x1,t所以 ，由题意知：2 2()yattbatbaa当 得： 解之得0,1t516(2
14、1),b当 得： 解之得 （舍去）,2at(2)5ab(),5a综上知： 6(1),bB 组1.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )（A） （B）sin()6yxsin(2)6yx（C） （D）co43co2已知函数 ， 与直线 的交点中，距离最近的两点间sin()yx(0)12y距离为 ，那么此函数的周期是 3（ ）9A B C D 324B 提示： 或 ，()6xkZ52()6xkZ， ，令 得21()()321333若 ， ， ，则 （ ）04sincoasincob()Aab()Bb()C()D2aA 提示： ，i2i4sicsin()444sn()n()4把 y=cos（ x
15、+ ）图象向左平移 个单位，所得函数为偶函数，则 的最小3(0)值是 32函数 在它的定义域内是增函数； 若 、 是第一象限角，且 ，tanyx则 ；函数 一定是奇函数；函数tsin()yAx的最小正周期为 上列四个命题中，正确的命题是 |cos(2)|32 6如图为某三角函数图象的一段（1）用正弦函数写出其中一个解析式；（2）求与这个函数关于直线 对称的函数解析 x式，并作出它在0， 内的简图。4解：（1） ,3,21,31ATT又由图它过)2sin(3xy令（为其中一个值）6)0),( 所以 1si(6yx（2） 是所求函数图象上任意一点，该点关于直线 对称点为令 ,) 2x),4(yx该
16、点在函数 的图象上，所以3sin()2yx13sin()6y即所求函数解析式为 )61i(7如图，函数 ，xR,(其中 )的图象与 y 轴交于点（0，1）. 2sin()y02331-310()求 的值；()设 P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与 x 轴的交点，求 余.的 夹 角与 PNM弦。值解：（I）因为函数图像过点 ，所以 即(0,1)2sin1,si.2因为 ，所以 .026（II）由函数 及其图像，得sin()yx5(,0)(,0)636MPN所以 从而11(,),22PMPNcos,|178.已知函数 的图象上有一个最低点 ，将图象上每个点的sincosyaxb1,6纵坐标不
17、变，横坐标缩小到原来的 ，然后将所得图象向左平移一个单位得到3的图象，若方程 的所有正根依次成为一个公差为 3 的等差数列，求 ()yfx()fx的解析式。 解：原函数可化为 （其中 为辅助角，满足 ，2sin()yabxc2cosab） ，因为 是它的最低点，所以2sinab且 1,6解得 12161kc 272()3kZabc且所以 按题给变换后得()sin()3yxc()sin3fxx方程 的的正根就是直线 与 的图象交点的横坐标，它们成等差数列，f y11即 与 相邻交点间的距离都相等。3y()fx直线 满足以上要求只能有三个位置：一是过图象最高点且和 x 轴平行的直线 ，二是1l过图象最低点且和 x 轴平行的直线 ，三是和 、 平行且等距的直线 ，而图象最低点2l1l23l为 ，故不可能是 假若直线 在 ，交点间隔为一个周期，即正根的1,62l3y1l公差为，不合题意，所以 只能在 位置，所以 ， ，此时3l3c()2sin3fx由得 ，正根可组成一个公差为 3 的等差数列，符合题意。sin03x3k
