1、3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性 质、并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点)预习教材 P95P101 ，完成下面问题：知识点 三种函数模型的性质ya x(a1) ylog ax(a1)yx n(n0)在(0，) 上的增减性增函数 增函数 增函数图象的变化趋势随 x 增大逐渐近似与 y轴平行随 x 增大逐渐近似与 x轴平行随 n 值而不同增长速度ya x(a1)：随着 x 的增大， y 增长速度越来越快，会远远大于yx n(n0)的增长速度
2、，y log ax(a1)的增长速度越来越慢存在一个 x0，当 xx0 时，有 axxnlogax【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)(1)当 x 每增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值，则 y 是 x 的一次函数( )(2)函数 y x 衰减的速度越来越慢( )log 12(3)不存在一个实数 m，使得当 xm 时， 1.1xx100.( )提示 (1) 因为一次函数的图象是直线，所以当 x 增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值(2) 由函数 y x 的图 象可知其衰减的速度越来越慢log 12(3) 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数 m，使得当 xm 时
3、，1.1xx100.题型一 几类函数模型的增长差异【例 1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )Ay2 017 x By x 2 017Cy log2 017x Dy2 017x(2)四个自变量 y1，y 2，y 3，y 4 随变量 x 变化的数据如下表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05106 3.36107 1.07109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907则关于 x 呈指数型函数变化的变
4、量是_解析 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选 A(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象( 图略) ，可知 变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化答案 (1)A (2)y 2规律方法 常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型 ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型：能用指数型函数 f(x)ab xc (a，b，c 为 常数， a0，b1)表达的函数模型，其增长特
5、点是随着自变量 x 的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸” (3)对数函数模型：能用对数型函数 f(x)mlog axn(m ，n，a 为常数，m0，x0， a1)表达的函数模型，其增长的特点是开始 阶段增长得较快，但随着 x 的逐渐增大，其函数 值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长 ”(4)幂函数模型：能用幂型函数 f(x)ax b( a，b， 为常数，a0，1)表达的函数模型，其增长情况由 a 和 的取值确定【训练 1】 下列函数中随 x 的增大而增长速度最快的是( )Ay ex By 100 ln x Cy x 100 Dy1002 x1100解析 指数函数 ya x，
6、在 a1 时呈爆炸式增长，并且 a 值越大，增长速度越快，应选 A答案 A典例迁移 题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例 2】 函数 f(x)2 x和 g(x)x 3 的图象如图所示设两函数的图象交于点 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，且 x1g(1)，f(2)g(10)，所以 1x2，从图象上可以看出，当 x1x2时，f (x)g(x)，所以 f(2 011)g(2 011)又因 为g(2 011)g(6)，所以 f(2 011)g(2 011)g(6)f(6)【迁移 1】 (变换条件)在例 2 中，若将“函数 f(x)2 x”改为“f(x)3 x”，又如何求解第(1)题
7、呢？解 由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C 1对应的函数为 g(x)x 3，C2对应的函数为 f(x)3 x.【迁移 2】 (变换所求)本例条件不变，例 2(2)题中结论改为：试结合图象，判断 f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小解 因为 f(1)g(1)，f(2)g(10)，所以 1x2，从图象上可以看出，当 x1x2时，f (x)g(x)，所以 f(2 015)g(2 015)，又因为 g(2 015)g(8)，所以 f(2 015)g(2 015)g(8)f(8)规律方法 由图象判断指数函数、 对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数
8、、 对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最 “陡”的函数是指数函数， 图 象趋于平缓的函数是对数函数题型三 函数模型的选择问题【例 3】 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量 y(t)与月序数 x 之间的关系对此模拟函数可选用二次函数 yf (x)ax 2bxc(a ，b，c 均为待定系数，xN *)或函数 yg (x)pq xr(p，q，r 均为待定系数，xN *)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为 137t，则选用
9、这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？解 根据题意可列方程组Error!解得Error!所以 yf(x) 5x 235x 70.同理 yg(x) 800.5x140.再将 x4 分别代入 与式得f(4)54 235470130( t)，g(4)800.5 4140 135(t)与 f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数 yg( x)pq xr 作为模拟函数较好规律方法 建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既
10、能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论(3)反映性原则：建立模型， 应与原型具有“相似性” ，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题【训练 2】 某债券市场发行三种债券，A 种面值为 100 元，一年到期本息和为 103 元；B 种面值为 50 元，半年到期本息和为 51.4 元；C 种面值为 100 元，但买入价为 97 元，一年到期本息和为 100 元作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解 A 种债券的收益是每 100 元一年到期收益 3 元；B 种债券的半年利率为 ，所51.4 5050以 100 元一年到期的本息和为 1
11、00 2105.68(元) ，收益 为 5.68 元；C 种债券的利率(1 51.4 5050 )为 ，100 元一年到期的本息和 为 100 103.09(元)，收益为 3.09 元通过以100 9797 (1 100 9797 )上分析，应购买 B 种债券课堂达标1如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型解析 随着自变量每增加 1 函数值增加 2，函数 值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型故选 A答案 A2
12、当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )Ay3x By log 3x Cy x 3 Dy3 x解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故 选 D答案 D3某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%，要增长到原来的 x 倍，需经过 y年，则函数 y f(x)的图象大致是( )解析 设该林区的森林原有蓄积量为 a，由题意，axa (10.104) y，故 ylog 1.104x(x1) ，yf(x)的图象大致为 D 中图 象答案 D4当 2x4 时，2 x，x 2，log 2x 的大小关系是( )A2 x x2log 2x Bx 22 xlog 2xC2 xlog 2xx
13、2 Dx 2log 2x2 x解析 法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数 ylog 2x，yx 2，y2 x在区间(2,4)上从上往下依次是 yx 2，y2 x，ylog 2x 的图象，所以 x22 xlog 2x.法二 比较三个函数值的大小，作 为选择题，可以采用特殊值代入法可取 x3，经检验易知选 B答案 B5有甲乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是 p 万元和 q 万元，它们与投入资金 m(万元)的关系式为 p m，q .今有 3 万元资金投入这两种商品15 35m若设甲商品投资 x 万元，投资两种商品所获得的总利润为 y 万元(1)写出 y 关于 x 的函数表达式；(2)
14、如何分配资金可使获得的总利润最大？并求最大利润的值解 (1)由题意知，对甲种商品投资 x 万元，获总利润为 y 万元，则对乙种商品的投资为(3x) 万元，所以 y x (0x3)15 35 3 x(2)令 t (0t )，3 x 3则 x3t 2，所以 y (3t 2) t 2 ，15 35 15(t 32) 2120所以当 t 时，y max 1.05( 万元)32 2120由 t 可求得 x0.75( 万元)，3x2.25(万元)，3 x32所以为了获得最大利润，对甲乙两种商品的 资金投入应分 别为 0.75 万元和 2.25 万元，此时获得最大利润为 1.05 万元课堂小结三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型(3)幂函数模型 yx n(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小( n1)时，增长较慢；n 值较大(n1)时，增长较快
