1、1第一章 立体几何初步章末复习学习目标 1.整合知识结构，形成知识网络、深化所学知识.2.会画几何体的直观图，并能计算几何体的表面积和体积.3.熟练掌握线线、线面、面面间的平行与垂直关系1空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的这三种几何体都是多面体(2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面(3)由柱、锥、台、球组成的
2、简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体2空间几何体的直观图斜二测画法为：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：画轴；画平行于x、 y、 z 轴的线段分别为平行于 x、 y、 z轴的线段；截线段：平行于 x、 z 轴的线段2的长度不变，平行于 y 轴的线段的长度变为原来的一半3几何体的表面积和体积的有关计算(1)常见几何体的侧面积和体积的计算公式面 积 体 积圆柱 S 侧 2 rh V Sh r2h圆锥 S 侧 rl V Sh r2h13 13 r213 l2 r2圆台 S 侧 ( r1 r2)l V (S 上 S 下 )h13 S上 S下 h(r r
3、r1r2)13 21 2直棱柱 S 侧 ch V Sh正棱锥 S侧 ch12V Sh13正棱台 S侧 (c c) h12V (S 上 S 下 )h13 S上 S下球 S 球面 4 R2 V R343(2)求几何体体积常用技巧等体积法；割补法4平行关系(1)基本性质 4平行于同一条直线的两条直线平行即如果直线 a b， c b，那么 a c.(2)直线与平面平行的判定与性质定理 条件 结论 符号语言判定如果不在一个平面的一条直线和平面内的一条直线平行这条直线和这个平面平行l ， m ，l ml 性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交这条直线和两平面的交线平行l ， l
4、， ml m(3)平面与平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行3符号语言： a ， b ， a b P， a ， b .图形语言：如图所示(4)平面与平面平行的性质定理文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言： ， a， ba b.图形语言：如图所示作用：证明两直线平行5垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线与平面垂直的性质性质 1：如果一条直线垂直于一个平
5、面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直符号表示：Error! a b.性质 2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行(3)面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(4)面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面6共面与异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面(2)异面直线：既不平行又不相交的直线1菱形的直观图仍是菱形( )2简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差( )3夹在两平行平面的平行线段相等( )4类型一 空间几何体的表面积与体积例 1 如
6、图，从底面半径为 2a，高为 a 的圆柱中，挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高3的圆锥，求圆柱的表面积 S1与挖去圆锥后的几何体的表面积 S2之比解 由题意知， S122 a a2(2 a)23(4 8) a2，3S2 S1 a a2(4 9) a2，3a2 a2 3 S1 S2(4 8)(4 9)3 3反思与感悟 空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法， “割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补
7、”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质跟踪训练 1 如图所示的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，求三棱锥 A1 AB1D1的高解 设三棱锥 A1 AB1D1的高为 h，则 1ABDV h ( a)2 .13 34
8、2 3a2h65又 1ABDV 1A a a2 ，13 12 a36所以 ，所以 h a.3a2h6 a36 33所以三棱锥 A1 AB1D1的高为 a.33类型二 空间中的平行问题例 2 如图， E， F， G， H 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BC， CC1， C1D1， AA1的中点求证：(1) GE平面 BB1D1D；(2)平面 BDF平面 B1D1H.6证明 (1)取 B1D1中点 O，连接 GO， OB，易证 OG 綊 B1C1，12BE 綊 B1C1，12 OG 綊 BE，四边形 BEGO 为平行四边形 OB GE. OB平面 BB1D1D，GE平面 BB1D1D
9、， GE平面 BB1D1D.(2)由正方体性质得 B1D1 BD， B1D1平面 BDF， BD平面 BDF， B1D1平面 BDF.连接 HB， D1F，易证 HBFD1是平行四边形，得 HD1 BF. HD1平面 BDF， BF平面 BDF， HD1平面 BDF. B1D1 HD1 D1，平面 BDF平面 B1D1H.反思与感悟 (1)判断线线平行的方法利用定义：证明线线共面且无公共点利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线利用线面平行的性质定理：a ， a ， ba b.利用面面平行的性质定理： ， a， ba b.利用线面垂直的性质定理：a ， b a b.7(2)判定线面平行的
10、方法利用定义：证明直线 a 与平面 没有公共点，往往借助反证法利用直线和平面平行的判定定理：a ， b ， a ba .利用面面平行的性质的推广： ， a a .(3)判定面面平行的方法利用面面平行的定义：两个平面没有公共点利用面面平行的判定定理：a ， b ， a b A， a ， b .垂直于同一条直线的两个平面平行，即 a ， a .平行于同一个平面的两个平面平行，即 ， .跟踪训练 2 如图， ABC 为正三角形， EC平面 ABC， DB平面 ABC， CE CA2 BD， M 是EA 的中点， N 是 EC 的中点，求证：平面 DMN平面 ABC.证明 M， N 分别是 EA 与
11、EC 的中点， MN AC，又 AC平面 ABC， MN平面 ABC， MN平面 ABC， DB平面 ABC， EC平面 ABC， BD EC， N 为 EC 中点， EC2 BD， NC 綊 BD，四边形 BCND 为矩形， DN BC，又 DN平面 ABC， BC平面 ABC， DN平面 ABC，又 MN DN N，平面 DMN平面 ABC.类型三 空间中的垂直关系例 3 如图，已知直角梯形 ABCD 中， E 为 CD 的中点，且 AE CD，又 G， F 分别为 DA， EC 的中点，将 ADE 沿 AE 折起，使得 DE EC.8(1)求证： AE平面 CDE；(2)求证： FG平面
12、 BCD；(3)在线段 AE 上找一点 R，使得平面 BDR平面 DCB，并说明理由(1)证明 由已知得 DE AE， AE EC. DE EC E， DE， EC平面 DCE， AE平面 CDE.(2)证明 取 AB 的中点 H，连接 GH， FH， GH BD， FH BC. GH平面 BCD， BD平面 BCD， GH平面 BCD.同理， FH平面 BCD，又 GH FH H，平面 FHG平面 BCD， GF平面 FHG， GF平面 BCD.(3)解 取线段 AE 的中点 R，DC 的中点 M， DB 的中点 S，连接 MS， RS， BR， DR， EM，则 MS 綊 BC.12又 R
13、E 綊 BC，12 MS 綊 RE，四边形 MERS 是平行四边形， RS ME.在 DEC 中， ED EC， M 是 CD 的中点，9 EM DC.由(1)知 AE平面 CDE， AE BC， BC平面 CDE. EM平面 CDE， EM BC. BC CD C， EM平面 BCD. EM RS， RS平面 BCD. RS平面 BDR，平面 BDR平面 DCB.反思与感悟 空间中垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法利用线面垂直的性质(若 a ， b ，则 a b)(2)判定线面垂直的方法线面垂直定义(一般不易验证任意性)线面垂直的判定定理( a b， a c， b ， c ， b c
14、 Ma )平行线垂直平面的传递性质( a b， b a )面面垂直的性质( ， l， a ， a la )面面平行的性质( a ， a )(3)面面垂直的判定方法利用面面垂直的判定定理( a ， a )跟踪训练 3 如图，在 ABC 中， AC BC AB，四边形 ABED 是边长为 a 的正方形，平面22ABED平面 ABC，若 G， F 分别是 EC， BD 的中点(1)求证： GF平面 ABC；(2)求证：平面 EBC平面 ACD；(3)求几何体 A DEBC 的体积 V.(1)证明 如图，取 BE 的中点 H，连接 HF， GH.因为 G， F 分别是 EC 和 BD 的中点，所以HG
15、 BC， HF DE.10又因为四边形 ADEB 为正方形，所以 DE AB，从而 HF AB.所以 HF平面 ABC， HG平面 ABC.又因为 GH HF H，所以平面 HGF平面 ABC，又 GF平面 HGF，所以 GF平面 ABC.(2)证明 因为四边形 ADEB 为正方形，所以 EB AB.又因为平面 ABED平面 ABC，平面 ABED平面 ABC AB，所以 BE平面 ABC，所以 BE AC.又因为 CA2 CB2 AB2，所以 AC BC.又因为 BE BC B，所以 AC平面 BCE.又因为 AC平面 ACD，从而平面 EBC平面 ACD.(3)解 取 AB 的中点 N，连
16、接 CN，因为 AC BC，所以 CN AB，且 CN AB a.12 12又平面 ABED平面 ABC，平面 ABED平面 ABC AB，所以 CN平面 ABED.因为 C ABED 是四棱锥，所以 VC ABED SABEDCN a2 a a3.13 13 12 16即几何体 A DEBC 的体积 V a3.16111已知圆锥的母线长为 10 cm，侧面积为 60 cm 2，则此圆锥的体积为( )A96 cm 3 B48 cm 3C96 cm 3 D48 cm 32 2答案 A解析 圆锥的侧面积为 rl10 r60，得 r6.则 h 8，l2 r2 102 62所以圆锥的体积为 r2h 6
17、 2896.13 132若 l1， l2， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A l1 l2， l2 l3l1 l3B l1 l2， l2 l3l1 l3C l1 l2 l3l1， l2， l3共面D l1， l2， l3共点 l1， l2， l3共面答案 B解析 当 l1 l2， l2 l3时， l1也可能与 l3相交或异面，故 A 错；l1 l2， l2 l3l1 l3，B 正确；当 l1 l2 l3时， l1， l2， l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 错； l1， l2， l3共点时， l1， l2， l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故 D 错3
18、设有不同的直线 m， n 和不同的平面 ， ，下列四个命题中，正确的是( )A若 m ， n ，则 m nB若 m ， n ， m ， n ，则 C若 ， m ，则 m D若 ， m ， m ，则 m 答案 D解析 选项 A 中当 m ， n 时， m 与 n 可以平行、相交、异面；选项 B 中满足条件的 与 可以平行，也可以相交；选项 C 中，当 ， m 时， m 与 可以垂直，也可以平行等故选项 A、B、C 均不正确4.如图所示， ABCDA1B1C1D1是棱长为 a 的正方体， M， N 分别是下底面的棱 A1B1， B1C1的中点， P 是上底面的棱 AD 上的一点， AP ，过 P，
19、 M， N 的平面交上底面于 PQ， Q 在 CD 上，a3则 PQ_.12答案 a223解析 MN平面 AC，平面 PMNQ平面 AC PQ， MN PQ，易知 DP DQ ，2a3故 PQ DP .PD2 DQ2 222a35.如图，在棱锥 P ABC 中， D， E， F 分别为棱 PC， AC， AB 的中点已知PA AC， PA6， BC8， DF5.求证：(1)直线 PA平面 DEF；(2)平面 BDE平面 ABC.证明 (1)因为 D， E 分别为棱 PC， AC 的中点，所以 DE PA.又因为 PA平面 DEF， DE平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D，
20、 E， F 分别为棱 PC， AC， AB 的中点， PA6， BC8，所以DE PA， DE PA3， EF BC4.12 12又因为 DF5，故 DF2 DE2 EF2，所以 DEF90，即 DE EF.又 PA AC， DE PA，所以 DE AC.因为 AC EF E， AC平面 ABC， EF平面 ABC，所以 DE平面 ABC.又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.131研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
21、，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决2转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为一、选择题1.如图，在空间四边形 ABCD 中，点 E， H 分别是边 AB， AD 的中点， F， G 分别是边 BC， CD上的点，且 ，则( )CFCB CGCD 23A EF 与 GH 互相平行B EF 与 GH 异面C EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上D EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上答案 D解析 因为 F， G 分别是 BC， CD 上的点，且 ，CFCB CGCD 2
22、3所以 GF BD，并且 GF BD，23因为点 E， H 分别是边 AB、 AD 的中点，所以 EH BD，并且 EH BD，1214所以 EH GF，并且 EH GF，所以 EF 与 GH 相交，设其交点为 M，所以 M面 ABC，同理 M面 ACD，又面 ABC面 DAC AC，所以 M 在直线 AC 上故选 D.2下列命题中假命题是( )A垂直于同一条直线的两条直线相互垂直B若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直D若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行答案 A解析
23、 垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，A 错误；选 A.3如图，在透明塑料制成的长方体 ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：有水的部分始终呈棱柱状；水面四边形 EFGH 的面积不改变；棱 A1D1始终与水面 EFGH 平行；当 E AA1时， AE BF 是定值其中正确的说法是( )A BC D答案 C解析 有水的部分始终呈棱柱状：从棱柱的特征平面 AA1B1B 平行平面 CC1D1D 即可判断正确；水面四边形 EFGH 的面积不改变： EF 是可以变化的， EH 不变的，所以面积是改变的，不
24、正确；棱 A1D1始终与水面 EFGH 平行：由直线与平面平行的判定定理及 A1D1 EH，可判断正确；当 E AA1时， AE BF 是定值：水的体积是定值，底面面积不变，所以正确故选 C.4已知 m， n 是两条不重合的直线， ， ， 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若 m ， m ，则 ；15若 m ， n ， m n，则 ；若 ， ，则 ；若 m， n 是异面直线， m ， m ， n ， n ，则 .其中真命题是( )A BC D答案 D解析 对于，垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；对于，不满足平面与平面平行的判断定理，错误；对于，平面 ， 可能相交，错误；对于，满足平
25、面 与平面 平行，正确5湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为 24 cm，深为 8 cm的空穴，则这个球的半径为( )A13 cm B26 cmC13 cm D2 cm2 3答案 A解析 冰面空穴是球的一部分，截面图如图所示，设球心为 O，冰面圆的圆心为 O1，球半径为 R，由图知 OB R， O1B AB12，12OO1 OC O1C R8，在 Rt OO1B 中，由勾股定理 R2( R8) 212 2，解得 R13(cm)6过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比值为( )A. B. C. D.316 916 38 58答案 A解
26、析 如图所示是过球心的截面图，16r R，R2 14R2 32 .S圆S球 (32R)24 R2 3167.如图所示，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 1，高为 8，则一质点从 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路径的长为( )A10 B9C8 D7答案 A解析 如 图 所 示 ， 将 两 个 三 棱 柱 的 侧 面 沿 侧 棱 AA1展 开 并 拼 接 ， 则 最 短 路 径 为l 10.62 828如图，四边形 ABCD 是圆柱的轴截面， E 是底面圆周上异于 A、 B 的一点，则下列结论中错误的是( )A AE CEB BE DEC DE平面 CEBD平面
27、ADE平面 BCE答案 C解析 由 AB 是底面圆的直径，则 AEB90，即 AE EB.四边形 ABCD 是圆柱的轴截面，17 AD底面 AEB， BC底面 AEB. BE AD， AD AE A，因此 BE平面 ADE.同理可得： AE CE，平面 BCE平面 ADE.可得 A，B，D 正确而 DE平面 CEB 不正确故选 C.二、填空题9一个正四面体木块如图所示，点 P 是棱 VA 的中点，过点 P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和 AC，若木块的棱长为 a，则截面面积为_答案 a24解析 在平面 VAC 内作直线 PD AC，交 VC 于 D，在平面 VBA 内作直线 PF VB，交
28、 AB 于 F，过点 D 作直线 DE VB，交 BC 于 E，连接 EF. PF DE， P， D， E， F 四点共面，且面 PDEF 与 VB 和 AC 都平行，则四边形 PDEF 为边长为 的正方形，a2故其面积为 .a2410.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的 ，则14当油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是_答案 14 12解析 设圆柱桶的底面半径为 R，高为 h，18油桶直立时油面的高度为 x，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为 ， 2则 h R2x，所以 .(14 R2 12R2) xh 14 1211已知 A， B 是球 O
29、 的球面上两点， AOB90， C 为该球面上的动点，若三棱锥 O ABC体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为_考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题答案 144解析 如图所示，设球的半径为 R， AOB90， S AOB R2.12 V 三棱锥 O ABC V 三棱锥 C AOB，而 AOB 的面积为定值，当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，三棱锥 O ABC 的体积最大，当动点 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥 O ABC 的体积最大，此时 V 三棱锥 O ABC V 三棱锥 C AOB R2R R336，13 12 16解得 R6，则球
30、O 的表面积为 S4 R2144.三、解答题12已知三棱锥 OABC 的顶点 A， B， C 都在半径为 2 的球面上， O 是球心， AOB120，当 AOC 与 BOC 的面积之和最大时，求三棱锥 OABC 的体积解 设球 O 的半径为 R，因为 S AOC S BOC R2(sin AOCsin BOC)，12所以当 AOC BOC90时，S AOC S BOC取得最大值，此时 OA OC.OB OC， OB OA O， OA， OB平面 AOB，所以 OC平面 AOB，19所以 V 三棱锥 OABC V 三棱锥 COAB OC OAOBsin AOB13 12 R3sin AOB .1
31、6 23313如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， CC1平面 ABC， A1B1 BC， BC1， AA1 AC2， E， F分别为 A1C1， BC 的中点(1)求证： C1F平面 EAB；(2)求三棱锥 A BCE 的体积(1)证明 方法一 取 AB 中点 G，连接 EG， FG. G， F 分别是 AB， BC 的中点， FG AC，且 FG AC.12又 AC A1C1，且 AC A1C1，E 为 A1C1的中点， FG EC1，且 FG EC1，四边形 FGEC1为平行四边形， C1F EG.又 EG平面 ABE， C1F平面 ABE， C1F平面 ABE.方法二 取 AC 中
32、点 H，连接 C1H， FH，则 C1E AH，且 C1E AH，四边形 C1EAH 为平行四边形， C1H EA.又 EA平面 ABE， C1H平面 ABE，20 C1H平面 ABE， H、 F 分别为 AC、 BC 的中点， HF AB.又 AB平面 ABE， FH平面 ABE， FH平面 ABE.又 C1H FH H， C1H平面 C1HF， FH平面 C1HF，平面 C1HF平面 ABE.又 C1F平面 C1HF， C1F平面 ABE.(2)解 AA1 AC2， BC1， AB BC， AB ，CA2 CB2 3三棱锥 A BCE 的体积为VA BCE VE ABC S ABCAA11
33、3 12 .13 12 3 33四、探究与拓展14如图，在三棱锥 V ABC 中， VO平面 ABC， O CD， VA VB， AD BD，则下列结论中一定成立的是_ AC BC； VC VD； AB VC； S VCDAB S ABCVO.答案 解析 因为 VA VB， AD BD，所以 VD AB.因为 VO平面 ABC， AB平面 ABC，所以 VO AB.又 VO VD V，所以 AB平面 VCD.又 CD平面 VCD， VC平面 VCD，所以 AB VC， AB CD.又 AD BD，21所以 AC BC(线段垂直平分线的性质)因为 VO平面 ABC，所以 VV ABC S ABC
34、VO.13因为 AB平面 VCD，所以 VV ABC VB VCD VA VCD S VCDBD S VCDAD13 13 S VCD(BD AD)13 S VCDAB，13所以 S ABCVO S VCDAB，13 13即 S VCDAB S ABCVO.故正确15如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 AC BC AA1 a， ACB90， D 是 A1B1中点(1)求证： C1D平面 A1B1BA；(2)请问，当点 F 在 BB1上什么位置时，会使得 AB1平面 C1DF？并证明你的结论(1)证明 A1C1 B1C1， A1B1C1为等腰三角形，又 A1D DB1， C1D A1B1， C1D A1A， AA1 A1B1 A1， C1D平面 A1B1BA.(2)解 由(1)可得 C1D AB1，又要使 AB1平面 C1DF，只要 DF AB1即可，又 ACB A1C1B190，且 AC BC AA1 a， A1B1 a，2 AA1B1 DB1F， ， B1F a.AA1DB1 A1B1B1F22即当 F 点与 B 点重合时，会使 AB1平面 C1DF.
