1、专题五 三角函数与解三角形命题观察高考定位(对应学生用书第 15 页)1(2017江苏高考)若 tan ，则 tan _.( 4) 16法一 tan ，75 ( 4)tan tan 41 tan tan 4 tan 11 tan 166tan 61tan (tan 1)，tan .75法二 tan tan ( 4) 4 .tan ( 4) tan 41 tan ( 4)tan 416 11 161 752(2016江苏高考)定义在区间0,3上的函数 ysin 2x 的图象与 ycos x 的图象的交点个数是_7 法一 函数 ysin 2x 的最小正周期为 ， ycos x 的最小正周期为 2，
2、在22同一坐标系内画出两个函数在0,3上的图象，如图所示通过观察图象可知，在区间0,3上两个函数图象的交点个数是 7.法二 联立两曲线方程，得Error!两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程 sin 2xcos x 解的个数方程可化为 2sin xcos xcos x，即 cos x(2sin x1)0，cos x0 或 sin x .12当 cos x0 时， x k ， kZ， x0,3， x ， ， ，共 3 个； 2 2 32 52当 sin x 时， x0,3， x ， ， ， ，共 4 个12 6 56 136 176综上，方程组在0,3上有 7 个解，故两曲线在0,3上有
3、 7 个交点3(2016江苏高考)在锐角三角形 ABC 中，若 sin A2sin Bsin C，则 tan Atan Btan C 的最小值是_8 在锐角三角形 ABC 中，sin A2sin Bsin C，sin( B C)2sin Bsin C，sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，等号两边同除以 cos Bcos C，得 tan Btan C2tan Btan C.tan Atan( B C)tan( B C) .tan B tan Ctan Btan C 1 2tan Btan Ctan Btan C 1 A， B， C 均为锐角，tan Btan C10，
4、tan Btan C1.由得 tan Btan C .tan Atan A 2又由 tan Btan C1 得 1，tan Atan A 2tan A2.tan Atan Btan Ctan2Atan A 2 tan A 2 2 4 tan A 2 4tan A 2(tan A2) 42 48，4tan A 2 4当且仅当 tan A2 ，即 tan A4 时取得等号4tan A 2故 tan Atan Btan C 的最小值为 8.4(2015江苏高考)已知 tan 2，tan( ) ，则 tan 的值为_173 tan tan( ) 3.tan tan 1 tan tan 17 21 17
5、 25(2016江苏高考)在 ABC 中， AC6，cos B ， C .45 4(1)求 AB 的长；(2)求 cos 的值. (A 6)【导学号：56394028】解 (1)因为 cos B ，0 B，45所以 sin B .1 cos2B1 (45)2 35由正弦定理知 ，ACsin B ABsin C所以 AB 5 .ACsin Csin B62235 2(2)在 ABC 中， A B C，所以 A( B C)，于是 cos Acos( B C)cos (B 4)cos Bcos sin Bsin . 4 4又 cos B ，sin B ，45 35故 cos A .45 22 35
6、22 210因为 0A，所以 sin A .1 cos2A7210因此，cos cos Acos sin Asin (A 6) 6 6 .210 32 7210 12 72 6206(2017江苏高考)已知向量 a(cos x，sin x)， b(3， )， x0，3(1)若 a b，求 x 的值；(2)记 f (x) ab，求 f (x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值解 (1)因为 a(cos x，sin x)， b(3， )， a b，3所以 cos x3sin x.3若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos 2x1 矛盾，故 cos x0.于是 tan x .33又
7、 x0，所以 x .56(2)f (x) ab(cos x，sin x)(3， )33cos x sin x2 cos .3 3 (x 6)因为 x0，所以 x ， 6 6， 76从而1cos .(x 6) 32于是，当 x ，即 x0 时， f (x)取到最大值 3； 6 6当 x ，即 x 时， f (x)取到最小值2 . 6 56 3命题规律(1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值，常以填空题的形式考查(2)高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考查 y Asin(x )的周期性、单调性、对称性以及
8、最值等，常与平面向量、三角形结合进行综合考查，试题难度属中低档(3)三角恒等变换包括三角函数的概念，诱导公式，同角三角函数间的关系，和、差角公式和二倍角公式，要抓住这些公式间的内在联系，做到熟练应用，解三角形既是对三角函数的延伸又是三角函数的主要应用，因此，在一套高考试卷中，既有填空题，还有解答题，总分占 20 分左右预测 2018 年高考中，热点是解答题，可能是三角函数恒等变换与解三角形综合，平面向量、三角函数与解三角形综合主干整合归纳拓展(对应学生用书第 16 页)第 1 步 核心知识再整合1三角函数的定义设 是一个任意大小的角，角 的终边与单位圆交于点 P(x， y)，则 sin y，c
9、os x，tan (x0)yx2同角三角函数的基本关系(1)sin2 cos 2 1.(2)tan .sin cos 3巧记六组诱导公式对于“ ， kZ 的三角函数值”与“ 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：k2奇变偶不变，符号看象限4辨明常用三种函数的易误性质函数 ysin x ycos x ytan x图象单调性在Error!Error!( kZ)上单调递增；在 2 2k ， 32 2k (kZ)上单调递减在2 k，2 k(kZ)上单调递增；在2 k，2 k(kZ)上单调递减在Error!Error!(kZ)上单调递增对称性对称中心：( k，0)(kZ)；对称轴： x k( kZ)
10、2对称中心：(kZ)；( 2 k ， 0)对称轴：x k( kZ)对称中心：(kZ)(k2， 0)5.识破三角函数的两种常见变换6 “死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin( )sin cos cos sin .cos( )cos cos sin sin .tan( ) .tan tan 1tan tan (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 2 2sin cos .cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 .tan 2 .2tan 1 tan27 “熟记”两个定理(1)正弦定理： 2 R(2R 为 ABC 外接圆的直径)asin A
11、bsin B csin C变形： a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C；sin A ，sin B ，sin C ；a2R b2R c2Ra b csin Asin Bsin C.(2)余弦定理：a2 b2 c22 bccos A， b2 a2 c22 accos B，c2 a2 b22 abcos C.推论：cos A ，cos B ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22accos C .a2 b2 c22ab变形： b2 c2 a22 bccos A， a2 c2 b22 accos B，a2 b2 c22 abcos C.第 2 步 高频考点细突破三角函数的
12、定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用【例 1】 (泰州中学 2017 届高三上学期期中考试)已知角 的终边经过点 P( x,6)，且 cos ，则 x 的值为_. 45【导学号：56394029】解析 因为 r ，所以 ，解之得 x8.x2 36 xx2 36 45答案 8【例 2】 (江苏省泰州中学 2017 届高三上学期第二次月考)已知 3sin 4cos 5，则 tan _.解析 3sin 4cos 5，5sin( )5 ，(tan 43)sin( )1， 2 k (kZ)， 2tan tan .(2k 2 ) 1tan 34答案 34规律方法 (1)利用三角函数定义将角的终边上
13、点的坐标和三角函数值建立了联系，但是注意角的顶点在坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴(2)将齐次式用 tan 表示注意角的变换举一反三(江苏省扬州市 2017 届高三上学期期末)已知 cos ，则 sin( )( 3 ) 13(0 2)_.0 ，3 226 2 ， 3 ( 3， 56)又 cos ，( 3 ) 13sin ，( 3 ) 223sin( )sin sin ( 3 ) 3sin cos cos sin ( 3 ) 3 ( 3 ) 3 .223 12 13 32 3 226三角函数的图象与性质【例 3】 (泰州中学 2017 届高三上学期期中考试)已知函数 f (x) Asin (
14、6x )的部分图象如图 51 所示， P， Q 分别为该图象的最高点和最低点，点 P(A 0， 0 2)的坐标为(2， A)，点 R 的坐标为 (2,0)若 PRQ ，则 y f (x)的最大值是_23图 51解析 由题设可知 T 12，则 P(2， A)， R(2,0)， Q(8， A)，所以 PR A， PQ26， RQ ，由余弦定理可得36 4A2 36 A24A236 A2 A2362 A cos 120，解之得 A2 .A2 36 3答案 2 3【例 4】 (泰州中学 2017 届高三上学期期中考试)函数 f (x)sin x cos x3( x0)的单调增区间是_解析 因为 f (
15、x)sin x cos x2sin ，所以增区间为3 (x 3)2k x 2 k (kZ)，即 2k x2 k ，取 k0 可得 2 3 2 6 56 x ，又 x0，故 x0. 6 56 6答案 6， 0【例 5】 (江苏省苏州市 2017 届高三上学期期中)已知函数 f (x)sin ( 0)，将( x 3)函数 y f (x)的图象向右平移 个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则 的最小23值等于_解析 函数 ysin 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，( x 3) 23 n ， nZ，23 2 3 n， nZ，又 0，故其最小值是 3.答案 3规律方法 (1)求三角函数的周期、
16、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在其定义域内，先化简三角函数式，尽量化为 y Asin(x ) B 的形式，然后再求解(2)对于形为 y asin x bcos x 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y sin(x )(cos ，sin )的形式来求a2 b2aa2 b2 ba2 b2(3)对于 y Asin(x )函数求单调区间时，一般将 化为大于 0 的值举一反三1(江苏省如东高级中学 2017 届高三上学期第二次学情调研)如图 52 所示为函数 f (x) Asin(x ) 的部分图象，现将函数 y f (x)的图象向右平移(A 0， 0， | | 2)个单位后，得到函数 y
17、 g(x)的图象，则函数 g(x)的解析式为_. 6【导学号：56394030】图 52sin 因为 T ，所以 T ，故 2，又 A1，sin(2x 6) 34 1112 6 34 21，即 ，也即 ，所以 f (x)sin ，向右平移(2 6 ) 3 2 6 (2x 6)个单位后得 g(x)sin sin . 6 2(x 6) 6 (2x 6)2(江苏省南京市、盐城市 2017 届高三第一次模拟)将函数 y3sin 的图象向右平移(2x 3) 个单位后，所得函数为偶函数，则 _.(0 2)由题意得 y3sin 为偶函数，所以2 k( kZ)，512 (2 x 3) 3 2又 0 ，所以 .
18、 2 512三角恒等变换和解三角形【例 6】 (江苏省南通中学 2017 届高三上学期期中考试)在 ABC 中， BC1， B ， ABC 的 3面积 S ，则边 AC 等于_3解析 由三角形面积公式得 BCBAsin B 1BAsin BA4，由12 3 12 3 3余弦定理得 AC2 AB2 BC22 ABBCcos B161214 13， AC .12 13答案 13【例 7】 (20162017 学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数f (x)2sin cos x.(x 3)(1)若 0 x ，求函数 f (x)的值域； 2(2)设 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别
19、为 a， b， c，若 A 为锐角且 f (A) ， b2， c3，求 cos(A B)的值32解 (1) f (x) cos xsin xcos x cos2x(sin x 3cos x) 3 sin 2x cos 2x sin ，12 32 32 (2x 3) 32由 0 x 得， 2 x ， sin 1， 2 3 3 43 32 (2x 3)0sin 1 ，(2x 3) 32 32即函数 f (x)的值域为 .0， 132(2)由 f (A)sin 得 sin 0，(2A 3) 32 32 (2A 3)又由 0 A ， 2 A ， 2 3 3 432 A ， A ， 3 3在 ABC 中
20、，由余弦定理 a2 b2 c22 bccos A7，得 a ，7由正弦定理 ，得 sin B ，asin A bsin B bsin Aa 217 b a， B A，cos B ，277cos( A B)cos Acos Bsin Asin B .12 277 32 217 5714规律方法 (1)在三角形中考查三角函数式的变换， 是近几年高考的热点这种题是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它的两重性：其一，作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，应及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，注意“三统一” ，即“统一角、统一函数、统一结构
21、” ，是使问题获得解决的突破口(2)在解三角形时，三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，且有唯一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量求余弦值举一反三(江苏省苏州市 2017 届高三暑假自主学习测试)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为a， b， c.已知 bcos C ccos B2 acos A.(1)求 A 的大小；(2)若 ，求 ABC 的面积AB AC 3解 法一 在 ABC 中，由正弦定理，及 bcos C ccos B2 acos A，得 sin Bcos Csin Ccos B2sin Acos A，即 sin A2sin Acos A，因为 A(0，)，所
22、以 sin A0，所以 cos A ，12所以 A . 3法二 在 ABC 中，由余弦定理，及 bcos C ccos B2 acos A，得 b c 2 a ，a2 b2 c22ab a2 c2 b22ac b2 c2 a22bc所以 a2 b2 c2 bc，所以 cos A ，b2 c2 a22bc 12因为 A(0，)，所以 A . 3(2)由 cbcos A ，得 bc2 ，AB AC 3 3所以 ABC 的面积为 S bcsin A 2 sin 60 .12 12 3 32解三角形在实际生活中的应用【例 8】 (苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中)某城市有
23、一直角梯形绿地 ABCD，其中 ABC BAD90， AD DC2 km， BC1 km.现过边界 CD 上的点 E 处铺设一条直的灌溉水管 EF，将绿地分成面积相等的两部分图 53 图 54(1)如图 53，若 E 为 CD 的中点， F 在边界 AB 上，求灌溉水管 EF 的长度；(2)如图 54，若 F 在边界 AD 上，求灌溉水管 EF 的最短长度. 【导学号：56394031】解 (1)因为 AD DC2， BC1， ABC BAD90，所以 AB ，3取 AB 中点 G，则四边形 BCEF 的面积为 S 梯形 ABCD S 梯形 BCEG S EFG，12即 (12) GF ，12
24、 12 3 12 32(1 32) 12 32解得 GF ，36所以 EF (km)(32)2 (36)2 213故灌溉水管 EF 的长度为 km.213(2)设 DE a， DF b，在 ABC 中， CA 2，12 3 2所以在 ADC 中， AD DC CA2，所以 ADC60，所以 DEF 的面积为 S DEF absin 60 ab，12 34又 S 梯形 ABCD ，所以 ab ，即 ab3.332 34 334在 DEF 中，由余弦定理，得 EF ，a2 b2 ab ab 3当且仅当 a b 时，取“” 3故灌溉水管 EF 的最短长度为 km.3规律方法 将实际问题转化为三角函数
25、模型，利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识求解举一反三 (江苏省扬州市 2017 届高三上学期期末)如图 55，矩形 ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上，在梯形 BCDE 区域内部展示文物， DE 是玻璃幕墙，游客只能在 ADE区域内参观，在 AE 上点 P 处安装一可旋转的监控摄像头， MPN 为监控角，其中 M、 N 在线段 DE(含端点)上，且点 M 在点 N 的右下方，经测量得知： AD6 米， AE6 米， AP2米， MPN ，记 EPM (弧度)，监控摄像头的可视区域 PMN 的面积为 S 平方米 4图 55(1)求 S 关于 的函数关系式，并
26、写出 的取值范围；(参考数据：tan 3)54(2)求 S 的最小值解 (1)在 PME 中， EPM ， PE4 米， PEM ， PME ， 4 34由正弦定理可得 PM ，PEsin PEMsin PME 4sin cos 同理，在 PNE 中， PN ，22cos S PMN PMPNsin MPN ，12 4cos2 sin cos 82sin(2 4) 1M 与 E 重合时， 0， N 与 D 重合时，tan APD3，即 ，0 ，34 54 34 54综上所述， S PMN ，0 ；82sin(2 4) 1 34 54(2)当 2 即 时， S 取得最小值 8( 1)平方米 4
27、2 8 82 1 2第 3 步 高考易错明辨析1忽视函数的定义域出错已知函数 f (x) sin 6sin xcos x2cos 2x1， xR.2 (2x 4)(1)求 f (x)的最小正周期；(2)求 f (x)在区间 上的最大值和最小值. 0， 2错解 (1) f (x) sin 2xcos cos 2xsin 3sin 2 xcos 2 x 2 4 2 4f (x)2sin 2 x2cos 2 x2 sin ，2 (2x 4)所以 f (x)的最小正周期为 T .22(2)因为正弦函数 ysin x(xR)的值域为1,1，所以 f (x)2 sin 的值域为 ，2 (2x 4) 22，
28、 22故函数 f (x)的最大值为 2 ，最小值为2 .2 2正解 (1) f (x) sin 2xcos cos 2xsin 3sin 2 xcos 2 x2 4 2 4f (x)2sin 2 x2cos 2 x2 sin ，2 (2x 4)所以 f (x)的最小正周期为 T .22(2)因为 f (x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，0，38 38， 2又 f (0)2， f 2 ， f 2，(38) 2 ( 2)故函数 f (x)在区间 上的最大值为 2 ，最小值为2.0， 2 22忽视边长的固有范围在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 cos
29、 C(cos A sin A)cos B0.3(1)求角 B 的大小；(2)若 a c1，求 b 的取值范围错解 (1)cos( A B)(cos A sin A)cos B0，3sin Asin B sin Acos B0，3sin A(sin B cos B)0，3sin B cos B0，即 2sin 0， B .3 (B 3) 3(2)在三角形 ABC 中，由余弦定理得b2 a2 c22 accos ( a c)23 ac( a c)23 2 . b . 3 (a c2 ) 14 12正解 (1)cos( A B)(cos A sin A)cos B0，3sin Asin B sin
30、Acos B0，3sin A(sin B cos B)0，sin B cos B0，即 2sin 0，3 3 (B 3) B . 3(2)在三角形 ABC 中，由余弦定理得b2 a2 c22 accos ( a c)23 ac( a c)23 2 . b . 3 (a c2 ) 14 12 b a c1， b1.12专家预测巩固提升(对应学生用书第 20 页)1若函数 f (x)3|cos x|cos x m, x(0, 2)有两个互异零点，则实数 m 的取值范围是_(4，20 令 g(x)3|cos x|cos xError!在坐标系中画出函数 g(x)图象，如图所示：由其图象可知当直线 y
31、 m， m(4，20， g(x)3|cos x|cos x， x(0,2)的图象与直线 y m 有且仅有两个不同的交点2已知函数 f (x)2sin xcos x2 sin2x ，将 y f (x)的图象向左平移 个单位，再向3 3 6上平移 1 个单位，得到函数 y g(x)的图象，若函数 y g(x)在 a， b上至少含有 1 012 个零点，则 b a 的最小值为_ 由已知得， f (x)2sin xcos x2 sin2x sin 2x cos 2x2sin1 5163 3 3 3，则 g(x)2sin 12sin 2x1，若函数 y g(x)在 a， b上至(2x 3) 2(x 6)
32、 3少含有 1 012 个零点，则 b a 的最小值为 506 .712 12 1 51633已知三个向量 m ， n ， p 共线，其中 a， b， c， A， B， C(a， cos A2) (b， cos B2) (c， cos C2)分别是 ABC 的三条边及相对的三个角，则 ABC 的形状是_等边三角形 在三角形中，cos ，cos ，cos 均不为 0，故由题意可得： A2 B2 C2 acos A2 .bcos B2ccos C2由正弦定理得： 2sin A2cos A2cos A22sin B2cos B2cos B22sin C2cos C2cos C2sin sin sin
33、 ，即 A B C，所以 ABC 为等边三角形A2 B2 C24如图 56，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE1，连接 EC， ED 则sin CED_. 【导学号：56394032】图 56连接 AC，四边形 ABCD 是正方形， BAC45， DAE DAB90，1010 AD AE1， AED ADE45，即 DEA CAB45， AC ED， CED ECA，作 EF CA，交 CA 的延长线于点 F， AE1，由勾股定理得： EF AF ，22在 Rt EBC 中，由勾股定理得：CE21 22 2 5， CE ，5sin CEDsin ECF .EFCE 1010
