1、2.5.2 向量在物理中的应用举例学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.知识点一 向量的线性运算在物理中的应用思考 1 向量与力有什么相同点和不同点？ 答案 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的.思考 2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？答案 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.梳理 (1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平
2、移到同一个作用点上.(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.知识点二 向量的数量积在物理中的应用思考 向量的数量积与功有什么联系？答案 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.梳理 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W| F|s|cos F， s ，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量 F 与 s 的数量积.知识点三 向量方法解决物理问题的步骤用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转
3、化为数学问题；(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.类型一 向量的线性运算在物理中的应用例 1 (1)在重 300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30，60(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小. 解 如图，两根绳子的拉力之和 ，OA OB OC 且| | |300 N， AOC30， BOC60.OC OG 在 OAC 中， ACO BOC60， AOC30，则 OAC90，从而| | |cos 30150 (N)，OA OC 3| | |si
4、n 30150(N)，AC OC 所以| | |150(N).OB AC 答 与铅垂线成 30角的绳子的拉力是 150 N，与铅垂线成 60角的绳子的拉力是 150 3N.(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东 30，速度为 20 km/h，此时水的流向是正东，流速为 20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东 30，速度为| v1|20(km/h)，水流的方向为正东，速度为| v2|20(km/h)，设帆船行驶的速度为 v，则 v v1 v2.由题意，可得向量 v1(20c
5、os 60，20sin 60)(10，10 )，向量 v2(20，0)，3则帆船的行驶速度为v v1 v2(10，10 )(20，0)(30，10 )，3 3所以| v| 20 (km/h).302 1032 3因为 tan ( 为 v 和 v2的夹角，且为锐角)，10330 33所以 30，所以帆船向北偏东 60的方向行驶，速度为 20 km/h.3反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.跟踪训练 1 河水自西向东流动
6、的速度为 10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为 10 km/h，求小船的实际航行速度.3解 设 a， b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点 O 作 a， b，以 ， 为邻边作矩形 OACB，连接 ，如图，则 a b，并且 即为小OA OB OA OB OC OC OC 船的实际航行速度. | | 20(km/h)，OC a b2 a2 b2tan AOC ，10310 3 AOC60，小船的实际航行速度为 20 km/h，按北偏东 30的方向航行.类型二 向量的数量积在物理中的应用例 2 已知两恒力 F1(3，4)， F2(6，5)作用于同一质点，
7、使之由点 A(20，15)移动到点 B(7，0).(1)求力 F1， F2分别对质点所做的功；(2)求力 F1， F2的合力 F 对质点所做的功.解 (1) (7，0)(20，15)AB (13，15)，W1 F1 (3，4)(13，15)AB 3(13)4(15)99，W2 F2 (6，5)(13，15)AB 6(13)(5)(15)3.力 F1， F2对质点所做的功分别为99 和3.(2)W F ( F1 F2)AB AB (3，4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102.合力 F 对质点所做的功为102.反思与感悟 物理上的功实质上就是力
8、与位移两矢量的数量积.跟踪训练 2 一个物体受到同一平面内的三个力 F1， F2， F3的作用，沿北偏东 45的方向移动了 8 m，其中| F1|2 N，方向为北偏东 30，| F2|4 N，方向为北偏东 60，| F3|6 N，方向为北偏西 30，求合力 F 所做的功.解 以 O 为原点，正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示. 则 F1(1， )， F2(2 ，2)，3 3F3(3，3 )，3所以 F F1 F2 F3(2 2，24 ).3 3又因为位移 s(4 ，4 )，2 2所以合力 F 所做的功为 W Fs(2 2)4 (24 )4 4 6 24 (J).3 2 3
9、2 2 3 6即合力 F 所做的功为 24 J.61.用两条成 120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N. 答案 10解析 设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F1， F2，则由题意得 F1， F2与 G 都成 60角，且| F1| F2|.| F1| F2| G|10 N，每根绳子的拉力都为 10 N.2.已知一个物体在大小为 6 N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 100 m，且 F 与 s 的夹角为 60，则力 F 所做的功 W_ J.答案 300解析 W Fs| F|s|cos F， s6100cos 60300(J).3
10、.一条河宽为 800 m，一船从 A 处出发垂直到达河正对岸的 B 处，船速为 20 km/h，水速为12 km/h，则船到达 B 处所需时间为_ min.答案 3解析 v 实际 v 船 v 水 v1 v2，|v1|20 km/h，| v2|12 km/h，| v| |v1|2 |v2|2 16(km/h).202 122所需时间 t 0.05(h)3(min).0.816该船到达 B 处所需的时间为 3 min.4.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西 30，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直
11、于河岸的方向以 2 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.3解 如图，设水的速度为 v1，风的速度为 v2， v1 v2 a.易求得 a 的方向是北偏东 30， a的大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为 v，方向由南向北，大小为 2 km/h.船本身的速3度为 v3，则 a v3 v，即 v3 v a，由数形结合知， v3的方向是北偏西 60，大小是 3km/h.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用
12、已经获取的数值去解释一些物理现象.课时作业一、选择题1.一质点受到平面上的三个力 F1， F2， F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知 F1， F2成 90角，且 F1， F2的大小分别为 2 和 4，则 F3的大小为( )A.6 N B.2 N C.2 N D.2 N5 7答案 C2.人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( )A.v1 v2 B.v1 v2C.|v1| v2| D.| |v1v2答案 B3.已知三个力 F1(2，1)， F2(3，2)， F3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力 F4，则 F4等于( )A.(1，2)
13、B.(1，2)C.(1，2) D.(1，2)答案 D解析 物体平衡， F1 F2 F3 F40， F4 F1 F2 F3(2，1)(3，2)(4，3)(1，2).故选 D.4.用力 F 推动一物体水平运动 s m，设 F 与水平面的夹角为 ，则力 F 对物体所做的功为( )A.|F|s B.Fcos sC.Fsin s D.|F|cos s答案 D5.已知两个力 F1， F2的夹角为 90，它们的合力大小为 10 N，合力与 F1的夹角为 60，那么 F1的大小为( )A.5 N B.5 N3C.10 N D.5 N2答案 B解析 如图，有| F1| F|cos 6010 5(N).126.已
14、知作用在点 A 的三个力 f1(3，4)， f2(2，5)， f3(3，1)，且 A(1，1)，则合力f f1 f2 f3的终点坐标为( )A.(9，1) B.(1，9)C.(9，0) D.(0，9)答案 A解析 f f1 f2 f3(3，4)(2，5)(3，1)(8，0)，设合力 f 的终点为 P(x， y)，则 f(1，1)(8，0)(9，1).OP OA 7.河水的流速为 5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以 12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A.13 m/s B.12 m/sC.17 m/s D.15 m/s答案 A解析 设小船在静水中的速度为 v1，河
15、水的流速为 v2，v1与 v2的合速度为 v，为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度 v1斜向上游方向，河水速度 v2平行于河岸，合速度 v 指向对岸，静水速度| v1| 13(m/s).|v|2 |v2|2 122 52二、填空题8.一物体在力 F1(3，4)， F2(2，5)， F3(3，1)的共同作用下从点 A(1，1)移动到点 B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于_.答案 40解析 F1(3，4)， F2(2，5)， F3(3，1)，合力 F F1 F2 F3(8，8).又 (01，51)(1，4)，AB F 8(1)(8)440，AB 即三个力的
16、合力做的功等于40.9.一个重 20 N 的物体从倾斜角为 ，斜面长 1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是 10 J，则 _.答案 30解析 WG Gs| G|s|cos(90 )201cos(90 )10 J，cos(90 ) ， 30.1210.河水的流速为 2 m/s，一艘小船以 10 m/s 的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为_m/s.答案 2 26解析 设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则v v1 v2，| v1|2 m/s，| v|10 m/s.所以| v2| v v1| v2 2vv1 v21 2 (m/s).
17、100 0 4 104 26三、解答题11.已知 e1(1，0)， e2(0，1)，今有动点 P 从 P0(1，2)开始，沿着与向量 e1 e2相同的方向做匀速直线运动，速度为| e1 e2|；另一动点 Q 从 Q0(2，1)开始，沿着与向量3e12 e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3 e12 e2|，设 P， Q 在 t0 时分别在 P0， Q0处，当 0时所需的时间 t 为多少？PQ P0Q 解 e1 e2(1，1)，| e1 e2| ，其单位向量为 ，3 e12 e2(3，2)，2 (22， 22)|3e12 e2| ，13其单位向量为 ，如图.(313， 213)依题意知，| |
18、 t，| | t，P0P 2 Q0Q 13所以 | | ( t， t)，P0P P0P (22， 22)| | (3 t， 2t).Q0Q Q0Q (313， 213)由 P0(1，2)， Q0(2，1)，得 P(t1， t2)， Q(3t2，2 t1)，所以 0(1，3)， (2 t1， t3).P0Q PQ 因为 0，所以 0 0.PQ P0Q P0Q PQ 即 2t13 t90，解得 t2，所以当 0时，所需的时间为 2.PQ P0Q 12.在水流速度为 4 千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小.解 如图，用 v0表示水流速
19、度， v1表示与水流垂直的方向的速度.则 v0 v1表示船实际航行的速度，| v0|4，| v1|8，| v0 v1| 4 .42 82 5故船实际航行的速度为 4 千米/小时.513.质量 m2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F10 N 的作用下，沿倾斜角 30的光滑斜面向上滑行| s|2.0 m 的距离.( g9.8 N/kg)(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？解 (1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和支持力 FN，如图所示，拉力 F 与位移 s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF Fs| F|s|c
20、os 020(J)；支持力 FN与位移方向垂直，不做功，所以 WN FNs0；重力 G 对物体所做的功为WG Gs| G|s|cos(90 )19.6(J).(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W WF WN WG0.4(J).四、探究与拓展14.质点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 (4，3)(即点 P 的运动方向与 相同，且每秒移动的距离为| |个单位).设开始时点 P 的坐标为(10，10)，则 5 秒后点 P 的坐标为( )A.(2，4) B.(30，25)C.(10，5) D.(5，10)答案 C解析 设点(10，10)为点 A， 5 秒后 P 点的坐标为 A1(x， y)，则 ( x10， y10)，AA1 由题意可知， 5 ，AA1 即( x10， y10)(20，15)，所以Error! Error!15.在长江南岸某渡口处，江水以 12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解 如图，设 表示水流的速度， 表示渡船的速度， 表示渡船实际垂直过江的速度. AB AD AC 因为 ，AB AD AC 所以四边形 ABCD 为平行四边形.在 Rt ACD 中， ACD90，| | |12.5，DC AB | |25，AD 所以 CAD30，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西 30.
