1、第三章 三角恒等变换1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧.一、利用条件中的角表示目标中的角例 1 已知 cos ，求 cos 的值.(6 ) 33 (56 )分析 将 看作一个整体，观察 与 的关系.6 6 56解 ，(6 ) (56 ) .56 (6 )cos cos(56 ) (6 )cos ，即 cos .(6 ) 33 (56 ) 33二、利用目标中的角表示条件中的角
2、例 2 设 为第四象限角，若 ，则 tan sin 3sin 1352 _.分析 要求 tan 2 的值，注意到 sin 3 sin(2 )sin 2 cos cos 2 sin ，代入到 中，首先求出 cos 2 的值后，再由同角三角函数之间的关系求出sin 3sin 135tan 2 .解析 由 sin 3sin sin2 sin sin 2 cos cos 2 sin sin 2cos 2 cos 2 .1352cos 2 cos 2 12cos 2 .cos 2 .135 45 为第四象限角，2 k 0，32 2 34sin 0，故原式 sin .2 12 12 1 cos 22 12
3、 12cos sin22 2点评 一般地，在化简求值时，遇到 1cos 2 、1cos 2 、1sin 2 、1sin 2常常化为平方式：2cos 2 、2sin 2 、(sin cos )2、(sin cos )2.三、灵活变角例 3 已知 sin( ) ，则 cos( 2 )_.6 13 23解析 cos( 2 )2cos 2( )12sin 2( )12( )21 .23 3 6 13 79答案 79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“ ”表示待求角“ 2 ”，善6 23于发现前者和后者的一半互余.四、构造齐次弦式比，由切求弦例 4 已知 tan ，则 的值是_.12 cos
4、21 sin 2解析 cos 21 sin 2 cos2 sin2cos2 sin2 2sin cos 3.1 tan21 tan2 2tan 1 141 14 2 123414答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“ ”化为关于 sin 和cos 21 sin 2cos 的二次齐次弦式比.五、分子、分母同乘以 2nsin 求 cos cos 2 cos 4 cos 8 cos 2n1 的值例 5 求 cos cos cos cos cos 的值.11 211 311 411 511解 原式cos cos cos cos cos 11 211 411 811 511 24sin
5、 11cos 11cos 211cos 411cos 811cos 51124sin 11 sin 1611cos 51124sin 11sin 511cos 51124sin 1112sin 101124sin 11 .sin 1125sin 11 132点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.3 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为 y Asin(x ) B的形式求解例 1 求函数 f(x) 的最值.sin4x cos4x sin2xcos2x2 sin 2x解 原函数变形得 f(x)sin2x cos2x2 sin2xcos2x2 sin 2x 1 14sin22
6、x2 sin 2x(1 12sin 2x)(1 12sin 2x)2(1 12sin 2x) sin 2x . f(x)max ， f(x)min .14 12 34 14例 2 求函数 ysin 2x2sin xcos x3cos 2x的最小值，并写出 y取最小值时 x的集合.解 原函数化简得 ysin 2 xcos 2 x2 sin 2.2 (2x4)当 2x 2 k ， kZ，即 x k ， kZ 时， ymin2 .4 32 58 2此时 x的集合为 x|x k ， kZ.58点评 形如 y asin2x bsin x cos x ccos2x d(a， b， c， d为常数)的式子，
7、都能转化成 y Asin(2x ) B的形式求最值.二、利用正、余弦函数的有界性求解例 3 求函数 y 的值域.2sin x 12sin x 1解 原函数整理得 sin x .y 12y 1|sin x|1， 1 ，解出 y 或 y3.|y 12y 1| 13函数的值域为 y|y 或 y3.13例 4 求函数 y 的值域.sin x 3cos x 4解 原函数整理得 sin x ycos x4 y3， sin(x )4 y3，sin( x ) .y2 1 4y 31 y2|sin( x )|1，解不等式 1 得| 4y 31 y2| y . 12 2615 12 2615点评 对于形如 y 或
8、 y 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的asin x bcsin x d asin x bccos x d有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例 5 设关于 x的函数 ycos 2 x2 acos x2 a的最小值为 f(a)，写出 f(a)的表达式.解 ycos 2 x2 acos x2 a2cos 2x2 acos x(2 a1)2 2 .(cos xa2) (a22 2a 1)当 1，即 a2时， f(a) ymin14 a，此时 cos x1.a2综上所述， f(a)Error!点评 形如 y asin2x bsin x c的三角函数可转化为二次函数 y at
9、2 bt c在区间1，1上的最值问题解决.例 6 试求函数 ysin xcos x2sin xcos x2 的最值.解 设 sin xcos x t， t ， ，则 2sin xcos x t21，原函数变为2 2y t2 t1， t ， ，当 t 时， ymin ；当 t 时， ymax3 .2 212 34 2 2点评 一般地，既含 sin xcos x(或 sin xcos x)又含 sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为 t的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设 sin xcos x t，则 sin xcos x (t21)；sin xcos x t，则 sin xcos
10、 x (1 t2).12 12四、利用函数的单调性求解例 7 求函数 y 的最值.1 sin x3 sin x2 sin x解 y sin2x 4sin x 3sin x 2 sin x 22 1sin x 2(sin x2) ，1sin x 2令 tsin x2，则 t1，3， y t .1t利用函数单调性的定义易证函数 y t 在1，3上为增函数.1t故当 t1，即 sin x1 时， ymin0；当 t3，即 sin x1 时， ymax .83例 8 在 Rt ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边 BC上，设 AB a， ABC ，ABC的面积为 P，正方形面积为 Q.求 的最小值
11、.PQ解 AC atan ， P ABAC a2tan .设正方形的边长为 x， AG xcos ， BC12 12.BC边上的高 h asin ，acos ，即 ，AGAB h xh xcos a asin xasin x ， Q x2 .asin 1 sin cos a2sin21 sin cos 2从而 PQ sin 2cos 1 sin cos 2sin2 1 .2 sin 2 24sin 2 (sin 24 1sin 2 )易知函数 y 在区间(0，1上单调递减，1t t4从而，当 sin 2 1 时， min .(PQ) 94点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单
12、的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.4 行百里者半九十三角恒等变换一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例 1 已知 sin ，sin ， 和 都是锐角，求 的值.55 1010错解 因为 和 都是锐角，且 sin ，sin ，所以 cos ，cos 55 1010 255 ，31010sin( )sin cos cos sin .55 31010 255 1010 22因为 ， ，则 (0，).(0，2)所以 或 .4 34剖析 由 sin ，sin ， 和 都是锐角，可以知道 和 都是定值，55 1010因此 也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是
13、因为sin( )在第一、第二象限没有区分度，应选择计算 cos( )的值.正解 因为 和 都是锐角，且 sin ，sin ，所以 cos ，cos 55 1010 255 ，cos( )cos cos sin sin .31010 255 31010 55 1010 22因为 ， ，所以 (0，)，所以 .(0，2) 4温馨点评 根据条件求角，主要有两步：1 求角的某种三角函数值； 2确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例 2 已知 tan2 6tan 70，tan 2 6tan 70
14、， 、 (0，)，且 ，求 的值.错解 由题意知 tan 、tan 是方程 x26 x70 的两根，由根与系数的关系，得Error!tan( ) 1.tan tan 1 tan tan 61 700，得 B ，且 sin B .513 (0， 2) 1213由 sin A ，得 cos A ，35 45当 cos A 时，cos A .45 12 23sin B ， B ， B .1213 32 (0， 2) 3故当 cos A 时， A B，与 A、 B是 ABC的内角矛盾.45cos A ，45cos Ccos( A B)sin Asin Bcos Acos B .1665温馨点评 涉及三
15、角形中的内角问题时，一定要注意内角和 A B C180这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现.四、忽略三角函数的定义域而致错例 4 判断函数 f(x) 的奇偶性.1 sin x cos x1 sin x cos x错解 f(x)1 sin x cos x1 sin x cos x1 2sin x2cos x2 (1 2sin2x2)1 2sin x2cos x2 (2cos2x2 1) tan ，2sin x2(cos x2 sin x2)2cos x2(sin x2 cos x2) x2由此得 f( x)tan tan f(x)，(x2) x2因此函数 f(x)为奇函
16、数.剖析 运用公式后所得函数 f(x)tan 的定义域为x2.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错.x|x R， x 2k ， k Z正解 事实上，由 1sin xcos x0 可得sin xcos x1，即 sin 1，2 (x4)从而 sin ，(x4) 22所以 x 2 k 且 x 2 k (kZ)，4 54 4 74故函数 f(x)的定义域是，x|x 2k 且 x 2k 32， k Z显然该定义域不关于原点对称.因此，函数 f(x)为非奇非偶函数.温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这
17、一隐含条件的考虑致错.五、误用公式 asin x bcos x sin(x )而致错a2 b2例 5 若函数 f(x)sin( x )cos( x )， xR 是偶函数，求 的值.错解 f(x)sin( x )cos( x )， f(0)sin cos sin .2 ( 4) f(x)sin( x )cos( x )是偶函数.| f(0)| f(x)max .2 f(0) sin ，2 ( 4) 2sin 1，( 4) k ， kZ.4 2即 k ， kZ.4剖析 x 与 x 是不同的角.函数 f(x)的最大值不是 ，上述解答把 f(x)的最大值误当作 来处理.2 2正解 f(x)sin( x
18、 )cos( x )是偶函数. f(x) f( x)对一切 xR 恒成立.即 sin(x )cos( x )sin( x )cos( x )恒成立.sin( x )sin( x )cos( x )cos( x )0.2sin xcos 2sin xsin 0 恒成立.即 2sin x(cos sin )0 恒成立.cos sin 0.cos sin sin 0.2 ( 4) k，即 k ， kZ.4 4温馨点评 注意公式 asin x bcos x 2absinx 的左端是同角 x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.例如：函数 fxsin x 3cosx xR的最大值不是 2.5
19、平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解.一、平面向量平行与三角函数交汇例 1 已知 a(2cos x2 sin x， 1)， b( y，cos x)，且 a b.若 f(x)是 y关于 x的函3数，则 f(x)的最小正周期为_.解析 由 a b得 2cos2x2 sin xcos x y0，3即 y2cos 2x2 sin xcos xcos 2 x sin 2x13
20、32sin(2 x )1，6所以 f(x)2sin(2 x )1，6所以函数 f(x)的最小正周期为 T .22答案 点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解.二、平面向量垂直与三角函数交汇例 2 已知向量 a(4，5cos )， b(3，4tan )， (0， )，若 a b，则2cos(2 )_.4解析 因为 a b，所以 435cos (4tan )0，解得 sin .35又因为 (0， )，所以 cos .2 45cos 2 12sin 2 ，725sin 2 2sin cos ，2425于是 c
21、os(2 )cos 2 cos sin 2 sin4 4 4 .17250答案 17250点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理.三、平面向量夹角与三角函数交汇例 3 已知向量 m(sin ，1cos )(0 )与向量 n(2，0)的夹角为 ，则3 _.解析 由条件得|m| ，sin2 1 cos 2 2 2cos |n|2， mn2sin ，于是由平面向量的夹角公式得 cos 3 mn|m|n| 2sin 22 2cos ，整理得 2cos2 cos 10，解得 cos 或 cos 1(舍去).12 1
22、2因为 0 ，所以 .23答案 23点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解.四、平面向量的模与三角函数交汇例 4 若向量 a(cos ，sin )， b( ，1)，则|2 a b|的最大值为_.3解析 由条件可得| a|1，| b|2， ab cos sin ，3则|2 a b| |2a b|2 4a2 b2 4ab 4，8 43cos sin 8 8cos 6所以|2 a b|的最大值为 4.答案 4点评 解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质| a|2 a2.如果是求模的大小，则一般可
23、直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解.五、平面向量数量积与三角函数交汇例 5 若函数 f(x)2sin( x )(2 x10)的图象与 x轴交于点 A，过点 A的直线 l与函6 3数的图象交于 B、 C两点，则( ) 等于( )OB OC OA A.32 B.16C.16 D.32解析 由 f(x)0，解得 x4，即 A(4，0)，过点 A的直线 l与函数的图象交于 B、 C两点，根据对称性可知， A是 BC的中点，所以 2 ，所以OB OC OA ( ) 2 2| |224 232，OB OC OA OA OA OA 答案 D点评 平面向
24、量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.6 单位圆与三角恒等变换巧结缘单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的.一、借助单位圆解决问题例 1 已知 sin sin ，cos cos ，求 tan .(提示：已知14 13 2A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB中点的坐标为 (x1 x22 )， (y1 y22 )解 设 A(cos ，sin )，
25、 B(cos ，sin )均在单位圆上，如图，则以 OA、 OB为终边的角分别为 、 ，由已知，sin sin ，cos cos ，用题设所给的中14 13点坐标公式，得 AB的中点 C ，(16， 18)如图，由平面几何知识知，以 OC为终边的角为 ，且过点 C ，由三 2 2 (16， 18)角函数的坐标定义，知 tan . 21816 34点评 借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始终，特别在求值中更能显出它的价值.二、单位圆与恒等变换的交汇例 2 已知圆 x2 y2 R2与直线 y2 x m相交于 A、 B两点，以 x轴的正方向为始边， OA为终边( O是坐标原点
26、)的角为 ， OB为终边的角为 ，则 tan( )的值为_.解析 如图，过 O作 OM AB于点 M，不妨设 、 0，2，则 AOM BOM AOB12 ( )，12又因为 xOM AOM ， 2所以 tan kOM ， 2 1kAB 12故 tan( ) .2tan 21 tan2 2 43答案 43点评 若是采用先求 A、 B两点的坐标，再求 、 的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同.例 3 如图， A， B是单位圆 O上的点， OA为角 的终边， OB为角 的终边， M为 AB的中点，连接 OM并延长交圆 O于点 C. (1)若 ， ，求点 M的坐标；6
27、 3(2)设 ( )， ， C(m， n)，求 y m n的最小值，并求使函数取得最0，3 3小值时 的取值.解 (1)由三角函数定义可知， A ， B ，(32， 12) (12， 32)由中点坐标公式可得 M .(3 14 ， 3 14 )(2)由已知得 xOC ( ) ( )，12 12 3即 C ，(cos(12 6)， sin(12 6)故 mcos ， nsin ，(12 6) (12 6)所以 ycos sin sin ，(12 6) (12 6) 2 (12 512)又因为 ，故 ，0，3 512 12 512 712当 0 或 时，函数取得最小值 ymin sin .3 2
28、512 3 12点评 借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化.7 教你用好辅助角公式在三角函数中，辅助角公式 asin bcos sin( )，其中角 所在的a2 b2象限由 a， b的符号确定， 的值由 tan 确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面ba举例说明，以供同学们参考.一、求最值例 1 求函数 y2sin x(sin xcos x)的最小值.解 y2sin x(sin xcos x)2sin 2x2sin xcos x1cos2 xsin 2 x1 2(sin 2x22 cos 2x22)1 2(sin 2xcos 4 cos 2xsin 4)
29、1 sin ，2 (2x4)所以函数 y的最小值为 1 .2二、求单调区间例 2 求函数 y cos2x sin xcos x1 的单调区间.12 32解 y cos2x sin xcos x112 32 (1cos 2 x) sin 2x114 34 sin 2x cos 2x34 14 54 12(32sin 2x 12cos 2x) 54 sin .12 (2x 6) 54由 2k 2 x 2 k (kZ)，2 6 2得 k x k (kZ).3 6由 2k 2 x 2 k (kZ)，2 6 32得 k x k (kZ).6 23所以函数的单调增区间是 k ， k (kZ)；函数的单调减
30、区间是3 6k ， k (kZ).6 23三、求周期例 3 函数 ycos 22x4cos 2 xsin 2x的最小正周期是( )A.2 B. C. D.2 4答案 C解析 ycos 22x4cos 2xsin 2x cos 4x2sin 4x sin(4x ) (其中 sin 12 12 172 12 ，cos )，函数的最小正周期为 T .故选 C.1717 41717 24 2四、求参数的值例 4 如果函数 ysin 2 x acos 2x的图象关于直线 x 对称，则实数 a的值为( )8A. B. C.1 D.12 2答案 D解析 y sin(2x )(其中 tan a).1 a2因为 x 是对称轴，所以直线 x 过函数图象的最高点或最低点.8 8即当 x 时， y 或 y .8 1 a2 1 a2所以 sin acos .(4) ( 4) 1 a2即 (a1) .所以 a1.故选 D.22 1 a2
