1、周周测 14 概率统计、复数、算法初步、推理与证明综合测试 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2017新课标全国卷，2) 设复数 z 满足 (1i)z2i ，则|z|( )A. B.12 22C. D22答案：C解析：方法一：由(1i)z2i 得 z 1i ，2i1 i |z| .2故选 C.方法二： 2i(1i) 2， 由(1i)z 2i(1 i)2，得 z1i， |z| .2故选 C.2(2018安徽马鞍山二中段考) 已知复数 z |( i)i|i 5(i 为虚3数单位) ，则复数 z 的共轭复数为( )A2
2、i B2iC 4 i D4i答案：B解析：z |( i)i|i 5|1 i|i2i，z 的共轭复数为3 32i.3(2018上海二模 )用反证法证明命题“已知 a，bN *，如果ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为( )Aa，b 都能被 5 整除B a， b 都不能被 5 整除C a， b 不都能被 5 整除Da 不能被 5 整除答案：B解析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以 设其否定成立进行推证 “a，b 中至少有一个能被 5 整除”的否定是“a， b 都不能被 5 整除” 故选 B.4(2018怀化二模 )某校高三(
3、1)班共有 48 人，学号依次为1,2,3，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为 6 的样本，已知学号为 3,11,19,35,43 的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为( )A27 B26C 25 D24答案：A解析：根据系统抽样的规则“等距离”抽取，则抽取的号码差相等，易知相邻两个学号之间的差为 1138，所以在 19 与 35 之间还有 27，故 选 A.5如表提供了某厂节能降耗改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 0.7x0.35，则下列结y 论错误的是( )x 3 4
4、5 6y 2.5 t 4 4.5A.回归直线一定过点(4.5,3.5)B产品的生产能耗与产量成正相关C t 的取值必定是 3.15DA 产品每多生产 1 吨，相应的生产能耗约增加 0.7 吨答案：C解析：由题意知， (3456) 4.5，则x14 1840.74.5 0.353.5 ，即回归直线一定过 点(4.5,3.5)，故 A 正确；y0.70，产品的生产 能耗与产量成正相关，故 B 正确； (2.5t4 4.5)3.5， t3，故 C 错误；A 产品每多生产y141 吨，相应的生 产能耗约增加 0.7 吨，故 D 正确故选 C.6(2018洛阳市第一次统一考试) 若 0 ，则 sin(
5、)3成立的概率为( )12A. B.13 12C. D123答案：B解析：依题意，当 0，时， ， ，由 sin( ) 得3 3 43 3 12 6，输出S3.结束循环故选 B.10一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M 是 AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADFBCE 内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD 内的概率为 ( )A. B.34 23C. D.13 12答案：D解析：因为 VFAMCD SAMCDDF a3，VADFBCE a3，所以13 14 12它飞入几何体 FAMCD 内的概率为 .14a312a3 1211(2018 湖北八校联考二模) 祖暅是我国南北朝时代的数学家，是
6、祖冲之的儿子他出了一个原理：“幂势既同，则积不容异 ”这里的“幂”指水平截面的面积， “势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等设由椭圆 1(ab0)所围成的平面图形绕 yy2a2 x2b2轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图) ，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于( )A. a2b B. a2b23 43C. b2a D. b2a23 43答案：D解析：椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，现构成两个底面半径为 b，高为 a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心
7、为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出的椭球体的体积V2( V 圆柱 V 圆锥 )2 b2a.(b2a 13b2a) 4312汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( )A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油答案：D解析：“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升
8、汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误 ；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误 ；C 中甲车 以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程为 10 km，行驶 80 km，消耗 8 升汽油，C 错误；D 中某城市机动车最高限速 80 千米/小时由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选 D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在相应题号后的横线上13(2018 云南省高三 11 校跨区调研考试)已知复数 z 满足z(1i) 2i ，则 z 的模为_答案： 2解
9、析：依题意得 z i(1i)2i1 i 2i1 i1 i1 i1i，| z|1i| . 12 12 214(2018湖北荆州中学质检)用火柴棒摆“ 金鱼” ，如图所示，按照规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是_答案：6n2解析：由图形可知，第 1 个“金鱼”图需火柴棒 8 根，第 2 个“金鱼”图需火柴棒比第 1 个多 6 根，第 3 个“金鱼”图需火柴棒比第 2 个多 6 根，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 6n2.15(2018 济南一模)2017 年 2 月 20 日，摩拜单车在某市推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”活动，为了解单车的使用情况，记者随机抽取了五个投放区
10、域，统计了半小时内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该数据的方差为_答案：4解析：由茎叶图得，该组数据分别是 87,89,90,91,93，平均数是90，故方差 s2 (91019)4.1516(2018宿州模拟) 一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为_答案：112解析：基本事件总数为 666，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1) ，(2,3,4)，(4,3,2)，(3
11、,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共 18 个，所求事件的概率 P 18666.112三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)已知复数 z( )2016(1i) 2(其中 i 为虚数单位 )，若复数 z 的1 i1 i共轭复数为 ，且 z143i.z z (1)求复数 z1；(2)若 z1 是关于 x 的方程 x2pxq0 的一个根，求实数 p，q的值，并求出方程 x2 pxq0 的另一个复数根解析：(1)
12、 因 为 z( )2016(1i) 2i 20162i12i ，1 i1 i所以 12i，所以 z1 2i.5 分z 4 3i1 2i(2)由题 意知 (2i) 2p(2i)q0，化简得(32pq)( p4)i0，所以 32pq0 且 p40，解得 p4，q5，所以方程为 x24x 5 0，即 (x2) 21i 2，解得另一个复数根为 x2 i.10 分18(本小题满分 12 分)在ABC 中，A ，B，C 的对边分别为 a，b，c，若a，b，c 三边的倒数成等差数列，求证： B90.证明：假设B90不成立，即B90，从而B 是ABC 的最大角， b 是ABC 的最大边，即 ba，bc . ，
13、 ，相加得 ，1a 1b1c 1b 1a 1c 1b 1b 2b这与 矛盾，1a 1c 2b故B 90不成立因此B90.19(本小题满分 12 分)(2018广东茂名二模 )2015 年 8 月 12 日天津港发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级(一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差) ，该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：等级 一级 二级 三级 四级频率 0.30 2m m 0.10现从该港口随机抽取了 n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有 20 家(1)求 m，n 的值；(2)按消防安
14、全等级利用分层抽样的方法从这 n 家公司中抽取 10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取 2 家，求抽取的这 2 家公司的消防安全等级都是二级的概率解析：(1) 由 0.302m m0.101，解得 m0.20，所以 n 100.20m(2)由(1)知，利用分 层抽样的方法从中抽取 10 家公司，消防安全等级为一级的有 3 家，二级的有 4 家，三级的有 2 家，四级的有 1 家记消防安全等级为二级的 4 家公司分别为 A，B，C，D，三级的 2家分司分别为 a，b，从中抽取 2 家公司，不同的结果为Aa，Ab，AB，AC，AD，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，
15、Cb，Da，Db，ab，共15 种，记“抽取的 2 家分司的消防安全等级都是二级”为事件 M，则事件 M 包含的 结果有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 6 种，所以 P(M) .615 2520(本小题满分 12 分)(2017合肥质量检测 )某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B 进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案 A 和方案B 进行治疗，统计结果如下：有效 无效 合计使用方案 A组 96 120使用方案 B组 72合计 32(1)完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；(2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？附：K 2 ，
16、其中 nabc dnad bc2a bc da cb dP(K2k 0) 0.05 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828解：(1) 列联 表如下：有效 无效 合计使用方案 A组 96 24 120使用方案 B组 72 8 80合计 168 32 200使用方案 A 组有效的频率为 0.8；使用方案 B 组有效的频率96120为 0.9.7280(2)K2 3.5713.841，200968 247221208016832所以，不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关21(本小题满分 12 分)(2018辽宁重点高中协作体模拟) 某重
17、点高中拟把学校打造成新型示范高中，为此制定了很多新的规章制度，新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度的认知程度随机抽取 100 名学生进行问卷调查，调查卷共有 20 个问题，每个问题 5 分，调查结束后，发现这 100 名学生的成绩都在75,100内，按成绩分成 5 组：第 1 组75,80)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)，第 5 组95,100，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙 3 人分别在第 3,4,5 组，现在用分层抽样的方法在第 3,4,5 组共选取 6 人对新规章制度作深入学习(1)求这 100 人的平均得分( 同一组数据用
18、该区间的中点值作代表) ；(2)求第 3,4,5 组分别选取的人数；(3)若甲、乙、丙都被选取对新规章制度作深入学习，之后要再从这 6 人中随机选取 2 人全面考查他们对新规章制度的认知程度，求甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率解析：(1) 这 100 人的平均得分为5 0.01 0.07 0.06 0.04x75 802 80 852 85 902 90 952 0.0287.25.95 1002(2)第 3 组的人数 为 0.06510030；第 4 组的人数为0.04510020；第 5 组的人数为 0.02510010，共有 60 人，用分层抽样在这三个组中选取的人数分别为 3
19、,2,1.(3)记其他 3 人为丁、戊、己，则所有选取的结果为( 甲、乙)、( 甲、丙)、 (甲、丁) 、(甲、戊)、(甲、己)、(乙、丙)、(乙、丁) 、(乙、戊) 、(乙、己) 、(丙、丁 )、(丙、戊)、(丙、己)、(丁、戊)、(丁、己 )、(戊、己)，共 15 种情况，其中甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取有 12 种情况，所求概率为 P .1215 4522(本小题满分 12 分)中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井，取得了地质资料进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探由于勘探一口井的费用很高
20、，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用勘探初期数据质料见下表：井号 1 2 3 4 5 6坐标(x，y) (km)(2,30) (4,40) (5,60) (6,50) (8,70) (1，y)钻探深度(km) 2 4 5 6 8 10出油量(L) 40 70 110 90 160 205(1)若 16 号旧井位置满足线性分布，借助前 5 组数据所求得的回归直线方程为 x ，且 6.5，求 ，并估计 y 的y b a b a 预报值；(2)现准备勘探新井 7(1,25)，若通过 1,3,5,7 号井计算出的 ， 的b a 值与(1) 中 ，
21、 的值的差不超过 10%，则使用位置最接近的旧井b a 6(1， y)，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？( 注：其中 的b 计算结果用四舍五入法保留 1 位小数)参考数据： 94， 2i1 y2i1 945.4i 1x 22i 14i 1x参考公式：回归方程 x 中斜率和截距的最小二乘估计分y b a 别为： ， .b ni 1xiyi nx y ni 1x2i nx 2 ay b x 解析：(1) 利用 线性回归方程必经过样本点的中心，求出 的值；a 令线性回归方程中 x 的 值为 1，即可求出 y 的预报值由题意可得 5， 50，回归直线必过样本点的中心x y ( ， ) ，所以 506.5517.5，故回归直线方程为x y a 6.5x17.5.y 当 x1 时，y6.517.524，即 y 的预报值为 24.(2)依据 题设 运用线性回归系数进行推断由题意可得 4， 46.25， 94，x y 4i 1x 22i 12i1 y2i1 945，4i 1x所以 6.8, b 4i 1x2i 1y2i 1 4x y 4i 1x 22i 1 4x 2 945 4446.2594 442 46.256.8419.05，所以a y b x 5%， 9%，均不超 过 10%，b b b a a b 故可使用位置最接近的旧井 6(1,24)
