1、2.4.2抛物线的几何性质(二),第2章 2.4抛物线,1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 直线与抛物线的位置关系,思考 1若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？,答案,不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点,思考 2直线与抛物线的位置关系与公共点个数,答案,梳理直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有 个公共点；
2、当0)的一条弦，其中点M的坐标为(x0，y0)，运用平方差法可推导AB的斜率如下：,由得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1). ,y1y22y0， ,p,纵,题型探究,例1已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l和C只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？,类型一 直线与抛物线的位置关系,解答,可得k2x2(2k4)x10，(*),此时直线l平行于x轴.当k0时，方程(*)是一个一元二次方程，(2k4)24k24k216k164k216k16.,当0，即k1时，直线l与C没有公共点.所以，当k0或1时，l和C只有一个公共点；当k1时，l和C没有公共点.,跟踪训练1平面内
3、一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程；,解答,依题意知曲线C是抛物线，设其方程为x22py(p0).,(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线yx2的距离最短，求出P点的坐标；,解答,所以当x02，y01，即P的坐标为(2,1)时，点P到直线yx2的距离最短，最短距离为 .,(3)设直线l：yxm，当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？,解答,由题意，联立yxm和x24y，消去y并整理得x24x4m0，因为直线与曲线C有交点，所以(4)216m0，解得m1.,例2已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0
4、)，线段AB恰被M(2,1)所平分.(1)求抛物线E的方程；,类型二 与弦长、中点弦有关的问题,解答,由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，,所以抛物线E的方程为y24x.,(2)求直线AB的方程.,解答,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,且x1x24，y1y22.由，得(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，,所以直线AB的方程为y12(x2)，即2xy30.,反思与感悟,中点弦问题解题策略方法,跟踪训练2已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及P1P2.,解答,方法一由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y1k(x4).,当k0
5、时，624k(24k6)0 设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,P1P2的中点为(4,1)，,所求直线方程为y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，,方法二设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).,又y1y22，,y1y22，y1y222，,所求直线的斜率为k3，所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.,类型三 抛物线中的定点(定值)问题,例3已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；,解答,设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,因为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2
6、y1y20.,因为y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.,(2)求证：直线AB过定点.,证明,所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，,即直线AB过定点(2p,0).,反思与感悟,在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化.,解答,由题意知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线方程y24x，消去x，得y24ty40.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，,(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y2
7、4t24t2143.,解答,设l：xtyb，代入抛物线方程y24x，消去x，得y24ty4b0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.,(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0).,当堂训练,1,2,3,4,5,1.抛物线yax21与直线yx相切，则a_.,答案,解析,直线yx与抛物线yax21相切，方程ax2x10有两相等实根，判别式(1)24a0，,1,2,3,4,5,y1y24，x1x2y1y226，中点坐标为(3,2).,2.直线yx1被
8、抛物线y24x截得线段的中点坐标是_.,(3,2),答案,解析,1,2,3,4,5,3.过抛物线y24x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为_.,答案,解析,16,同理可得N的横坐标为x24k2，所以x1x216.,1,2,3,4,5,4.若抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，且AB4 ，则抛物线的焦点到直线AB的距离为_.,答案,解析,1,由抛物线的对称性，,A，B两点在抛物线上，,又y24x的焦点坐标为(1,0)，焦点到直线AB的距离为1.,1,2,3,4,5,5.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长AB3 ，求此抛物线的方程.,解答,1,2,3,4,5,由(a16)22560，得a0或a32.,设所求抛物线方程为y2ax(a0).A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,a4或a36，且都符合题意.所求抛物线的方程为y24x或y236x.,规律与方法,求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.,本课结束,
