1、专题三 动点问题,命题预测,方法指导,“动点型问题”是指图形中存在一个或多个动点,它们是在某条线段、射线或弧线上运动的,从而引起另一图形的变化,从运动变化的角度来研究、探索发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理,是一类开放性题目.对考生的观察能力和创新能力要求较高,题目的难度一般比较大,是安徽省中考试题的热点题型.预计这类题仍然是2018年中考的热点,解决这类问题的关键是动中求静,在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.,命题预测,方法指导,1.有特殊位置点的动点问题:本类型问题中的动点往往和某些定点构成特殊的位置
2、关系,利用“三角形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等知识进行解题. 2.几何图形中的动点问题:由动点引起某一线段长度变化(自变量),通过题目中提供的其他条件表示出另一线段或某一图形面积,从而构建两者之间的函数关系,再根据函数性质解题. 3.函数图象中的动点问题:动点在某一函数图象上,当点运动到某一特殊位置时,某一线段长度或某一图形的面积达到最值,或与某些点构成一个特殊的图形;解题利用函数图象上点坐标的对应关系,用动点的坐标表示出要求图形的数量特征(如线段的长度或图形面积),再利用函数性质或方程进行求解.,类型一,类型二,类型三,类型一,类型二,类型三,类型一,类型二,类
3、型三,类型一 有特殊位置点的动点问题 例1(2016安徽安庆一模改编)如图,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=BC=2,点D是边AC的中点,点E是斜边AB上的动点,将ADE沿DE所在的直线折叠得到A1DE.连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B长的最小值.分析:由图可知动点A1和定点B,D构成一个三角形,当A1位于BD上时构成一条线段,根据这种特殊位置关系可得A1BBD-A1D,在RtBCD中求出BD的长,由折叠可得A1D=AD=1,便可求出A1B长的最小值.,类型一,类型二,类型三,解:如图,连接BD,DE, 在RtBCD中,由折叠知A1DEADE, 所以A1D=AD=1.
4、,类型一,类型二,类型三,类型二 几何图形中的动点问题 例2(2017山东泰安)如图,在ABC中,C=90,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ面积的最小值为( )A.19 cm2 B.16 cm2 C.15 cm2 D.12 cm2,类型一,类型二,类型三,解析:设运动时间为t s,则AP=t cm,CQ=2t cm.,CP=(6-t) cm. PCQ的面积为,四边形PABQ的面积的最小值为15 cm2. 答案:C,类型一,类型二,类型三,类型三
5、 函数图象中的动点问题 例3(2016安徽,22)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.,类型一,类型二,类型三,分析:(1)把点A(2,4)与B(6,0)代入二次函数y=ax2+bx,建立方程组可求a,b的值; (2)连接CD和添加一些垂线把四边形OACB的面积转化为几个三角形面积的和,用动点C的横坐标表示出各个三角形面积,再求和,就构建成了面积S与x的函数,再利用函数知识求解.,类型一,类型
6、二,类型三,(2)如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CEAD于点E,CFx轴于点F.,则S=SOAD+SACD+SBCD =4+(2x-4)+(-x2+6x) =-x2+8x =-(x-4)2+16(2x6), 因为a=-10,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.,1,2,3,4,5,6,7,1.(2017山东枣庄)如图,直线y= x+4与x轴,y轴分别交于点A和点B,点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小时,点P的坐标为( C ),解析: 作点D关于x轴的对称点D,连接CD交x轴于点P,此时PC+PD值
7、最小,如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,点A的坐标为(-6,0). 点C,D分别为线段AB,OB的中点, 点C(-3,2),点D(0,2). 点D和点D关于x轴对称, 点D的坐标为(0,-2). 设直线CD的解析式为y=kx+b, 直线CD过点C(-3,2),D(0,-2),1,2,3,4,5,6,7,2.(2017江苏宿迁)如图,在RtABC中,C=90,AC=6 cm,BC=2 cm,点P在边AC上,从点A向点C移动,点Q在边CB上,从点C向点B移动,若点P,Q均以1 cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,则线段PQ的最小值是( C ),解析: 设运动时间为
8、x s,则PC=(6-x) cm,CQ=x cm, PQ2=PC2+CQ2,即PQ2=(6-x)2+x2=2(x-3)2+18, 0x2,当x=2时,PQ最小为2 cm.,1,2,3,4,5,6,7,3.(2017山东莱芜)如图,在四边形ABCD中,DCAB,AD=5,CD=3,sin A=sin B= ,动点P自A点出发,沿着边AB向点B匀速运动,同时动点Q自点A出发,沿着边ADDCCB匀速运动,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,APQ的面积为S,则S关于t的函数图象是( B ),1,2,3,4,5,6,7,解析: 过点D作DEAB于点E
9、,过点C作CFAB于点F.,当点P到达终点B时,点Q在线段BC上,此时APQ的面积为S0.,1,2,3,4,5,6,7,又当点P到达终点B时,点Q在线段BC上,此时APQ的面积为S0. 由此可得答案选B.,1,2,3,4,5,6,7,4.(2017甘肃天水)如图所示,正方形ABCD的边长为4,E是边BC上的一点,且BE=1,P是对角线AC上的一动点,连接PB,PE,当点P在AC上运动时,PBE周长的最小值是6 .,解析: 连接PD,有PB=PD,PBE的周长为PB+PE+BE=PD+PE+1,当D,P,E共线时,PD+PE最小,此时PBE的周长最小,最小值为,1,2,3,4,5,6,7,5.(
10、2017新疆生产建设兵团)如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1 cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动.在运动过程中,当运动时间为3 s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18 cm2.,1,2,3,4,5,6,7,解析: 点E,F,G,H在四条边上的运动速度相同, AE=BF=CG=DH, 在正方形ABCD中,A=B=C=D=90,且AB=BC=CD=DA, EB=FC=GD=HA, AEHBFECGFDHG(SAS), SAEH=SBFE=SCGF=SDHG. 设运动时间为t(s)时,四
11、边形EFGH的面积为S(cm2),因为运动速度为1 cm/s, AE=t cm,AH=(6-t) cm,由二次函数的性质,当t=3 s时,S有最小值,最小值是18,即当运动时间为3 s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18 cm2.,1,2,3,4,5,6,7,6.(2017浙江金华)如图1,在平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,3 ),B(9,5 ),C(14,0),动点P与Q同时从O点出发,运动时间为t秒,点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动,点Q沿折线OAABBC运动,在OA,AB,BC上运动的速度分别为3, (单位长度/秒).当P,Q
12、中的一点到达C点时,两点同时停止运动. (1)求AB所在直线的函数表达式. (2)如图2,当点Q在AB上运动时,求CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值. (3)在P,Q的运动过程中,若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点,求相应的t值.,1,2,3,4,5,6,7,解: (1)设AB所在直线的函数表达式为y=kx+b,1,2,3,4,5,6,7,(3)当0t2时,线段PQ的中垂线经过点C(如图3),可得方程,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,7.(2017山东德州)如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=3 cm,AD=5 cm,折
13、叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ.过点E作EFAB交PQ于F,连接BF. (1)求证:四边形BFEP为菱形; (2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动. 当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长; 若限定P,Q分别在边BA,BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.,1,2,3,4,5,6,7,(1)证明: 折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ, 点B与点E关于PQ对称. PB=PE,BF=EF,BPF=EPF. 又EFAB, BPF=EFP. EPF=EFP. EP=EF. BP=BF=FE=EP. 四边形BFEP为菱形.,1,2,3,4,5,6,7,(2)解: 如图2,四边形ABCD为矩形, BC=AD=5 cm,CD=AB=3 cm,A=D=90. 点B与点E关于PQ对称, CE=BC=5 cm. 在RtCDE中,DE2=CE2-CD2, 即DE2=52-32,DE=4 cm. AE=AD-DE=5 cm-4 cm=1 cm. 在RtAPE中,AE=1 cm,AP=3-PB=3-PE,1,2,3,4,5,6,7,当点Q与点C重合时,如图2,点E离A点最近,由知,此时AE=1 cm.,当点P与点A重合时,如图3,点E离A点最远,此时四边形ABQE为正方形,AE=AB=3 cm, 点E在边AD上移动的最大距离为2 cm.,
