1、 第四章圆与方程单元检测(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1直线 yx10 与曲线 x2 y21 的位置关系是( ) A相交 B相离 C相切 D不能确定2圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程为( )Ax 2(y2) 21 Bx 2( y2) 21C(x1) 2( y3) 21 Dx 2( y3) 213点 P(x，y，z)满足 ，则点 P 在( ) 2xyzA以点(1,1，1)为圆心， 为半径的圆上B以点(1,1，1)为中心， 为棱长的正方体内C以点(1,1，1)为球心，2 为半径的球面上D无法确定4圆 x
2、2y 24 与圆 x2y 24x4y40 关于直线 l 对称，则 l 的方程是( )Axy0 Bx y20Cx y20 Dxy205圆 C1：x 2 y22x2y 20 与 C2：x 2y 24x2y 10 的公切线有且只有( )A1 条 B2 条 C3 条 D4 条6把圆 x2y 22x 4ya 220 的半径减小一个单位则正好与直线 3x4y40相切，则实数 a 的值为( )A3 B3C3 或 3 D以上都不对7过点 P(2,3)向圆 x2y 21 作两条切线 PA、PB，则弦 AB 所在直线的方程为( )A2x3y10 B2x 3y10C3x 2y10 D3x2y108与圆 x2y 2a
3、x 2y10 关于直线 xy10 对称的圆的方程为x2y 24x3 0，则 a 等于 ( )A0 B1 C2 D39圆 x2(y1) 23 绕直线 kxy10 旋转一周所得的几何体的表面积为 ( )A36 B12 C D4410动圆 x2y 2(4m2)x 2my4m 24m10 的圆心的轨迹方程是( ) A2xy10 B2x y10( x1)Cx 2y10(x 1) Dx2y1011若过定点 M(1,0) 且斜率为 k 的直线与圆 x24x y 250 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是( ) A B55C D0k50312直线 ykx3 与圆( x3) 2( y2) 24 相交
4、于 M，N 两点，若 ，则23k 的取值范围是 ( )A B(， 0， ),43C D3, 2,0二、填空题(本题共 4 小题， ，每小题 4 分，共 16 分)13过直线 l：y 2x 上一点 P 作圆 C：(x8) 2(y1) 22 的切线 l1，l 2，若 l1，l 2 关于直线 l 对称，则点 P 到圆心 C 的距离为_14点 P 为圆 x2y 21 上的动点，则点 P 到直线 3x4 y100 的距离的最小值为_15已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为_16已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：yx1 被圆
5、C 所截得的弦长为 ，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为_三、解答题(本题共 6 小题，共 74 分)17(12 分) 一圆和直线 l：x2y30 切于点 P(1,1)，且半径为 5，求这个圆的方程18(12 分) 求平行于直线 3x 3y50 且被圆 x2y 220 截得长为 的弦所在的62直线方程19(12 分) 点 A(0,2)是圆 x2y 216 内的定点，B，C 是这个圆上的两个动点，若BACA，求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线20(12 分) 圆 x2y 22x50 与圆 x2y 22x 4y40 的交点为 A、B .(1)求线段 AB 的垂直平分线的
6、方程；(2)求线段 AB 的长21(12 分) 已知圆 C：(x 1) 2(y2) 225，直线 l：(2m1)x( m1)y7m40( mR)(1)证明：不论 m 为何值时，直线和圆恒相交于两点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程22(14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx 26x1 与坐标轴的交点都在圆 C上(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 xy a0 交于 A，B 两点，且 OAOB，求 a 的值答案与解析1.答案：B解析：圆心到直线的距离 .|1522.答案：A解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b) ，则由题意知 ，解得 b2，220
7、11b故圆的方程为 x2( y2) 21.方法二(数形结合法)：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2)，故圆的方程为 x2( y2) 21.方法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择支，排除 B，D，又由于圆心在 y 轴上，排除C.3.答案：C解析：根据两点间距离公式的几何意义，动点(x，y，z)满足到定点(1,1，1)的距离恒等于 2.4.答案：D解析：两圆圆心分别为(0,0)和( 2,2)，中点为( 1,1)，两圆圆心连线斜率为1.l 的斜率为 1，且过点 (1,1)l 的方程为 y1x1，即 xy20.5.答案：B解析：C 1：(x 1) 2( y1) 24，C
8、 2：(x2) 2( y1) 24，2122134C只有 2 条公切线 应选 B.6.答案：C解析：圆的方程可变为(x1) 2(y2) 2a 27，圆心为(1,2)，半径为 ，27a由题意得 ，2|134|1解得 a3.7.答案：B解析：圆 x2y 21 的圆心为坐标原点 O，以 OP 为直径的圆的方程为.234(1)()x 显然这两个圆是相交的，由223114yx得 2x3y10，这就是弦 AB 所在直线的方程8.答案：C解析：两圆的圆心分别为 ，B(2,0)，(,1)2aA则 AB 的中点 在直线 xy 10 上，即 ，解得 a2，故选(,)41042a择 C.9.答案：B解析：由题意，圆
9、心为(0， 1)，又直线 kxy10 恒过点(0 ，1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以 S4( )212.310.答案：C解析：圆心为(2m1，m)，r|m|(m0) 不妨设圆心坐标为(x，y)，则 x2m1，ym，所以 x2y10.又因为 m0，所以 x1.因此选择 C.11.答案：A解析：圆 x24x y 250 可变形为 (x2) 2y 29，如图所示当 x0 时， ，结合图形可得 ，5y (0,5)A ，1AMk )(，12.答案：A解析：圆心(3,2)到直线 ykx3 的距离 ，2|31|kd，23143kMN .013.答案： 35解析：圆
10、心 C 的坐标为(8,1)，由题意，得 PCl，PC 的长是圆心 C 到直线 l 的距离即 .|16|5P14.答案：1解析：圆心到直线的距离为 ，1025d点 P 到直线 3x4y 100 的距离的最小值为 dr211.15.答案：(x2) 2y 210解析：由题意，线段 AB 中点 M(3,2)， ，ABk AB 线段 AB 中垂线所在直线方程为 y22(x3)由 得圆心(2,0)30yx则圆 C 的半径 221031r故圆 C 的方程为(x2) 2y 210.16.答案：xy30解析：设圆心(a,0)， ,a3.222|1|)(|1|a 圆心 (3,0) 所求直线方程为 xy30.17.
11、解：设圆心坐标为 C(a，b)，圆的方程即为(xa) 2(y b) 225.点 P(1,1)在圆上，则(1a) 2(1 b) 225.又 l 为圆 C 的切线，则 CPl， .1a联立解得 或152ab5b即所求圆的方程为(x1 )2(y1 )225 或(x1 )2(y 1 )55225.18.解：设弦所在的直线方程为 xyc 0.则圆心(0,0)到此直线的距离为 .|d因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，所以 .22|()3)0c由此解得 c2，代入得弦的方程为 xy20 或 xy20.19.解：设点 M(x，y )，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OMBC.又BAC90，|
12、MA| |BC| MB|.12|MB|2|OB |2|OM| 2，|OB|2| MO|2| MA|2，即 42(x 2y 2)(x0) 2( y2) 2，化简为x2y 22y6 0，即 x2(y1) 27.所求轨迹为以(0,1) 为圆心，以 为半径的圆720.解：(1)两圆方程相减，得 4x4y10，即为 AB 的方程两圆圆心连线即为 AB的垂直平分线，所以 AB 的垂直平分线的方程过两圆圆心，且与 AB 垂直则 AB 的垂直平分线的斜率为1.又圆 x2y 22x 50 的圆心为 (1,0)，所以 AB 的垂直平分线的方程为 y(x1)，即 xy10.(2)圆 x2y 22x 50 的半径、圆
13、 x2y 22x50 的圆心到 AB 的距离、AB 长的一半三者构成一个直角三角形的三条边，圆 x2y 22x 5 0 可化为( x1) 2y 26，所以圆心(1,0)，半径 ，弦心距 ，由勾股定理得6|4|8，222|5()()(8AB解得 .3421.解：(1)由(2m1)x ( m1) y7m 40，得(2xy7)m xy40.则 解得270y31x直线 l 恒过定点 A(3,1)又 (31) 2(12) 2525，(3,1)在圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个公共点(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有 lAC，由 ，得 l 的方程为12ACk y12( x3) ，即
14、2xy50.22.解：(1)曲线 yx 26x 1 与 y 轴的交点为(0,1) ，与 x 轴的交点为 ，(32,0)(32,0)故可设 C 的圆心为(3，t)，则有 ，解得 t1.22()t 则圆 C 的半径为 31 所以圆 C 的方程为(x3) 2( y1) 29.(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：209.a消去 y，得到方程 2x2(2a8)xa 22a10.由已知可得，判别式 5616a4a 20.因此 ，1,2(8)56x从而 x1x 24a， .211ax由于 OAOB，可得 x1x2y 1y20.又 y1x 1a，y 2x 2a，所以 2x1x2a(x 1x 2)a 20.由， 得 a1，满足 0，故 a1.
