1、图形的相似1如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6 ，点 M 为 BC 的中点，MNAC 于点 N，则 MN等于（ ）A B C D2图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A点 PB点 OC点 M D点 N3已知ABC DEF，相似比为 3：1，且ABC 的周长为 18，则DEF 的周长为（ ）A2 B3 C6 D544如图，ABC 中，ABAC ，D，E 两点分别在边 AC，AB 上，且 DE 与 BC 不平行请填上一个你认为合适的条件： ，使ADEABC（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）5如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点
2、 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外）；（2）求 BP：PQ：QR6计算：|3 |+（ ） 0+（cos 230） 24sin607计算： 2sin45+（2 ） 0 8计算：| | +（ 4） 0sin309如图，小明站在 A 处放风筝，风筝飞到 C 处时的线长为 20 米，这时测得CBD=60，若牵引底端 B 离地面 1.5 米，求此时风筝离地面高度（计算结果精确到 0.1 米，1.732 ）10在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅 DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端 D 的仰角为 30，再
3、向条幅方向前进 10 米后，又在点 B 处测得条幅顶端 D 的仰角为 45，已知测点 A、B 和 C 离地面高度都为 1.44 米，求条幅顶端 D 点距离地面的高度（计算结果精确到 0.1 米，参考数据： 1.414， 1.732 ）12阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案（1）所需的测量工具是： ；（2）请在图中画出测量示意图；（3）设树高 AB 的长度为 x，请用所测数据（用小写字母表示）求出 x13我国南方部分省区发生了雪灾
4、，造成通讯受阴如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从 C 处压折，塔尖恰好落在坡面上的点 B 处，在 B 处测得点 C 的仰角为 38，塔基 A 的俯角为 21，又测得斜坡上点 A 到点 B 的坡面距离 AB 为 15 米，求折断前发射塔的高（精确到 0.1 米）14如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=5 ，CB=12 ，AD 是ABC 的角平分线，过A、C、D 三点的圆 O 与斜边 AB 交于点 E，连接 DE（1）求证：AC=AE；（2）求 AD 的长15如图，矩形 ABCD 的长，宽分别为 和 1，且 OB=1，点 E（ ，2），连接AE， ED（1）求经过 A，E，D 三点的
5、抛物线的表达式；（2）若以原点为位似中心，将五边形 AEDCB 放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的 3 倍，请在下图网格中画出放大后的五边形 AEDCB；（3）经过 A，E ，D三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由16某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处如图，甲，乙两村坐落在夹角为 30的两条公路的 AB 段和 CD 段（村子和公路的宽均不计），点 M 表示这所中学点 B 在点 M 的北偏西 30的 3km 处，点 A 在点 M 的正西方向，点
6、D 在点 M 的南偏西 60的 km 处为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点 M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段 CD 某处），甲村要求管道铺设到 A 处，请你在图中，画出铺设到点 A 和点 M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段 AB 某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？17如图，在 RtABC 中，C=90 ，AB=50，AC=30，D，E，F 分别是
7、 AC，AB ，BC 的中点点 P 从点 D 出发沿折线 DEEFFCCD 以每秒 7 个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿 BA 方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 作射线 QKAB ，交折线 BCCA 于点 G点 P，Q 同时出发，当点 P 绕行一周回到点 D 时停止运动，点 Q 也随之停止设点 P，Q 运动的时间是 t 秒（t0）（1）D，F 两点间的距离是 ；（2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由；（3）当点 P 运动到折线 EFFC 上，且点 P 又恰好落在射线 QK 上时，求 t 的值；（4）
8、连接 PG，当 PGAB 时，请直接写出 t 的值18如图，E 是ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接 EC，交 AD 于点 F在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明图形的相似参考答案与试题解析1如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6 ，点 M 为 BC 的中点，MNAC 于点 N，则 MN等于（ ）A B C D【考点】勾股定理；等腰三角形的性质【分析】连接 AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到 AMBC，根据勾股定理求得AM 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得 MN 的长【解答】解：连接 AM，AB=AC，点 M 为 BC 中
9、点，AMCM（三线合一），BM=CM ，AB=AC=5，BC=6，BM=CM=3，在 RtABM 中，AB=5，BM=3，根据勾股定理得：AM= = =4，又 SAMC = MNAC= AMMC，MN= = 故选：C【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边2图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A点 PB点 OC点 M D点 N【考点】位似变换【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心即位似中心一定在对应点的连线上【解答】解：点 P 在对应点 M 和点 N 所在直线上，故选 A【点评】位似图
10、形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点 M、N 为对应点，所以位似中心在 M、N 所在的直线上，因为点 P 在直线 MN 上，所以点 P 为位似中心考查位似图形的概念3已知ABC DEF，相似比为 3：1，且ABC 的周长为 18，则DEF 的周长为（ ）A2 B3 C6 D54【考点】相似三角形的性质【专题】压轴题【分析】因为ABCDEF，相似比为 3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长【解答】解：ABCDEF，相似比为 3：1ABC 的周长：DEF 的周长=3：1ABC 的周长为 18DEF 的周长为 6故选 C【点评】本题考查对相似三角形性质的理解（1）相似三角形周长的
11、比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比4如图，ABC 中，ABAC ，D，E 两点分别在边 AC，AB 上，且 DE 与 BC 不平行请填上一个你认为合适的条件： B=1 或 ，使ADEABC（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）【考点】相似三角形的判定【专题】压轴题；开放型【分析】此题属于开放题，答案不唯一注意此题的已知条件是：A=A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可【解答】解：此题答案不唯一，如C=2 或B=1 或 【点评】此题考查
12、了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题5如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外）；（2）求 BP：PQ：QR【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【专题】几何综合题【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等BPC=BRE，BCP=E，可得BCPBER；（2）根据 ABCD、ACDE，可得出PCQPAB，PC
13、QRDQ，PABRDQ根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系【解答】解：（1）四边形 ACED 是平行四边形，BPC= BRE，BCP=E，BCPBER；同理可得CDE= ACD ， PQC= DQR ，PCQRDQ；四边形 ABCD 是平行四边形，BAP=PCQ，APB=CPQ，PCQPAB ；PCQRDQ，PCQPAB，PABRDQ（2）四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，BC=AD=CE，ACDE，BC ： CE=BP：PR ，BP=PR，PC 是BER 的中位线，BP=PR，又PCDR，PCQRDQ又点 R 是 DE 中点，DR=RE，QR=2P
14、Q又BP=PR=PQ+QR=3PQ，BP ： PQ：QR=3：1：2【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似6计算：|3 |+（ ） 0+（cos 230） 24sin60【考点】实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值【专题】计算题【分析】根据实数的有关运算法则计算【解答】解：原式= 【点评】本题考查实数的基本运算，难度适中7（2012遂宁）计算： 2sin45+（2 ） 0 【考点】实数的
15、运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值【专题】计算题；压轴题【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式= 【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算注意：负指数为正指数的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于 1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数8计算：| | +（ 4） 0sin30【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；二次根式的
16、性质与化简【专题】计算题【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式= 3+1 =2【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算注意：任何非 0 数的 0 次幂等于 1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数9如图，小明站在 A 处放风筝，风筝飞到 C 处时的线长为 20 米，这时测得CBD=60，若牵引底端 B 离地面 1.5 米，求此时风筝离地面高度（计算结果精确到 0.1 米，1
17、.732 ）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】计算题；压轴题【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答【解答】解：在 RtBCD 中，CD=BC sin60=20 =10又 DE=AB=1.5，CE=CD+DE=CD+AB=10 +1.518.8答：此时风筝离地面的高度约是 18.8 米【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用10在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅 DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端 D 的仰角为 30，再向条幅方向前进 10 米后，又在点 B 处测得条幅顶端 D 的仰角为 45，已知测点
18、A、B 和 C 离地面高度都为 1.44 米，求条幅顶端 D 点距离地面的高度（计算结果精确到 0.1 米，参考数据： 1.414， 1.732 ）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】应用题【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形 RtBCD、Rt ACD，应利用其公共边 DC 构造方程关系式，进而可解即可求出答案【解答】解：在 RtBCD 中，tan45= =1，CD=BC在 RtACD 中， tan30= ， 3CD= CD+10 CD= +513.66 （米）条幅顶端 D 点距离地面的高度为 13.66+1.44=15.1（米）【点评】本题要求学生
19、借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形12阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案（1）所需的测量工具是： 皮尺，标杆 ；（2）请在图中画出测量示意图；（3）设树高 AB 的长度为 x，请用所测数据（用小写字母表示）求出 x【考点】相似三角形的应用【专题】方案型；开放型【分析】树比较高不易直接到达，因而可以利用三角形相似解决，利用树在阳光下出现的影子来解决【解答】解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；
20、（3）如图，测得标杆 DE=a，树和标杆的影长分别为 AC=b，EF=c，DEFBAC， ， ， 【点评】本题运用相似三角形的知识测量高度及考查学生的实践操作能力，应用所学知识解决问题的能力本题答案有多种，测量方案也有多种，如（1）皮尺、标杆、平面镜；（2）皮尺、三角尺、标杆13我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从 C 处压折，塔尖恰好落在坡面上的点 B 处，在 B 处测得点 C 的仰角为 38，塔基 A 的俯角为 21，又测得斜坡上点 A 到点 B 的坡面距离 AB 为 15 米，求折断前发射塔的高（精确到 0.1 米）【考点】解直角三角形的应用仰角
21、俯角问题【专题】应用题【分析】首先分析图形，据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案【解答】解：作 BDAC 于 D在 RtADB 中，sinABD= AD=ABsinABD=15sin215.38 米（3 分）cosABD= BD=ABcosABD=15 cos2114.00 米（5 分）在 RtBDC 中，tanCBD= CD=BDtan CBD14.00tan3810.94 米（8 分）cosCBD= BC= 17.77 米（10 分）AD+CD +BC5.38+10.94+17.77=34.09 34.1 米（ 11 分）答：折断前发射
22、塔的高约为 34.1 米（12 分）注意：按以下方法进行近似计算视为正确，请相应评分若到最后再进行近似计算结果为：AD+CD+BC=34.1；若解题过程中所有三角函数值均先精确到 0.01，则近似计算的结果为：AD+CD+BC 5.40+10.88+17.66=33.9433.9【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形14如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=5 ，CB=12 ，AD 是ABC 的角平分线，过A、C、D 三点的圆 O 与斜边 AB 交于点 E，连接 DE（1）求证：AC=AE；（2）求 AD 的长【考点】圆周角定理；全等三角形的
23、判定与性质；勾股定理【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由圆 O 的圆周角 ACB=90，根据 90的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD 为圆 O 的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形 ADE 为直角三角形，又AD 是ABC 的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆 O 的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得 CD=ED，利用 HL 可证明直角三角形 ACD 与AED 全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由三角形 ABC 为直角三角形，根据 AC 及 CB 的长，利用勾股定理求出 AB 的长，由第一问的结论 AE=AC，用 ABAE 可求出 EB 的长，
24、再由（ 1）AED=90，得到 DE 与AB 垂直，可得三角形 BDE 为直角三角形，设 DE=CD=x，用 CBCD 表示出 BD=12x，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即为 CD 的长，在直角三角形 ACD 中，由 AC 及 CD 的长，利用勾股定理即可求出 AD 的长【解答】解：（1）ACB=90，且ACB 为圆 O 的圆周角（已知），AD 为圆 O 的直径（90的圆周角所对的弦为圆的直径），AED=90 （直径所对的圆周角为直角），又 AD 是ABC 的BAC 的平分线（已知），CAD=EAD（角平分线定义），CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对
25、的弦相等），在 RtACD 和 RtAED 中，RtACD RtAED（HL），AC=AE（全等三角形的对应边相等）；（2）ABC 为直角三角形，且 AC=5，CB=12 ，根据勾股定理得：AB= =13，由（1）得到AED=90 ，则有BED=90 ，设 CD=DE=x，则 DB=BCCD=12x，EB=AB AE=ABAC=135=8，在 RtBED 中，根据勾股定理得：BD 2=BE2+ED2，即（12x） 2=x2+82，解得：x= ，CD= ，又 AC=5，ACD 为直角三角形，根据勾股定理得：AD= = 【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化
26、的思想，本题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键15如图，矩形 ABCD 的长，宽分别为 和 1，且 OB=1，点 E（ ，2），连接AE， ED（1）求经过 A，E，D 三点的抛物线的表达式；（2）若以原点为位似中心，将五边形 AEDCB 放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的 3 倍，请在下图网格中画出放大后的五边形 AEDCB；（3）经过 A，E ，D三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由【考点】作图位似变换；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质【
27、专题】压轴题；网格型【分析】（1）A，E，D 三点坐标已知，可用一般式来求解；（2）延长 OA 到 A，使 OA=3OA，同理可得到其余各点；（3）根据二次项系数是否相同即可判断两个函数是否由平移得到【解答】解：（1）设经过 A，E ，D 三点的抛物线的表达式为 y=ax2+bx+cA（1， ），E（ ，2），D（2， ）（1 分） ，解之，得过 A，E ，D 三点的抛物线的表达式为 y=2x2+6x （4 分）（2）如图（7 分）（3）不能，理由如下：（8 分）设经过 A，E，D三点的抛物线的表达式为 y=ax2+bx+cA（3， ）， E（ ，6 ），D （6， ） ，解之，得a=2， ，
28、a a经过 A，E，D三点的抛物线不能由（1）中的抛物线平移得到（8 分）【点评】一般用待定系数法来求函数解析式；位似变化的方法应熟练掌握；抛物线平移不改变 a 的值16某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处如图，甲，乙两村坐落在夹角为 30的两条公路的 AB 段和 CD 段（村子和公路的宽均不计），点 M 表示这所中学点 B 在点 M 的北偏西 30的 3km 处，点 A 在点 M 的正西方向，点 D 在点 M 的南偏西 60的 km 处为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短
29、，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点 M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段 CD 某处），甲村要求管道铺设到 A 处，请你在图中，画出铺设到点 A 和点 M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段 AB 某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？【考点】作图应用与设计作图【专题】压轴题；方案型【分析】（1）由题意可得，供水站建在点 M 处，根据垂线段最短、两点之间线段最短，可知铺设到甲村某处和乙村某处的管道
30、长度之和的最小值为 MB+MD，求值即可；（2）作点 M 关于射线 OE 的对称点 M，则 MM=2ME，连接 AM交 OE 于点 P，且证明P 点与 D 点重合，即 AM过 D 点求出 AM的值即是铺设到点 A 和点 M 处的管道长度之和最小的值；（3）作点 M 关于射线 OF 的对称点 M，作 MNOE 于 N 点，交 OF 于点 G，交 AM 于点 H，连接 GM，则 GM=GM，可证得 N，D 两点重合，即 MN 过 D 点求GM+GD=MD 的值就是最小值【解答】解：方案一：由题意可得：A 在 M 的正西方向，AMOE， BAM= BOE=30，又BMA=60MB OB，点 M 到甲
31、村的最短距离为 MB，（1 分）点 M 到乙村的最短距离为 MD，将供水站建在点 M 处时，管道沿 MD，MB 线路铺设的长度之和最小，即最小值为 MB+MD=3+ （km）；（3 分）方案二：如图，作点 M 关于射线 OE 的对称点 M，则 MM=2ME，连接 AM交 OE 于点 P，PE AM，PE= AM，AM=2BM=6 ，PE=3，（4 分）在 RtDME 中，DE=DMsin60= =3，ME= DM= ，PE=DE，P 点与 D 点重合，即 AM过 D 点，（6 分）在线段 CD 上任取一点 P，连接 PA，PM，PM ，则 PM=PM，AP+PMAM ，把供水站建在乙村的 D
32、点处，管道沿 DA，DM 线路铺设的长度之和最小，即最小值为 AD+DM=AM= ；（7 分）方案三：作点 M 关于射线 OF 的对称点 M，作 MNOE 于 N 点，交 OF 于点 G，交AM 于点 H，连接 GM，则 GM=GM，MN 为点 M到 OE 的最短距离，即 MN=GM+GN在 RtMHM 中，MMN=30，MM=6，MH=3，NE=MH=3，DE=3 ，N，D 两点重合，即 MN 过 D 点，在 RtMDM 中，DM= ，MD= （10 分）在线段 AB 上任取一点 G，过 G作 GNOE 于 N点，连接 GM，GM，显然 GM+GN=GM+GNMD，把供水站建在甲村的 G 处
33、，管道沿 GM，GD线路铺设的长度之和最小，即最小值为 GM+GD=MD= ，（11 分）综上，3+ ，供水站建在 M 处，所需铺设的管道长度最短（12 分）【点评】此题主要考查线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度17如图，在 RtABC 中，C=90 ，AB=50，AC=30，D，E，F 分别是 AC，AB ，BC 的中点点 P 从点 D 出发沿折线 DEEFFCCD 以每秒 7 个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿 BA 方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 作射线 QKAB ，交折线 BCCA 于点 G点 P，Q 同时出发，当点 P 绕行一周回到点 D 时停
34、止运动，点 Q 也随之停止设点 P，Q 运动的时间是 t 秒（t0）（1）D，F 两点间的距离是 25 ；（2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由；（3）当点 P 运动到折线 EFFC 上，且点 P 又恰好落在射线 QK 上时，求 t 的值；（4）连接 PG，当 PGAB 时，请直接写出 t 的值【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质【专题】压轴题【分析】（1）由中位线定理即可求出 DF 的长；（2）连接 DF，过点 F 作 FHAB 于点 H，由四边形 CDEF 为矩形，QK 把矩形 CDEF 分为面积
35、相等的两部分，根据HBFCBA ，对应边的比相等，就可以求得 t 的值；（3）当点 P 在 EF 上（ 2 t5 时根据PQEBCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出 t 的值；当点 P 在 FC 上（5t7 ）时，PB=PF+BF 就可以得到；（4）当 PG AB 时四边形 PHQG 是矩形，由此可以直接写出 t【解答】解：（1）Rt ABC 中，C=90 ，AB=50，D，F 是 AC，BC 的中点，DF 为ABC 的中位线，DF= AB=25故答案为：25（2）能如图 1，连接 DF，过点 F 作 FHAB 于点 H，D，F 是 AC，BC 的中点，DEBC，EFAC，四边形 C
36、DEF 为矩形，QK 过 DF 的中点 O 时，即过矩形 CDEF 的中点， QK 把矩形 CDEF 分为面积相等的两部分此时 QH=OF=12.5由 BF=20，HBFCBA，得 HB=16故 t= = （3）当点 P 在 EF 上（ 2 t5）时，如图 2，QB=4t，DE+EP=7t ，由PQE BCA，得 t=4 ；当点 P 在 FC 上（5t7 ）时，如图 3，已知 QB=4t，从而 PB= = =5t，由 PF=7t35， BF=20，得 5t=7t35+20解得 t=7 ；（4）如图 4，t=1 ；如图 5，t=7 （注：判断 PGAB 可分为以下几种情形：当 0t2 时，点 P
37、 下行，点 G 上行，可知其中存在 PGAB 的时刻，如图 4；此后，点 G 继续上行到点 F 时，t=4，而点 P 却在下行到点 E 再沿 EF 上行，发现点 P 在 EF 上运动时不存在 PGAB ；5t 7 当时，点 P，G 均在 FC 上，也不存在PGAB；由于点 P 比点 G 先到达点 C 并继续沿 CD 下行，所以在 7 t8 中存在PGAB 的时刻，如图 5 当 8t10 时，点 P，G 均在 CD 上，不存在 PGAB）【点评】本题主要运用了相似三角形性质，对应边的比相等，正确找出题目中的相似三角形是解题的关键18如图，E 是ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接 EC，交 AD 于点 F在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质【专题】压轴题；开放型【分析】根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：AEF BEC；AEF DCF；BECDCF 【解答】解：相似三角形有AEFBEC；AEFDCF；BECDCF （3 分）如：AEFBEC在ABCD 中，ADBC ，1=B，2=3（ 6 分）AEFBEC（7 分）【点评】考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理
