1、2017 年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1如果 2x=3y，那么下列各式中正确的是（ ）A = B =3 C = D =2如果一斜坡的坡比是 1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）A B C D3如果将某一抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移 2 各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x1） 2，那么原抛物线的表达式是（ ）Ay=2（x3） 22 By=2（x3） 2+2 Cy=2（x+1） 22 Dy=2（x+1） 2+24在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，
2、联结 DE，那么下列条件中不能判断ADE 和ABC 相似的是（ ）ADEBC BAED=B CAE：AD=AB：AC DAE：DE=AC：BC5一飞机从距离地面 3000 米的高空测得一地面监测点的俯角是 60，那么此时飞机与监测点的距离是（ ）A6000 米 B1000 米 C2000 米 D3000 米6已知二次函数 y=2x 2+4x3，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx0 Cx1 Dx2二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7已知线段 a=9，c=4，如果线段 b 是 a、c 的比例中项，那么 b= 8点 C 是线段 AB
3、 延长线的点，已知 = ， = ，那么 = 9如图，ABCDEF，如果 AC=2，AE=5.5，DF=3，那么 BD= 10如果两个相似三角形的对应中线比是 ：2，那么它们的周长比是 11如果点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APBP），那么请你写出一个关于线段 AP、BP、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是： 12在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，如果 CD=4，BD=3，那么A 的正弦值是 13正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 CD 的延长线上，连接 BE 交边 AD 于 F，如果 DE=1，那么AF= 14已知抛物线 y=ax24ax 与 x 轴交
4、于点 A、B，顶点 C 的纵坐标是2，那么 a= 15如图，矩形 ABCD 的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是 1，如果 AB：BC=3：4，那么 AB 的长是 16在梯形 ABCD 中，ADBC，AC、BD 相交于 O，如果BOC、ACD 的面积分别是 9 和 4，那么梯形 ABCD 的面积是 17在 RtABC 中，ABC=90，AC=5，BC=3，CD 是ACB 的平分线，将ABC 沿直线 CD 翻折，点 A 落在点 E 处，那么 AE 的长是 18如图，在ABCD 中，AB：BC=2：3，点 E、F 分别在边 CD、BC 上，点 E 是边 CD 的中点
5、，CF=2BF，A=120，过点 A 分别作 APBE、AQDF，垂足分别为 P、Q，那么 的值为 三、解答题：（本大题共 7 题，第 19-22 题每题 10 分，第 23、24 题每题 12 分，第 25 题 14 分，满分 78 分）19计算：2sin60|cot30cot45|+ 20将抛物线 y=x24x+4 沿 y 轴向下平移 9 个单位，所得新抛物线与 x 轴正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，顶点为 D求：（1）点 B、C、D 坐标；（2）BCD 的面积21如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，AB=4，AD=3，ABAC，AC 平分DCB，过点 DEAB，分别交 AC、
6、BC 于 F、E，设 = ， = 求：（1）向量 （用向量 、 表示）；（2）tanB 的值22如图，一艘海轮位于小岛 C 的南偏东 60方向，距离小岛 120 海里的 A 处，该海轮从 A 处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛 C 北偏东 45方向的 B 处（1）求该海轮从 A 处到 B 处的航行过程中与小岛 C 之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时 20 海里的速度从 B 处沿 BC 方向行驶，求它从 B 处到达小岛 C 的航行时间（结果精确到 0.1 小时）（参考数据： =1.41， =1.73）23如图，已知ABC 中，点 D 在边 BC 上，DAB=B，点 E
7、在边 AC 上，满足 AECD=ADCE（1）求证：DEAB；（2）如果点 F 是 DE 延长线上一点，且 BD 是 DF 和 AB 的比例中项，联结 AF求证：DF=AF24如图，已知抛物线 y=x 2+bx+3 与 x 轴相交于点 A 和点 B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC，点 D 是抛物线的顶点，直线 AC 和 BD 交于点 E（1）求点 D 的坐标；（2）联结 CD、BC，求DBC 余切值；（3）设点 M 在线段 CA 延长线，如果EBM 和ABC 相似，求点 M 的坐标25如图，已知ABC 中，AB=AC=3，BC=2，点 D 是边 AB 上的动点
8、，过点 D 作 DEBC，交边 AC 于点 E，点 Q 是线段 DE 上的点，且 QE=2DQ，连接 BQ 并延长，交边 AC 于点 P设 BD=x，AP=y（1）求 y 关于 x 的函数解析式及定义域；（2）当PQE 是等腰三角形时，求 BD 的长；（3）连接 CQ，当CQB 和CBD 互补时，求 x 的值2017 年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1如果 2x=3y，那么下列各式中正确的是（ ）A = B =3 C = D =【考点】比例的性质【专题】推理填空题【分
9、析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可【解答】解：2x=3y， = ，选项 A 不正确；2x=3y， = ， = =3，选项 B 正确；2x=3y， = ， = = ，选项 C 不正确；2x=3y， = ， = = ，选项 D 不正确故选：B【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握2如果一斜坡的坡比是 1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）A B C D【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为 5x，水平直角边为 12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值【解答】解：如图所示：由题意，得：tan=i= =
10、 ，设竖直直角边为 5x，水平直角边为 12x，则斜边= =13x，则 cos= = 故选 D【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键3如果将某一抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移 2 各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x1） 2，那么原抛物线的表达式是（ ）Ay=2（x3） 22 By=2（x3） 2+2 Cy=2（x+1） 22 Dy=2（x+1） 2+2【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案【解答】解：一条抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位后所得抛
11、物线的表达式为y=2（x1） 2，抛物线的表达式为 y=2（x1） 2，左移 2 个单位，下移 2 个单位得原函数解析式 y=2（x+1） 22，故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律4在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，联结 DE，那么下列条件中不能判断ADE 和ABC 相似的是（ ）ADEBC BAED=B CAE：AD=AB：AC DAE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的判定【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可【解答】解：如图，A、DEBC，ADEABC，故本选项错误；B、AED=B，A=A，AD
12、EACB，故本选项错误；C、AE：AD=AB：AC，A=A，ADEACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC 不能使ADE 和ABC 相似，故本选项正确故选 D【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理5一飞机从距离地面 3000 米的高空测得一地面监测点的俯角是 60，那么此时飞机与监测点的距离是（ ）A6000 米 B1000 米 C2000 米 D3000 米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解【解答】解：如图所示：由题意得，CAB=60，BC=3000 米，在 RtABC 中
13、，sinA= ，AC= = =2000 米故选 C【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形6已知二次函数 y=2x 2+4x3，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx0 Cx1 Dx2【考点】二次函数的性质【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于 x 的不等式，可求得答案【解答】解：y=2x 2+4x3=2（x1） 21，抛物线开口向下，对称轴为 x=1，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故选 A【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的
14、关键，即在 y=a（xh）2+k 中，对称轴为 x=h，顶点坐标为（h，k）二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7已知线段 a=9，c=4，如果线段 b 是 a、c 的比例中项，那么 b= 6 【考点】比例线段【分析】根据比例中项的定义，若 b 是 a，c 的比例中项，即 b2=ac即可求解【解答】解：若 b 是 a、c 的比例中项，即 b2=ac则 b= = =6故答案为：6【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负8点 C 是线段 AB 延长线的点，已知 = ， = ，那么 = 【考点】*平面向量【分析】根据向量 、 的方向相反进行解答【解答】
15、解：如图，向量 、 的方向相反，且 = ， = ，所以 = + = 故答案是： 【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向9如图，ABCDEF，如果 AC=2，AE=5.5，DF=3，那么 BD= 【考点】平行线分线段成比例【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论【解答】解：AC=2，AE=5.5，CE=3.5，ABCDEF， ，BD= ，故答案为： 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式10如果两个相似三角形的对应中线比是 ：2，那么它们的周长比是 ：2 【考点】相似三角形的性质【分析】直接根据相似三角形
16、的性质即可得出结论【解答】解：两个相似三角形的对应中线比是 ：2，它们的周长比为 ：2故答案为： ：2【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键11如果点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APBP），那么请你写出一个关于线段 AP、BP、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是： AP 2=BPAB 【考点】黄金分割【分析】根据黄金分割的概念解答即可【解答】解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP 2=BPAB，故答案为：AP 2=BPAB【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段 AB 分成两条
17、线段 AC 和 BC（ACBC），且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割12在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，如果 CD=4，BD=3，那么A 的正弦值是 【考点】锐角三角函数的定义【分析】求出A=BCD，根据锐角三角函数的定义求出 tanBCD 即可【解答】解：CDAB，CDB=90，ACB=90，A+B=90，BCD+B=90，A=BCD，tanA=tanBCD= = ，故答案为： 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在RtACB 中，ACB=90，则 sinA= ，cosA= ，tanA
18、= 13正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 CD 的延长线上，连接 BE 交边 AD 于 F，如果 DE=1，那么AF= 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】由四边形 ABCD 为正方形即可得出A=ADC=90、ABCD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出EDF=A、ABF=DEF，从而得出ABFDEF，再根据相似三角形的性质即可得出= =3，结合 AF+DF=AD=3 即可求出 AF 的长度，此题得解【解答】解：依照题意画出图形，如图所示四边形 ABCD 为正方形，A=ADC=90，ABCD，EDF=180ADC=90=A，ABF=DEF，ABFDEF， = =3，
19、AF+DF=AD=3，AF= AD= 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出ABFDEF 是解题的关键14已知抛物线 y=ax24ax 与 x 轴交于点 A、B，顶点 C 的纵坐标是2，那么 a= 【考点】抛物线与 x 轴的交点【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点 C 的纵坐标是2，即可列方程求得 a 的值【解答】解：y=ax 24ax=a（x 24x+4）4a=a（x2） 24a，则顶点坐标是（2，4a），则4a=2，解得 a= 故答案是： 【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键1
20、5如图，矩形 ABCD 的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是 1，如果 AB：BC=3：4，那么 AB 的长是 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；矩形的性质【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明ABEBCF，列比例式求 BE 的长，利用勾股定理可以求 AB 的长【解答】解：过 A 作 AEBM 于 E，过 C 作 CFBM 于 F，则 CF=1，AE=2，AEB=BFC=90，ABE+BAE=90，四边形 ABCD 是矩形，ABC=90，ABE+CBE=90，BAE=CBE，ABEBCF， ， ，BE= ，在 RtABE 中，AB= = ，故答案
21、为： 【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键16在梯形 ABCD 中，ADBC，AC、BD 相交于 O，如果BOC、ACD 的面积分别是 9 和 4，那么梯形 ABCD 的面积是 16 【考点】相似三角形的判定与性质；梯形【分析】如图，设AOD 的面积为 x，则ODC 的面积为 4x由 ADBC，推出AODCOB，可得 =（ ） 2，因为 = ，得到 =（ ） 2，解方程即可【解答】解：如图，设AOD 的面积为 x，则ODC 的面积为 4xADBC，AODCOB， =（ ） 2， = ， =（ ） 2
22、，解得 x=1 或 16（舍弃），S ABD =SADC =1，S AOB =SDOC =3，梯形 ABCD 的面积=1+3+3+9=16，故答案为 16【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型17在 RtABC 中，ABC=90，AC=5，BC=3，CD 是ACB 的平分线，将ABC 沿直线 CD 翻折，点 A 落在点 E 处，那么 AE 的长是 2 【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理【分析】由勾股定理求 AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点 A 的对应点 E 在直线 CB 上，BE
23、=2，利用勾股定理可求 AE 的长【解答】解：CD 是ACB 的平分线，将ABC 沿直线 CD 翻折，点 A 的对应点 E 在直线 CB 上，ABC=90，AC=5，BC=3，AB=4，由旋转得：EC=AC=5，BE=53=2，在 RtABE 中，由勾股定理得：AE= = =2 ，故答案为：2 【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边18如图，在ABCD 中，AB：BC=2：3，点 E、F 分别在边 CD、BC 上，点 E 是边 CD 的中点，CF=2BF，A=120，过点
24、 A 分别作 APBE、AQDF，垂足分别为 P、Q，那么 的值为 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】如图，连接 AE、AF，过点 A 分别作 APBE、AQDF，垂足分别为 P、Q，作 DHBC 于H，EGBC 于 G，设 AB=2aBC=3a根据 APBE= DFAQ，利用勾股定理求出 BE、DF 即可解决问题【解答】解：如图，连接 AE、AF，过点 A 分别作 APBE、AQDF，垂足分别为 P、Q，作 DHBC于 H，EGBC 于 G，设 AB=2aBC=3a四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，BAD=BCD=120，S ABE =SADF = S
25、 平行四边形 ABCD，在 RtCDH 中，H=90，CD=AB=2a，DCH=60，CH=a，DH= a，在 RtDFH 中，DF= = =2 a，在 RtECG 中，CE=a，CG= a，GE= a，在 RtBEG 中，BE= = = a， APBE= DFAQ， = = ，故答案为 【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型三、解答题：（本大题共 7 题，第 19-22 题每题 10 分，第 23、24 题每题 12 分，第 25 题 14 分，满分 78 分）19计算：2s
26、in60|cot30cot45|+ 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可【解答】解：原式=2 | 1|+ ，= +1+ ，=2 3【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键20将抛物线 y=x24x+4 沿 y 轴向下平移 9 个单位，所得新抛物线与 x 轴正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，顶点为 D求：（1）点 B、C、D 坐标；（2）BCD 的面积【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象与几何变换【分析】（1）首先求得抛物线 y=x24x+4 沿 y 轴
27、向下平移 9 个单位后解析式，利用配方法求得 D的坐标，令 y=0 求得 C 的横坐标，令 y=0，解方程求得 B 的横坐标；（2）过 D 作 DAy 轴于点 A，然后根据 SBCD =S 梯形 AOBDS BOC S ADC 求解【解答】解：（1）抛物线 y=x24x+4 沿 y 轴向下平移 9 个单位后解析式是 y=x24x+49，即y=x24x5y=x24x5=（x2）29，则 D 的坐标是（2，9）在 y=x24x5 中令 x=0，则 y=5，则 C 的坐标是（0，5），令 y=0，则 x24x5=0，解得 x=1 或 5，则 B 的坐标是（5，0）；（2）过 D 作 DAy 轴于点
28、A则 SBCD =S 梯形 AOBDS BOC S ADC = （2+5）9 24 55=15【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与 x 轴、y 轴的交点的求法，正确求得抛物线 y=x24x+4 沿 y 轴向下平移 9 个单位后解析式是关键21如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，AB=4，AD=3，ABAC，AC 平分DCB，过点 DEAB，分别交 AC、BC 于 F、E，设 = ， = 求：（1）向量 （用向量 、 表示）；（2）tanB 的值【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形【分析】（1）首先证明四边形 ABED 是平行四边形，推出 DE=AB，推出 = = ，
29、 = = ， = + （2）由DFCBAC，推出 = = ，求出 BC，在 RtBAC 中，BAC=90，根据 AC= =2 ，由 tanB= ，即可解决问题【解答】解：ADBC，DAC=ACB，AC 平分DCB，DCA=ACB，DAC=DCA，AD=DC，DEAB，ABAC，DEAC，AF=CF，BE=CE，ADBC，DEAB，四边形 ABED 是平行四边形，DE=AB， = = ， = = ， = + （2）DCF=ACB，DFC=BAC=90，DFCBAC， = = ，CD=AD=3，BC=6，在 RtBAC 中，BAC=90，AC= = =2 ，tanB= = = 【点评】本题考查平面
30、向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题22如图，一艘海轮位于小岛 C 的南偏东 60方向，距离小岛 120 海里的 A 处，该海轮从 A 处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛 C 北偏东 45方向的 B 处（1）求该海轮从 A 处到 B 处的航行过程中与小岛 C 之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时 20 海里的速度从 B 处沿 BC 方向行驶，求它从 B 处到达小岛 C 的航行时间（结果精确到 0.1 小时）（参考数据： =1.41， =1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）首先
31、过点 C 作 CDAB 于 D，构建直角ACD，通过解该直角三角形得到 CD 的长度即可；（2）通过解直角BCD 来求 BC 的长度【解答】解：（1）如图，过点 C 作 CDAB 于 D，由题意，得ACD=30在直角ACD 中，ADC=90，cosACD= ，CD=ACcos30=120 =60 （海里）；（2）在直角BCD 中，BDC=90，DCA=45，cosBCD= ，BC= = =60 602.44=146.4（海里），146.420=7.327.3（小时）答：（1）求该海轮从 A 处到 B 处的航行过程中与小岛 C 之间的最短距离是 60 海里；（2）如果该海轮以每小时 20 海里的
32、速度从 B 处沿 BC 方向行驶，求它从 B 处到达小岛 C 的航行时间约为 7.3 小时【点评】此题考查了方向角问题此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用23如图，已知ABC 中，点 D 在边 BC 上，DAB=B，点 E 在边 AC 上，满足 AECD=ADCE（1）求证：DEAB；（2）如果点 F 是 DE 延长线上一点，且 BD 是 DF 和 AB 的比例中项，联结 AF求证：DF=AF【考点】相似三角形的判定与性质【分析】（1）根据已知条件得到 ，根据等腰三角形的判定定理得到 AD=BD，等量代换即可得到结论；（2）由 BD
33、是 DF 和 AB 的比例中项，得到 BD2=DFAB，等量代换得到 AD2=DFAB，推出 = ，根据相似三角形的性质得到 = =1，于是得到结论【解答】证明：（1）AECD=ADCE， ，DAB=B，AD=BD， ，DEAB；（2）BD 是 DF 和 AB 的比例中项，BD 2=DFAB，AD=BD，AD 2=DFAB， = ，DEAB，ADF=BAD，ADFDBA， = =1，DF=AF【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键24如图，已知抛物线 y=x 2+bx+3 与 x 轴相交于点 A 和点 B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于
34、点 C，且 OB=OC，点 D 是抛物线的顶点，直线 AC 和 BD 交于点 E（1）求点 D 的坐标；（2）联结 CD、BC，求DBC 余切值；（3）设点 M 在线段 CA 延长线，如果EBM 和ABC 相似，求点 M 的坐标【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据题意求出点 C 的坐标、点 B 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；（2）根据等腰直角三角形的性质得到DCB=90，根据余切的定义计算即可；（3）运用待定系数法求出直线 CA 的解析式，设点 M 的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到ACB=BME，根据等腰三角形的性质得到 BM=
35、BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可【解答】解：（1）已知抛物线 y=x 2+bx+3 与 y 轴交于点 C，点 C 的坐标为：（0，3），OB=OC，点 B 的坐标为：（3，0），9+3b+3=0，解得，b=2，抛物线的解析式为：y=x 2+2x+3，y=x 2+2x+3=（x1） 2+4，顶点 D 的坐标为（1，4）；（2）如图 1，作 DHy 轴于 H，则 CH=DH=1，HCD=HDC=45，OB=OC，OCB=OBC=45，DCB=90，cotDBC= = =3；（3）x 2+2x+3=0，解得，x 1=1，x 2=3，点 A 的坐标为：（1，0）， = ，又 = ， = ，RtA
36、OCRtDCB，ACO=DBC，ACB=ACO+45=DBC+E，E=45，EBM 和ABC 相似，E=ABC=45，ACB=BME，BM=BC，设直线 CA 的解析式为：y=kx+b，则 ，解得， ，则直线 CA 的解析式为：y=3x+3，设点 M 的坐标为（x，3x+3），则（x3） 2+（3x+3） 2=18，解得，x 1=0（舍去），x 2= ，x2= 时，y= ，点 M 的坐标为（ ， ）【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键25如图，已知ABC 中，AB=AC=3，BC=2，点 D 是边 AB
37、 上的动点，过点 D 作 DEBC，交边 AC 于点 E，点 Q 是线段 DE 上的点，且 QE=2DQ，连接 BQ 并延长，交边 AC 于点 P设 BD=x，AP=y（1）求 y 关于 x 的函数解析式及定义域；（2）当PQE 是等腰三角形时，求 BD 的长；（3）连接 CQ，当CQB 和CBD 互补时，求 x 的值【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质【专题】压轴题【分析】（1）过点 D 作 DFAC，交 BP 于 F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3xy，DF= ，进而根据 DFAC，求得 y= ，定义域为：0x3；（2）
38、当PEQ 为等腰三角形时，PBC 也为等腰三角形，分三种情况讨论：当 PB=BC 时，当PC=BC=2 时，当 PC=PB 时，分别求得 BD 的长即可；（3）先根据已知条件判定四边形 BCED 是等腰梯形，判定BDQQEC，得出 = ，即2DQ2=x2，再根据 DEBC，得出 = ，即 = ，求得 x 的值即可【解答】解：（1）如图所示，过点 D 作 DFAC，交 BP 于 F，则根据 QE=2DQ，可得= = ，又DEBC， = =1，EC=BD=x，PE=3xy，DF= ，DFAC， = ，即 = ，y= ，定义域为：0x3；（2）DEBC，PEQPBC，当PEQ 为等腰三角形时，PBC
39、 也为等腰三角形，当 PB=BC 时，ABCBPC，BC 2=CPAC，即 4=3（3y），解得 y= ， = ，解得 x= =BD；当 PC=BC=2 时，AP=y=1， =1，解得 x= =BD；当 PC=PB 时，点 P 与点 A 重合，不合题意；（3）DEBC，BDQ+CBD=180，又CQB 和CBD 互补，CQB+CBD=180，CQB=BDQ，BD=CE，四边形 BCED 是等腰梯形，BDE=CED，CQB=CED，又DQB+CQB=ECQ+CED，DQB=ECQ，BDQQEC， = ，即 2DQ2=x2，DQ= ，DE= ，DEBC， = ，即 = ，解得 x= 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用
