1、第四章 特瓦尔特定理及应用【基础知识】斯特瓦尔特定理 设 为 的 边上任一点（ ， ） ，则有PABC PBC222ABPCP或 2证明 如图 4-1，不失一般性，不妨设 ，则由余弦定理，有90AC 图41P CBA，22cosACPAPC(180)BBAPC2cos对上述两式分别乘以 ， 后相加整理，得式或式P斯特瓦尔特定理的逆定理 设 ， ， 依次分别为从 点引出的三条射线 ， ， 上的点，BAABPC若，22ABPCAC或 ，2 2PCBB则 ， ， 三点共线证明 令 ， ，对 和 分别应用余弦定理，有1PA 2C A P， 221cosBB222cosCA将上述两式分别乘以 ， 后相加
2、，再与已知条件式相比较得P，由此推出 ，即证12cs0APC1280斯特瓦尔特定理的推广 （1）设 为 的 边延长线上任一点，则AB 2222BCBA（2）设 为 的 边反向延长线上任一点，则P 222CPPA注 若用有向线段表示，则，式是一致的推论 1 设 为等腰 的底边 上任一点，则 PABC 2APBPC注 此推论也可视为以 为圆心， 为半径的圆中的圆幂定理推论 2 设 为 的 边上的中线，则 2222114推论 3 设 为 的 的内角平分线，则 APBC AAPBCP推论 4 设 为 的 的外角平分线，则 2推论 5 在 中，若 分线段 满足 ，则 B2222(1)()APBCAC注
3、若 ，则 k 222211kkPAC【典型例题与基本方法】1选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键例 1 如图 4-2，凸四边形 中， ， ， ， ，对角ABCD60 90BD 2AB1CD线 ， 交于点 求 （1996 年北京中学生竞赛题）ACBDOsin DCBAP O图42解 延长 ， 相交于 ，设 ，则 ， ，对 及 边上的点 ，应BACDBCxPx3Cx PCA用斯特瓦尔特定理，有 22PPA32xx24由 ，有 ，即 ，求得 RttADPCB PDAB312xx3BCx于是， 又在 中， ，从而 2156Rt 21083xBDAC4523523102而 ，342
4、ABCDABCDSS 故 ，即 为所求13032sin2O 156sinAOB例 2 如图 4-3，在 中， ， ，点 是外心，两条高 ， 交于 点，点 60 CBECFH， 分别在线段 ， 上，且满足 ，求 的值MNBHFMNH（2002 年全国高中联赛题） CBAEF HLSOT图43解 延长 交 于 ，由三角形垂心性质，知 为 关于 的对称点，则 BEOALLHACLCH设 的半径为 ， ， ， ，由 ，知 延RHdCxBy60B = x长 两端交 于 ， ，如图 4-3，由相交弦寇理有 ，即 ，HATSTSRdy即 2dxy在 及边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到 ，可得 BC
5、LH2sin3BCA，22 2HLBCBL即 ，3Rxyxyxy亦即 221于是，有 3xydxy亦即 ，即 2d3而当 时， ，ABCMHNBCNHBCyx故 为所求3xyOd2注意斯特瓦尔特定理的推论的应用例 3 如图 4-4，自 外一点引圆的两条切线 ， ， ， 为切点，过 点任意引圆的割线交OAPEFP于 ， ，交 于 证明： （2001 年湖南中学生夏令营试题）OABEFC21AB C BAEFP 图4证明 由相交弦定理，有 ECFAB由于 ，对等腰 及底边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理的推论 1，有 PEF PC2PCE，即有C2 2PAPBC2CPA而 ，从而 2PEAB2BC故
6、 1C注 此例结论表示线段 是线段 ， 的调和平均这个结论亦即为点 、 调和分割弦 PAPPCAB例 4 如图 4-5，设在 中， ， 平分 ，且交 于 ，在 上有一点 ，使B EA BES求证： （1979 年江苏省竞赛题）BSE22ASEC CBASE图45证明 对 及边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理，有ABC S22SCBSABAC由 平分 ，对 及边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理的推论 3，有 E F2AEBC，从而 222SBSASBACABECS因 ，有 ，即 ECES由角平分线的性质，有 ，,BABA即 ,SSCB从而，由式，有 22E例 5 凸多边形 外切于 ，两组对边所在的直
7、线分别交于点 、 ，对角线交于点 求证：ADOA EFG （中等数学奥林匹克题高中 251DGEF题）证明 如图 4-6，设 与边 、 、 、 分别切于点 、 、 、 ，则由牛顿定理知，BCDAMNRS、 、 、 四线共点于 由切线长定理，知 ACBMRNSG GSOMNRFEDCBA 图46由推论 1，有 2EGFSMR同理， N联结 、 、 ，令 的半径为 ，则MOOAr 222ErFSr，又由相交弦定理，有 GRS于是，由、有 22EDFGO由定差幂线定理，知 注 （1）牛顿定理 圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这 4 条直线共点（2）定差幂线定理 设 、 是两条线段，则 的
8、充要条件MNPQMNPQ为 22PMNQ此定理可用勾股定理及逆定理证明这个定理放到空间也是成立的运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下：由 2222PMQNPMNQ222 2PNPNQ知 0NMQ 故 22OM例 6 已知 、 分剔是 的边 、 的中点， 、 是边 、 上的高，联结 、EFABC ACMBNACEF交于点 又设 、 分别是 的外心、垂心，联结 、 求证： NPH POHPOH（2005 年国家队集训题）证明 如图 4-7，联结 、 设 、 分别为 、 的中点，则 ，AO1A12NA，即知点 在线段 的中重线上，应用推论 1，有12HMA1MN H 1O1POCBAE FHM
9、N图472211HPMPN注意到 为 中位线， 在 的中垂线上，由此知 也在 的中垂线上，应用推论 1，有EFABC OBC1OEF21O再注意到 ，知 、 、 、 四点共圆，并由直角三角形性质，有NEF MN MPFE及、 1OA11H由、得 由定差幂线定理， 22211APO1OHAP而 ，故 1 注 此例的其他证法可参见第九章例 16、第十章例 15例 7 设 是 的边 上一点，满足 ， 经过 、 两点，并分别与 、DABC CDAB ADAB交于 、 两点， 、 交于点 ，联结 、 ，取 的中点 求证： AEFDEGOGMCO证明 如图 4-8，在 的延长线上取点 ，使得 （即 、 、
10、 、 四点共圆） ，GPPFPF则由 知 、 、 、 也四点共圆于是 BAB180180BAEBD ，知 、 、 、 四点共圆，即有 F PF 2FGDG OMPGFED CB 图48联结 、 、 ，并令 半径为 ，则对 、 分别应用推论 1，有ODFEOAROE F 2 2GRFGB 2A联结 ，由三角形中线长公式，并注意、，有OM 222211()44AOAR联结 、 ，对 应用推论 1，有 BCBD 22COBDCRB又由 ，有 ，即有 2注 即为完全四边形的密克尔点，由、有 由定差幂线定理，知P 22MAOM AO3注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理证明
11、 如图 4-9，在 中，点 在 上，由斯特瓦尔特定理，有ABC PB CBAEP图49222APBCACBPC延长 交 的外接圆于 ，连 ， ，由 和 ，有 EABPCE APBE ， E又由相交弦定理，有 BPCAE于是，得 ，2APBAEC即 ，BCE亦即 即为托勒密定理BCAE由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理证明 如图 4-10，设圆内接四边形 的对角线 ， 交于 由托勒密定理，有AEBCP CB AEP 图4 10ABECBAE即 PC由 和 ，有 ， 由相交弦定理，有 P BABPCEABPE将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理BCEA因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所
12、显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题也能用斯特瓦尔特定理处理反之亦然例 8 若 的三边为连续整数，且最大角 是最小角 的两倍，求三角形的三边长ABC B A（ -10 试题）IMO解法 1 作 的平分线 （图略） ，则 ，令 ， ，则 BDDyBx， ， Ax1x1xy由斯特瓦尔特定理的推论 3，有 ，即 ，又 ，即 21xy1xADBC1x，有 1yx12x故由 ，求得 （舍去 ） ，即 ， ， 2x50x5AB4C6A解法 2 作 的外接圆 ，取 的中点 ，连 ， ， ，则 为梯形，其中ABC OCDDBC令 ，则 ， ，且 ， 对四边形CDB 1x1x1x1x应用托勒密定理，有
13、 ，求得 （下略）A225【解题思维策略分析】1获得线段倍分关系的一条途径例 9 如图 4-11，已知 的外接圆 的圆心为 ，半径为 ，内切圆的圆心为 ，半径为 ，另ABC kORIr一个圆 与边 ， 分别切于点 ， ，且与圆 内切求证：内心 是线段 的中点0kDEkIDE（ -34 预选题）IMO k 0O1IOEDCB Ak图41证明 设圆 的圆心为 ，半径为 ，于是 ， ， 三点共线，且 ，0k1O1OIC1sin2rIC，则 ，且 1sin2CO 1sin2rIC 1E于是， 1Ir连 ， ， ，对 ，及边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理，有CI1 1O1I2221111OCIIOCIO
14、注意到欧拉公式， ，及 ， ，并将其代入式，得到RrRC2211sinsinrRC ，2 1sisisisin22rrr C 化简得 1in1rC从而 ，2211siIOO即 211ICE因为 ， 且平分 ，令 的中点为 ，由射影定理，有E D DEI 211IO比较式和式，知 与 重合，即得 为 的中点II例 10 如图 4-12，两个大圆 ， 相等且相交；两个小圆 ， 不相等但相交，且交点为ABCAD， 若 ， 既同时与 内切，又同时与 外切试证：直线 平分线段 PQCADPQAB（中等数学奥林匹克问题高中 58 题） DCBAMPQ 图412证明 由于 ， 半径不相等，此两圆交点所在直线
15、 必与线段 相交，设交点为 连CADPQABM， ， ， ， ， ， ， ， ，显然 ，设垂足为 ，又设 ，MBBPCDCD NA的半径均是 ， ， 的半径分别为 ， ，则易得 ， ，AR()rR， ，Drr因为 ，或 ，垂足为 ，则PQC PD N2222MCDNMND=22()()PPRr设 ， ，对 及边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理，有AxBy CABM22CMxy xyx对 及边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理，有 DAB 22222yDxByAM ，得，22 22xBCACDxyRr 即 ，2RryRr亦即 0xy因 ， ，从而 ，即 0rxyxy故 ，即直线 平分线段 AMBPQA
16、B2求解三角形问题的一种工具斯特瓦尔特定理在求解三角形中有关线段的问题有着重要作用，这可从习题 A 中的第 6 题，习题 B中的第 7 题等可以看出在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用例 11 设 的三边为 ， ， ，其面积为 ，则 ，当且仅当 为正三ABC abcS2243abcS C角形时，等式成立 （ -3 试题）IMO证明 取 的中点 ，对 及 边上的点 ，应用斯特瓦尔特定理的推论 2，DABC D有 2222211144bca从而有 33abcaA设 的 边上的高为 ，则 ，于是ABC hAh12324DS故 ，其中等号当且仅当 且 时成立，也即 且43abcS 23DaAhA
17、DBC，此时 恰为正三角形2AABC例 12 如图 4-13，在 中， ， 分别为 和 同方向延长线上的点， 与 相交于 ， ECBEP且 当 在 边的中线上时，则 BDEPAE DCBAPQ图413证明 设 交 于 分别对 及点 和 及点 应用斯特瓦尔特定理的推广结论，APBCQ BA CQA有，222BAPACPCQ于是 222APBQCP由于 ，对 及点 应用塞瓦定理，有BDE A，即 1PC当 点在 边上的中线上时，有 BC从而 ，由此知 ，故 ECPA例 13 如图 4-14，若 是 的边 延长线上一点，则 平分 的外角的充分必要条件是D AD2ADBA DCB AF 图414证明
18、必要性：若 平分 的外角，则由推论 4 即有AD2ADBC或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来推导充分性：设直线 交 的外接圆于 ，连 、 BC EBC由割线定理有 ，并将其代入条件式 可得BDCAE 2ADBCAAE由此可知 必在 的延长线上（因 ） 0于是 BAC由 ，有 D DABE由 得 E又由 ，有 C BAC由 得， D由 得， EE对四边形 应用托勒密定理，有BCA于是 BAC即 ，从而 0ABEE因此 CD 故 平分 的外角例 14 如图 4-15，设正 的内切圆圆心为 ，半径为 ，在 内任取一点 ，设点 到 ，ABC IrIAPBC， 的距离分别为 ， ， 求证：以 ， ， 为边
19、可以构成一个三角形，且其面AB1d231d23d积为 （数学通报问题234rPI1356 题） Id3d2d1DCBAP图415证明 设正三角形 的边长为 1，则AC， 123d32IABICr连 并延长交 于 ，则由题设知APD，32BCSdD11233PBAdd 由于 ， ，对 及边 上的点 ，对 及边 上的点 ，均应用斯特瓦I BICDABC D尔特定理的推论 1，有2 2IDDA，又由 ，知 ， 32dBC3322dd23d于是 ， 321I321又对 及边 上的点 应用斯特瓦尔特定理，有 ADP22PIIA由 ，知 ， 123d231d123dD将上述各式及式代入式，并注意 ， ，
20、，有I1123234d22DPAIAIP2232313 1ddd DPA 231223 2331211ddddd 3312324433112323ddd12343即 1232IPdd于是， 21313212324ddd223134IPrI此式可写成为 12323132123dddd 23rI由于 点在 内部，则 ，从而，必有PA20rIP， ， 如若不然，比如2310d132d1230d， ，则 ，即011320dd与已知矛盾，则知 ， ， 30d231dd322可见，以 ， ， 为边可以构成三角形，且由海伦秦九韶公式及式知其面积为12324rPI【模拟实战】习题 A1在 中， ， 边有 10
21、0 个不同的点 ， ， ，记ABC 2ABC1P210（ 1，2，100） ，求 的值2iimPi 120m2在 中， 的平分线交 于 证明： （匈牙利中学生数学竞赛题） DCAB3在 中， 是 边上的点，已知 ， ， ， ，求 ABC D3AB15DC4在 中， ， ， ，设 为 边上任一点，则（ ） 22CPA B2P 2CC D 与 的大小关系不确定B A5 是 的边 上的一点，且 ， ， ，求证： 是D AC21C 45 60ADB AB的外接圆的切线6设 的三边 ， ， ， 设 ， 分别为 边上的中线 abBcpabcamhC长和高线长； ， 分别为 边所对的角的内、外角平分线长求证
22、下列各式：at（） ；221mbca（） ；atp（） ；2bcc（） 2ahpabpc7在 中， ， ，求证： 是直角三角形ABC B2A BC8证明：到三角形三顶点的距离的平方和最小的点是重心习题 B1设 ， ， 分别是共线的三点 ， ， 对于 所作切线的长求证： abc OAaBCcABCAB2锐角 的外接圆过 ， 的切线相交于 ，点 是 的中点求证： CNMCAM N（ -26 预选题）IO3 和 是 的割线，分别交 于 ， ，且 ，过 的直线交 于 ，1PT2OOA1S212PTQ（ 在 与 之间） ，交 ， 于 ， 求证 RQ12T 1QRSPT4 ， ， ， 四点在同一圆周上，且
23、 ， ，线段 和 的长都是整数，求ABCD4BCD6AEBDE的长5在正方形 中， 在 上， ， ， 点在 上，则 和 的长度之和最小E21C可达到多少？6设凸四边形的边长是 ， ， ， ，对角线长是 和 求证： ，abcdef 22min,abcdef当且仅当这个凸四边形是菱形时等号成立7设 ， ， ， 分别为 的内心，外心，重心，垂心，令 ， ， ，IOGHABC BCABc， ， 分别为外接圆和内切圆的半径求证下列各式：12pabcRr（） ；222IAIabc（） ；cORra（） 2222221 98IGbcabacabp ；543cr（） 22214IHRabcap8已知 满足 ，
24、设 是 边上一点，且 延长线段 至 ，使ABC ABC D2CDBADE证明： （ -39 预选题）DE80E IMO第四章 斯特瓦尔特定理应用习题 A1因 ，由斯特瓦特定理推论 1，有 ，则 ，即BC2i iAPBPC22iiABPCA，即 224iiimPAB21040m2由 平分 ，由斯特瓦特定理推论 3，知 ，故D2DD3由斯特瓦尔特定理，有 设 ，则 ，则22CDABBx5Bx，解得 （舍去 ） 225115xx1929x4由斯特瓦尔特定理，有 2 22()()PPCAPP， ，又 ，则4PCBPC242APBCPBC2PBC2PAB，故选（C） 2 152() ()()048 5由
25、 ，由斯特瓦尔特定理推论 5，有 1AD 2222139DA由 ， ，及 ，有 4C60BsiniDBCBC又由 ，有 2 23A于是有 ，由切割线定理即证A6设 为 的 所在直线上任一点，且 ，有斯特瓦尔特定理推论 5，有P 1BP 222(1)()abc时， 即得（） ；m当 时， ，即得（）cbaAt当 时， ，即得（） ；1P当 时， ，即得（） 22acah7作 的平分线交 于 ，则 ，对 及 边上点 应用斯特瓦尔特定理推论BACD2ABCACD3，有 ，即 ，即 ，又2D 2()D2213B，从而 ，故 为直角三角形222()93AC248设 为三条中线 ， ， 的交点， 为 所在
26、平面上任一点不妨设 在 内，GBEFPB PABC连 ， ， ， ， ，对 及点 应用斯特瓦尔特定理，有PBPGA G222AD由 ， ，则 1D32223DA在 和 中， 为 中点，应用斯特瓦尔特定理推论 2，则 ，C BC2222114PDBPC，此两式相减，并注意 ，2222114GB1G，代入式，得21()()4PDPGA显然，当 异于 时，横有2223 )ACBCP故到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心习题1设 的半径为 ，连 ， ， ，对 及 边上的点 ，应用斯特瓦尔特定理，有O rOO ACB，而 ， ， ，于是222BA2r2rb2OCrc，化简即得结论()()(
27、)racBbB2对 及 边上的点 ，应用斯特瓦尔定理推论 1，有 ，AC M2221()4MAB又cos2sN22 2coscosNANB，于是(cocos)BABC 221s4C而 ，AC cs()siniinisinCAB 则 222 221coscossinicos(cosin)4ANABBCACABABA（其中 ） ，即221()()4C M iniC， ，又 ，且 ，故csMsin80NNsiM，即证iniBA另证：设 交圆于 ，连 ， ，对四边形 应用托勒密定理，有DBCABCD，由 ， ，有 ， ，DC ACNDBA而 ，则NA注意到 ，有 ，即 ，又 ，从而2M2BM，故 AB
28、 NCB3由 及 ，有 ，从而 ，即 ，而12PT12PST12PS12TS 1PT3，则 ，对 及 边上的点 应用斯特瓦尔特定理推论SQ QR11，有 ，又在 中 ，故212O 12()()QRQ，故 ()()PPRSPT PST4对 及 边上的点 ，应用斯特瓦尔特定理或其推论 1，有ABCD E224BEDC解得 （负值舍去） 1616166EBDAE于是 ，而 ，即 ， 或 ， ，故28C3BD375由 ，对 及 边上的点 ，应用斯特瓦尔特定理的推论 5，有BC P对 及 边上点 应用推论 1，有22213PEB P，于是 ，故293D24EB23()(0)()(0)令 ，上式表示 轴上
29、动点 到两定点 ， 的距离之和，当 为PBxx,Qx,A32(,)Q线段 与 轴交点 时，即 时， 取最小值 A6(2,0)5625PBPEC16设凸四边形 的对角线交点为 令 ， ， ， ， ，CDEaBbcDAdCeBDf， ， ， 不妨设 ，则在 中，有EghEklhl（斯特瓦尔特定理） ，于是22 2min,abgh 222()()()4kghlf，当且仅当 ， ， ，2,min,4in,cdaabefabgkhl时等号成立，即 为菱形i,i ABCD7由于四个结论都与内心 有关，不妨设 平分 交 于 ，显然 在 上设 为IBDIAP所在平面内任一点，连 ， ， ， ，注意到 ， ，对
30、 及ABC PPIcbCbcBC边上点 应用斯特瓦尔特定理，有 D 222 2()bca又 ，有 ， ，而 ，对 及AIcbcDBCa2bcAIDp2aIAp224()bcpDaPAD边上点 应用斯特瓦尔特定理，有 将 表达式代入上()aPP2式，得 2222PbBcCabcIa（）当 与 重合时，由式即证（）当 为外心 时， ，由式即证OAR（）当 为中心 时， ，等等由式即证、G22241()9ambca（）当 为垂心 时， ，等等由式即证PH22cots14PARa8设 的中点为 ，则 是平行四边形，延长 至 ，使 设 ，CDBEBCGCA3aBDHC， ， ， ， 由AbBcAxDyEz2G，则 于是有 或 2GGA 2()cba在 ， ， 中分别应用斯特瓦尔特定理推论 2，得 ，CD H CE 29yx， 从前两式中消去 ，有 ，将式代229xcya229yzcay2243xc入得 再求得 ，故有 或 这()3b3b2()xza()BECBEP里 是 上一点，且满足 故 ，又 ，知 ，从而PCECPBEP 故 1(80)2B1802C
