1、回扣 4 数 列1.牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列 等比数列通项公式 ana 1(n1)d ana 1qn1 (q0)前 n 项和 Sn na 1 dna1 an2 nn 12(1)q1，S n a11 qn1 q a1 anq1 q(2)q1，S nna 12.活用定理与结论(1)等差、等比数列a n的常用性质等差数列 等比数列性质若 m，n，p，qN *，且 mnpq，则 ama na pa qa na m( nm)dS m，S 2mS m，S 3mS 2m，仍成等差数列若 m，n，p，qN *，且mnpq，则 amana paqa na mqnmS m，S 2mS m，S 3m
2、S 2m，仍成等比数列(S n0)(2)判断等差数列的常用方法定义法：an1 a nd (常数) ( nN *)a n是等差数列.通项公式法：anpnq (p，q 为常数，n N*) an是等差数列.中项公式法：2an1 a na n2 (nN *) an是等差数列.前 n 项和公式法：SnAn 2Bn (A，B 为常数，nN *)a n是等差数列.(3)判断等比数列的三种常用方法定义法： q (q 是不为 0 的常数，nN *) an是等比数列 .an 1an通项公式法：a ncq n (c，q 均是不为 0 的常数，nN *)a n是等比数列.中项公式法：a a nan2 (anan1 a
3、n2 0，nN *)a n是等比数列.2n 13.数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.(2)形如a nbn(其中a n为等差数列， bn为等比数列) 的数列，利用错位相减法求和 .(3)通项公式形如 an (其中 a，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和.can b1an b2(4)通项公式形如 an(1) nn 或 ana( 1) n(其中 a 为常数，nN *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分 n 为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成 cna nb n 形式的数列求和问题的方法，其中a n与b
4、 n是等差( 比) 数列或一些可以直接求和的数列.(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求 Sn.1.已知数列的前 n 项和求 an，易忽视 n1 的情形，直接用 SnS n1 表示.事实上，当 n1时，a 1S 1；当 n2 时，a nS nS n1 .2.易混淆几何平均数与等比中项，正数 a，b 的等比中项是 .ab3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等差数列a n与 bn的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知 ，求 时，无法正确赋值求解.SnTn n 12n 3 anbn4.易忽视等比数列中公比 q0，导致增解，易忽视等比数列的奇数
5、项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前 n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分 q1 和 q1 两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.7.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如 ，而是 .1nn 2 1n 1n 2 1nn 2 12(1n 1n 2)8.通项中含有(1) n 的数列求和时，要把结果写成分 n 为奇数和 n 为偶数两种情况的分段形式.1.已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn2a n4(nN *)，则 an 等于( )A.2n1 B.2n C.2n1 D.2n2答案 A解析 a n1 S n1 S n2a n1
6、4(2 an4)a n1 2a n，再令n1，S 12a 14a 14，数列a n是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列，a n42 n1 2 n1 ，故选 A.2.已知数列a n满足 an2 a n1 a n，且 a12，a 23，S n 为数列a n的前 n 项和，则 S2 016的值为( )A.0 B.2 C.5 D.6答案 A解析 由题意得，a3a 2a 11，a 4a 3a 2 2，a5a 4a 33，a 6a 5a 41，a 7a 6a 52，数列an是周期为 6 的周期数列，而 2 0166336 ，S 2 016336S 60，故选 A.3.已知等差数列a n的前 n 项和为
7、 Sn，若 a514a 6，则 S10 等于( )A.35 B.70 C.28 D.14答案 B解析 a 514a 6a 5a 614，S10 70.故选 B.10a1 a102 10a5 a624.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 24，S 10110，则使 取得最小值时 n 的值Sn 63an为( )A.7 B.7 或 8 C. D.8172答案 D解析 a 24，S 10110a 1 d4， 10a145d110a 1 2，d2，因此 Sn 63an ，又 nN *，所以当 n8 时， 取得最小值.2n nn 1 632n n2 632n 12 Sn 63an5.等比数列a
8、n中，a 3a564，则 a4 等于( )A.8 B.8 C.8 或8 D.16答案 C解析 由等比数列的性质知， a3a5a ，24所以 a 64，所以 a48 或 a48.246.已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1a 3 ，且 a2 a4 ，则 等于( )52 54 SnanA.4n1 B.4n1 C.2n1 D.2n1答案 D解析 设等比数列a n的公比为 q，则Error! 解得Error! 2 n1.故选 D.Snan a11 qn1 qa1qn 121 12n1 12212n 17.设函数 f(x)x aax 的导函数 f(x) 2x 2，则数列 的前 9 项和是(
9、)1fnA. B. C. D.2936 3144 3655 4366答案 C解析 由题意得函数 f(x)x aax 的导函数 f(x) 2x 2，即 axa1 a2x2，所以 a2，即 f(x)x 22x， ( )，1fn 1nn 2 121n 1n 2所以 Sn (1 ) (1 ).12 13 12 14 13 15 1n 1n 2 12 12 1n 1 1n 2则 S9 (1 ) ，故 选 C.12 12 110 111 36558.已知等差数列a n的公差 d0，且 a1，a 3，a 13 成等比数列，若 a11，S n 是数列a n前 n项的和，则 (nN *)的最小值为( )2Sn
10、16an 3A.4 B.3 C.2 2 D.392答案 A解析 据题意由 a1，a3，a13 成等比数列可得(12d) 2112d，解得 d2，故an2n1，S nn 2，因此 ( n1)2Sn 16an 3 2n2 162n 2 n2 8n 1 n 12 2n 1 9n 1 2，据基本不等式知 (n1) 2 2 24，当9n 1 2Sn 16an 3 9n 1 n 1 9n 1n2 时取得最小值 4.9.等比数列a n中，a 42，a 55，则数列lg a n的前 8 项和等于_.答案 4解析 由等比数列的性质有 a1a8a 2a7a 3a6a 4a5，所以 T8lg a 1lg a 2lg
11、 a 8lg(a 1a2a8)lg(a 4a5)4lg(10) 44.10.已知数列a n满足 an1 a n2n 且 a12，则数列a n的通项公式 an_.答案 n 2n2解析 a n1 a n2n，a n1 a n2n，采用累加法可得a n(a na n1 )( an1 a n2 )(a 2a 1)a 1，2(n1) 2( n2)22n 2n2.11.若数列a n满足 an3a n1 2(n2，nN *)，a 11，则数列 an的通项公式为an_.答案 23 n1 1解析 设 an3(a n1 )，化 简得 an3a n1 2 ，a n3a n1 2， 1，a n13(a n1 1)，a
12、 11，a 112，数列a n1是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列，a n123 n1 ，a n23 n1 1.12.数列 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，的前 n 项之和等于_.13 19 127 181 1243答案 1( )nnn 12 12 13解析 由数列各项可知通项公式为 ann ，由分 组求和公式 结合等差数列、等比数列求13n和公式可知前 n 项和为 Sn 1( )n.nn 12 12 1313.设数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，a n1 S n1(nN *，且 1) ，且a1， 2a2，a 33 为等差数列b n的前三项.(1)求数列a n，b n的通项公式；
13、(2)求数列a nbn的前 n 项和.解 (1)方法一 a n1 S n1(nN *)，a nS n1 1(n2).a n1 a na n，即 an1 ( 1) an (n2) ，10，又 a11，a 2S 111，数列a n为以 1 为首项，以 1 为公比的等比数列，a 3( 1) 2，4(1)1(1) 23，整理得 2210，得 1.a n2 n1 ，bn13(n1) 3n2.方法二 a 11，a n1 S n1( nN *)，a 2S 11 1，a 3S 21 (11)1 221.4(1)1 22 13，整理得 2210，得 1.a n1 S n1 (nN *)，a nS n1 1(n2
14、)，a n1 a na n，即 an1 2a n (n2)，又 a11， a22，数列a n为以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，a n2 n1 ，bn13(n1) 3n2. (2)设数列a nbn的前 n 项和为 Tn，anbn(3n2)2 n1 ，T n11 42 172 2(3 n2)2 n1 . 2T n12 142 272 3(3 n5)2 n1 (3n2)2 n. 得T n1132 132 232 n1 (3n2)2 n13 (3n2)2 n.21 2n 11 2整理得 Tn(3 n5)2 n5.14.已知数列a n的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Sn (nN *)
15、，anan 12(1)求证：数列a n是等差数列；(2)设 bn ，T nb 1b 2 b n，若 T n 对于任意 nN *恒成立，求实数 的取值范围.1Sn(1)证明 S n (nN *)， anan 12S n1 (n 2). an 1an 1 12得：a n (n2) ，a2n an a 2n 1 an 12整理得：(a na n1 )(ana n1 )(a na n1 )，数列a n的各项均为正数， a na n1 0，a na n1 1(n2).当 n1 时，a 11，数列a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列.(2)解 由(1)得 Sn ，n2 n2b n 2( )，2n2 n 2nn 1 1n 1n 1T n2(1 )( )( )( )2(1 ) ，12 12 13 13 14 1n 1n 1 1n 1 2nn 1T n ，T n单调递增，T nT 11， 1.21 1n故 的取值范围为 (，1.
