1、考题一 常用的数学知识1.罗列物理中常用数学方法，熟悉其内容及其变形.2.熟悉数学在物理题中应用的特点.3.理解物理公式或图象所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，防止单纯从数学的观点出发，将物理公式“纯数学化”的倾向.例 1 如图 1 所示，AB 是竖直平面内圆心为 O、半径为 R 的圆上水平方向的直径，AC 是圆上的一条弦.该圆处在某一匀强电场中，电场线与圆平面平行，将一质量为 m、电荷量为 q的带正电小球从圆周上 A 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上的不同点，若到达 C 点时小球的动能最大，已知 BAC30，重力加速度为 g，则电场强度E 的最小
2、值为( )图 1A. B.mg2q mgqC. D.3mg2q 3mgq解析 小球到达 C 点动能最大，说明 C 点是重力场和电场形成的复合场中的等效最低点，即重力和电场力的合力沿 OC 方向， 对小球受力分析，如 图所示，利用矢量三角形可知：当电场力垂直于 OC 时，电场力最小，F minmgsin 30 mg，即 Emin12，A 正确.故选 A.mg2q答案 A变式训练1.如图 2 所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中 OA 杆竖直放置，OB 杆与 OD 杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出) ，四个环分别从 O 点由静止释放，沿 OA、OB、OC、OD 滑到
3、斜面上所用的时间依次为 t1、t 2、t 3、t 4.下列关系不正确的是( )图 2A.t1t2 B.t1t 3C.t2t 4 D.t20)，而且电荷均匀分布 .两圆环的圆心 O1 和 O2 相距为 2a，连线的中点为 O，轴线上的 A 点在 O 点右侧与 O 点相距为 r(r0，问：1 2k2t图 7(1)当 k 满足什么条件时，甲、乙两车间的距离有最小值，最小值为多大？(2)当 k 为何值时，甲车运动到 O 处，与乙车的距离和 t0 时刻的距离相同？答案 (1)0k1 m (2)2 1 k212解析 (1)t 时刻两车坐标：甲车：x(1kt) m ，乙 车：y m1 2k2tt 时刻两车相
4、距s x2 y2 1 kt2 1 2k2t mk2t2 2k1 kt 2当 t s 时 ，甲、乙两车间的距离有最小值.1 kk最小值为 smin m，其中 k 满足 0k1.2 1 k2(2)当 t0 时，甲 车坐标为(1,0)，乙车坐标为(0,1)，此时两车距离 s0 m.2当甲车运动到 O 处时，kt1 m，乙车 y m m1 2k2t 2两式联立解得：k .126.一小球从 h045 m 高处自由下落，着地后又弹起，然后又下落，每与地面相碰一次，速度大小就变化为原来的 k 倍.若 k ，求小球从下落直至停止运动所用的时间.( g 取 10 m/s2，12碰撞时间忽略不计)答案 9 s解析
5、 由运动学公式将小球每碰一次后在空中运动的时间的通项公式求出，然后再累加求和.小球从 h0处落到地面时的速度：v 0 ，2gh0运动的时间为：t 0 2h0g第一次碰地后小球反弹的速度：v 1kv 0k 2gh0小球再次与地面碰撞之前做竖直上抛运动，这一过程球运 动的时间：t 1 2k2v1g 2h0g则第 n 次碰地后，小球的运动 速度的通项公式为：vnk n 2gh0运动时间：t n 2k n2vng 2h0g所以，小球从下落到停止运动 的总时间为：tt 0t 1t n 2k 2k n2h0g 2h0g 2h0g 2 (kk 2k n).2h0g 2h0g上式括号中是一个无穷等比递减数列，
6、由无 穷等比递减数列求和公式，并代入数据得 t9 s.7.一轻绳一端固定在 O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度地释放，如图 8 所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？图 8答案 当细绳与竖直方向的夹角余弦值为 cos 时，重力的瞬时功率取得最大值33解析 如图所示，当小球运动 到绳与竖直方向成 角的 C 时，重力的功率：Pmgvcos mgvsin 小球从水平位置到图中 C 位置 时，由机械能守恒有 mgLcos mv212解得：Pmg 2gLcos sin2令 ycos sin2因为 ycos sin2 122cos2sin
7、4 122cos2sin2sin2又因为 2cos2sin 2sin 2 2(sin2cos 2)2(定值).所以当且仅当 2cos2sin 2时 ，y 有最大值由 2cos21cos 2得 cos 33即：当 cos 时，功率 P 有最大值.33专题规范练1.(多选) AOC 是光滑的直角金属导轨，AO 沿竖直方向，OC 沿水平方向，ab 是一根金属直棒，靠立在导轨上(开始时 b 离 O 点很近)，如图 1 所示.它从静止开始在重力作用下运动，运动过程中 a 端始终在 AO 上， b 端始终在 OC 上，直到 ab 完全落在 OC 上，整个装置放在一匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，则 ab
8、 棒在运动过程中( )图 1A.感应电流方向始终是 baB.感应电流方向先是 ba，后变为 abC.所受磁场力方向垂直于 ab 向上D.所受磁场力方向先垂直于 ab 向下，后垂直于 ab 向上答案 BD解析 初始，ab 与直角金属导轨围 成的三角形面积趋于 0，末状 态 ab 与直角金属导轨围成的三角形面积也趋于 0，所以整个运 动过程中， 闭合回路的面 积先增大后减小.根据楞次定律的增反减同，判断电流方向先是逆 时针后是顺时针， 选项 A 错， B 对.根据左手定则判断安培力可得安培力先垂直于 ab 向下，后垂直于 ab 向上， 选项 C 错，D 对.故选 B、D.2.如图 2 所示，斜面上
9、固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为 圆的光滑柱状物体甲放14置于斜面上，半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态.现在从球心 O1 处对甲施加一平行于斜面向下的力 F，使甲沿斜面方向缓慢向下移动.设乙对挡板的压力大小为 F1，甲对斜面的压力大小为 F2，甲对乙的弹力大小为 F3.在此过程中( )图 2A.F1 逐渐增大，F 2 逐渐增大， F3 逐渐增大B.F1 逐渐减小，F 2 保持不变，F 3 逐渐减小C.F1 保持不变，F 2 逐渐增大，F 3 先增大后减小D.F1 逐渐减小，F 2 保持不变， F3 先减小后增大答案 B解析 先对物体乙受力分析，受重力
10、、挡板的支持力 F1和甲对乙的弹力 F3，如图甲所示；甲沿斜面方向向下移动， 逐渐变 小，F 1的方向不变，整个过程中乙物体保持动态平衡，故F1与 F3 的合力始终与重力等大反向，由平行四边形定则知 F3、F1均逐渐减小，根据牛 顿第三定律，乙对挡板的压力 F1 逐渐减小；再对甲与乙整体受力分析，受重力、斜面的支持力F2、挡板的支持力 F1和推力 F，如 图乙所示；根据平衡条件有，F 2( Mm) gcos ，保持不变；由牛顿第三定律知甲对斜面的压力 F2 不变， 选项 B 正确.故选 B.3.如图 3 所示，A、B 为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A、B 卫星的轨道半径分别为
11、rA和 rB，某时刻 A、B 两卫星距离达到最近，已知卫星 A 的运行周期为 T.从该时刻起到 A、B 间距离最远所经历的最短时间为( )图 3A. B.T2 rArB3 1TrArB3 1C. D.T2 rArB3 1TrArB3 1答案 C解析 设两卫星至少经过时间 t 距离最远，两 卫星相距最远时，转动相差半周，则 ，又因 为卫星环绕周期 T2 ，解得 t ，C 正确.故选 C.tTB tTA 12 r3GMT2 rArB3 14.图 4 为某制药厂自动生产流水线的一部分装置示意图，传送带与水平面的夹角为 ，O 为漏斗.要使药片从漏斗中出来后经光滑滑槽滑到传送带上，设滑槽的摆放方向与竖直
12、方向的夹角为 ，则 为多大时可使药片滑到传送带上的时间最短 ( )图 4A. B.2C. D. 2 32答案 C解析 如图所示，药片沿滑槽下滑的加速度 agcos ， 设 O 到传送带的距离为 H，则有OP at2Hcos 12 gt2cos 12t22Hcos gcos 令 Tcos()cos cos( )cos( )12 cos cos(2)12当 2 时，T max (cos 1)12可见， 时，t 有最小值.故选 C.25.在同一水平面内有两个围绕各自固定轴匀速转动的圆盘 A、B，转动方向如图 5 所示，在A 盘上距圆心 48 cm 处固定一个小球 P，在 B 盘上距圆心 16 cm
13、处固定一个小球 Q.已知P、Q 转动的线速度大小都为 4 m/s.当 P、Q 相距最近时开始计时，则每隔一定时间两球相距最远，这个时间的最小值应为( )图 5A.0.08 s B.0.12 sC.0.24 s D.0.48 s答案 B解析 两球相距最远时，在相同的 时间内， P、Q 转过的角度分 别为 P Pt(2n1)(n0,1,2,3， )，Q Qt(2 m1) (m0,1,2,3， )，由于 Q3 P，当两球第一次相距最远时，n0，解得 m1，故 t ，而 P ，解得 t0.12 s，选项 B 正确.故选 B.P vrP 40.486.如图 6 所示，一根长为 L 的轻杆 OA，O 端用
14、铰链固定，另一端固定着一个小球 A，轻杆靠在一个质量为 M、高为 h 的物块上 .若物块与地面间摩擦不计，则当物块以速度 v 向右运动至杆与水平方向夹角为 时，小球 A 的线速度大小为( )图 6A. B.vLtan h vLsin2hC. D.vLcos2h vLhtan 答案 B解析 根据运动的合成与分解可知，接触点 B 的实际运动为合运动，可将 B 点运动的速度沿垂直于杆和沿杆的方向分解成 v2 和 v1，如 图所示，其中 v2v Bsin vsin ，即为 B 点做圆周运动的线速度，v 1v Bcos ，为 B 点沿杆运动的速度.当杆与水平方向夹角为 时， OB ；A、B 两点都围绕
15、O 点做圆周运动，且在同一杆上，hsin 故角速度相同，由于 B 点的线速度为 v2vsin OB，所以 ，所以 A 的线vsin OB vsin2h速度 vAL ，故选项 B 正确.故选 B.Lvsin2h7.(多选) 如图 7 所示，直角三角形 abc 是圆 O 的内接三角形，a30，b90，c60.匀强电场电场线与圆所在平面平行，已知 a、b、c 三点电势为aU、 b 0、 cU.下面说法正确的是( )图 7A.圆上最高点的电势等于 U33B.圆上最高点的电势等于 U233C.匀强电场的电场强度等于3U3RD.匀强电场的电场强度等于23U3R答案 BD解析 ac 中点 O 的电势 O 0
16、，所以 O、b 两点是等势点，则直线 bO 是匀强电场 U U2的等势线，与直线 bO 垂直的直线就是电场线，圆周上 M 点电势最高，如图所示.过 c 点作等势线，与电场线交于 d 点， 则 d cU， 设圆的半径为 R，根据几何关系知 O、d间的距离 OdRcos 30 R，所以 电场强度 E ，D 正确.M 点的电势 MER32 U32R 23U3RU，B 正确.故选 B、D.2338.(多选) 如图 8 所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆，与水平方向夹角为 30，质量为 m 的小球套在杆上，在大小不变的拉力 F 作用下，小球沿杆由底端匀速运动到顶端.已知小球与斜杆之间的动摩擦因数为 ，则关于
17、拉力 F 的大小和 F 的做功情况，下列说法正确的是( )33图 8A.当 30 时，拉力 F 最小B.当 30时，拉力 F 做功最小C.当 60时，拉力 F 最小D.当 60 时，拉力 F 做功最小答案 AD解析 由题中选项可知要使 F 最小，则应有 Fsin mgcos 30，故根据平衡条件有Fcos mgsin 30(mgcos 30Fsin )，解得：F ，mgsin 30 33cos 30cos 33sin 3mg2sin 60由数学知识知，当 30时，拉力 F 最小，A 正确，C 错误；当 60时，Fmg，因为没有摩擦力，拉力做功最小，W minmgh ，所以 B 错误， D 正确
18、.故 选 A、D.9.如图 9 所示，在直角坐标系 xOy 的第一象限区域中，有沿 y 轴正方向的匀强电场，电场强度的大小为 Ek v0.在第二象限有一半径为 Rb 的圆形区域磁场，圆形磁场的圆心 O1 坐标为(b，b) ，与坐标轴分别相切于 P 点和 N 点，磁场方向垂直纸面向里.在 x3b 处垂直于x 轴放置一平面荧光屏，与 x 轴交点为 Q.大量的电子以相同的速率在纸面内从 P 点进入圆形磁场，电子的速度方向在与 x 轴正方向成 角的范围内，其中沿 y 轴正方向的电子经过磁场到达 N 点，速度与 x 轴正方向成 角的电子经过磁场到达 M 点且 M 点坐标为(0,1.5b). 忽略电子间的
19、相互作用力，不计电子的重力，电子的比荷为 .求：em v0kb图 9(1)圆形磁场的磁感应强度大小；(2)角的大小；(3)电子打到荧光屏上距 Q 点的最远距离 .答案 (1)k (2)120 (3) b94解析 (1)由于速度沿 y 轴正方向的电子经过 N 点，因而电子在磁场中做圆周运动的半径为rb而 ev0Bmv20r联立解得 Bk(2)速度与 x 轴正方向成 角的电子在磁场中做圆周运动的圆心为 O，电子离开磁场时的位置为 P，连接 PO1PO可知该四边形为菱形，如图甲，由于 PO1竖直，因而半径 PO 也为竖直方向，电子离开磁场时速度一定沿 x 轴正方向由图可知 bsin(90)b1.5b解得 120.(3)由(2)可知，所有的电子以平行于 x 轴正方向的速度进入 电场中做类平抛运动， 设电子在电场中运动的加速度为 a，运动 的时间为 t，竖直方向位移为 y，水平位移为 x水平方向 xv 0t竖直方向 y at212eE mavyat联立解得 x 2by设电子最终打在光屏的最远点距 Q 点为 H，如图乙所示，电子射出电场时的夹角为 有tan vyv0 2yb有 H(3bx)tan (3 ) b 2y 2y当 3 ，即 y b 时， H 有最大值.b 2y 2y98由于 b1.5b，所以 Hmax b.98 94
