1、1第十二章 12.2.4“HL”知识点 1: 斜边、直角边定理(HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)关键提醒:1. “HL”这个结论是直角三角形特有的判定方法, 对于一般的三角形不适用.因此,在应用“HL”证明两个三角形全等,一定要指出两个三角形是直角三角形,或指出含有 90的角.2. 对于直角三角形证明全等的方法有五种:SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL.3. 在直角三角形中,若已知两条边对应相等时,这样的两个三角形一定是全等的.知识点 2：灵活地选择三角形全等的条件 一般三角形的全等方法的证明有四个:SSS、SAS、ASA、AA
2、S.而 对于直角三角形则还有 HL.选择合适的判定方法,可以使证明过程简化.归纳整理:(1)根据提供的不同的已知条件,证明两个三角形全等通常有以下四种思路:(2)当两个三角形是直角三角形时,则首先考虑 HL 能否证明全等.(3)已知两边和一边的对角不能判定两个三角形全等,即 SSA 不能判定两个三角形全等.(4)三个角对应相等的两个三角形也不一定全等.考点 1：利用“HL” 证明两个三角形全等【例 1】如图,AC=AD,C=D=90,求证:BC=BD.2证明:在 RtABC 和 RtABD 中,RtABCRtABD(HL).BC=BD(全等三角形的对应边相等).点拨：本题条件中已知两三角形为直
3、角三角形,可考虑利用 HL 证明.考点 2：灵活选择方法证明三角形全等【例 2】如图,两个大小相同且含 30角的三角板 ABC 和 DEC 如图(1)摆放,使直角顶点重合. 将图(1)中DEC 绕点 C 逆时针旋转 30得到图(2),点 F、G 分别是 CD、DE 与 AB 的交点,点 H 是 DE与 AC 的交点.(1)不添加辅助线,写出图(2)中所有与BCF 全等的三角形;(2)将图(2)中的DEC 绕点 C 逆时针旋转 45得D 1E1C,点 F、G、H 的对应点分别为F1、G 1、H 1 ,如图(3).探究线段 D1F1与 AH1之间的数量关系,并写出推理过程;(3)在(2)的条件下,
4、若 D1E1与 CE 交于点 I,求证:G 1I=CI.(1) (2) (3)解: (1)图(2)中与BCF 全等的有GDF、 GAH、ECH.(2)D1F1=AH1.证明如下 A=D 1=30,CA=CD1,F 1CA=H 1CD1, AF 1C D 1H1C. F 1C=H1C.又 CD 1=CA, CD 1-F1C=CA-H1C,即 D1F1=AH1.(3)如图,连接 CG1.3在D 1G1F1和AG 1H1中, D 1=A,D 1G1F1=AG 1H1,D1F1=AH1, D 1G1F1 AG 1H1. G 1F1=G1H1.又 H 1C=F1C,G1C=G1C, CG1F1CG 1H
5、1. 1=2. B=60, BCF=30, BFC=90.又 DCE=90, BFC=DCE. BACE. 1=3. 2=3. G 1I=CI.点拨:(1)本题要结合直角三角形 30所对的直角边等于斜边的一半,以及 ASA 判定三角形全等的方法解决;(2)首先根据 ASA 证明AF 1C D 1H1C,然后再根据全等三角形的性质得到线段相等,进而求解.(3)首先根据 AAS 证明三角形全等,然后再依据全等三角形的性质和三角形中各角之间的关系求解.考点 3：利用全等三角形证两直线平行与垂直【例 1】如图,已知:点 B、F、C、E 在一条直线上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知条件证明AB
6、ED?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使 ABED 成立,并给出证明.供选择的三个条件(请从其中选择一个):AB=DE;BC=EF;ACB=DFE.解:由上面两条件不能证明 ABED.有两种添加方法.第一种:FB=CE,AC= DF,添加AB=D E.4证明如下:因为 FB=CE,所以 BC=EF,又 AC=DF,AB=DE,所以ABCDEF(SSS).所以ABC=DEF,所以 ABED.第二种: FB=CE,AC=DF,添加ACB=DFE.证明如下:因为 FB=CE,所以 BC=EF,又ACB=DFE,AC=DF,所以ABCDEF(SAS
7、).所以ABC=DEF,所以 ABED.点拨：两直线平行的判定方法是“同位角相等,两直线平行”或“内错角相等,两直线平行”或“同旁内角互补,两直线平行”,因此在本题中,要使 ABED,只需证ABC=DEF,这可化归为证“全等三角形的对应角相等”,而题中给出全等的两个条件后,尚缺一个条件,通过题中给出的条件,添加一个,可以满足 SSS 或 SAS,问题便可 以解决了.考点 4：利用全等三角形证线段之间的和差关系【例 4】如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,E 为 CD 的中点,连接 AE、BE,BEAE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.
8、证明:(1)因为 E 是 CD 的中点,所以 DE=CE.因为 ADBC,所以ADE=FCE,DAE=CFE.所以ADEFCE.所以 FC=AD.(2)因为ADEFCE,所以 AE=FE.又因为 BEAE,所以在ABE 和FBE 中,所以ABEFBE,所以 AB=FB.因为 FB=BC+FC=BC+AD.所以 AB=BC+AD.点拨：当题中出现“平行+中点”的条件时,根据“AAS”或“SAS”定理容易证得全等三角形,从而得到相等的角或边;欲证一线段等于另两线段之和,可通过“延长”的方法将所证两线段合 为一线段,再证其与另一线段相等,当然,也可利用“截取”的方法将最长线段一分为二,分别等于另外两线段.
