1、1第 3 章 圆的基本性质3.3 垂径定理第 2 课时 垂径定理的逆定理知识点 1 垂径定理的逆定理1如图 3315 所示，填写你认为正确的结论(1)若 MN AB，垂足为 C， MN 为直径，则_，_，_；(2)若 AC BC， MN 为直径， AB 不是直径，则_，_，_；(3)若 MN AB， AC BC，则_，_，_； (4)若 ， MN 为直径，则_，AM BM _，_图 3315图 33162如图 3316， AB 为 O 的一条弦， OE 平分劣弧 AB，交 AB 于点D， OA13， AB24，则 OD_.3如图 3317， AB 是半圆 O 的直径， E 是弧 BC 的中点，
2、 OE 交弦 BC 于点 D.已知BC12 cm, DE2 cm，则 AB 的长为_cm.图 33172图 33184如图 3318， CD 是 O 的直径， AB 是弦， AB 与 CD 相交于点 M.从以下 4 个条件中任取一个，其中能得到 CD AB 的有( ) AM BM； OM CM； ；AC BC .AD BD A1 个 B2 个C3 个 D4 个5如图 3319， D 是 O 的弦 BC 的中点， A 是 O 上一点， OA 与 BC 相交于点 E，已知 OA8， BC12.求线段 OD 的长图 3319知识点 2 垂径定理的逆定理的应用6如图 3320，图 33203一条公路弯
3、道处是一段圆弧 AB，点 O 是这条弧所在圆的圆心，C 是 的中点，OC 与 ABAB 相交于点 D.已知 AB120 m，CD20 m，那么这段弯道所在圆的半径为( )A200 m B200 m 3C100 m D100 m37如图 3321，已知某桥的跨径为 40 m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为 8 m，求该桥的桥拱所在圆的半径图 33218如图 3322，AB，AC 是O 的两条弦，BC 与 AD 相交于点 E，AD 是O 的一条直径， ，下列结论中不一定正确的是( )BD CD A. BBECEAB DB CBCAD DBC图 3322图 33239.如图 3323，O 的直径
4、 AB 与弦 CD(不是直径)相交于点 E，且CEDE，A30，OC4，那么 CD 的长为( )A2 B4 C4 D83 3410A，C 为半径是 3 的圆周上两点，B 为 的中点，以线段 BA，BC 为邻边作菱形AC ABCD，顶点 D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为( )A. 或 2 B. 或 2 5 2 5 3C. 或 2 D. 或 2 6 2 6 311已知O 的半径为 2，弦 BC2 ，A 是O 上一点，且 ABAC，直线 AO 与 BC 相3交于点 D，则 AD 的长为_12如图 3324，AB，AC 是内接于O 的两条弦，M，N 分别为 ， 的中点，MNAB AC 分
5、别交 AB，AC 于点 E，F.判断三角形 AEF 的形状并给予证明图 3324132016 年国庆期间，台风“艾利”来袭，宁波余姚被雨水围攻如图 3325，当地一拱桥为圆弧形，跨度 AB60 m，拱高 PM18 m，当洪水泛滥，水面跨度缩小到 30 m时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面 A1B1到拱顶的距离只有 4 m，问是否要采取紧急措施？请说明理由图 3325514如图 3326 所示，隧道的截面由圆弧 AED 和矩形 ABCD 构成，矩形的长 BC 为12 m，宽 AB 为 3 m，隧道的顶端 E(圆弧 AED 的中点)高出道路(BC)7 m.(1)求圆弧 AED 所在圆的半径；(
6、2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高 6.5 m，宽 2.3 m，问这辆货运卡车能否通过该隧道？图 33266详解详析1(1) AC BC AN BN AM BM (2)MN AB AN BN AM BM (3)MN 过圆心 AN BN AM BM (4) AC BC MN ABAN BN 解析 (1)由垂径定理可知；(2)由结论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；(4)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦25 3.204C5解：连结 OB. OD 过圆心，且 D 是弦 BC 的中点， OD BC， BD BC6.12在 Rt BOD 中， OD2 BD2 OB2.OB
7、OA8， BD6， OD2 (负值已舍去)76C 解析 如图，连结 OA. C 是 的中点， OC 与 AB 相交于点 D，AB 7 AB OC， AD AB 12060(m)12 12在 Rt AOD 中，有 OA2 AD2 OD2，设 OA r m，则 OD r CD( r20)m， r260 2( r20) 2，解得 r100.7解：如图，设桥的跨径为 AB，拱高为 CD，桥拱所在圆的圆心为 O，连结 OD，易得C， D， O 三点在同一直线上，且 OC AB.由题意得 AB40 m， CD8 m，则AD BD AB20 m， OD OC CD.12设该桥的桥拱所在圆的半径为 R m，则
8、在 Rt AOD 中，由勾股定理得 R220 2( R8) 2，解得 R29，即桥拱所在圆的半径为 29 m.8A9C 解析 O 的直径 AB 与弦 CD(不是直径)相交于点 E，且 CE DE， AB CD. A30， COB60， OE OC2，12 CE 2 ，42 22 3 CD4 .故选 C.310D 解析 分两种情况讨论：如图所示，当对角线 BD2 时，连结 OA， AC， AC交 BD 于点 E，则 AE BD， BE ED1， OE2，根据勾股定理，得AE2 OA2 OE2945， AD2 AE2 ED26， AD ，即菱形的边长为 ；如图所示，6 6当对角线 BD4 时，同理
9、，有 OE OD1，由勾股定理，得8AE2 OA2 OE2918， AD2 AE2 ED212， AD2 ，即菱形的边长为 2 .综上可3 3知，该菱形的边长为 或 2 .6 3111 或 3 解析 如图所示： O 的半径为 2，弦 BC2 ， A 是 O 上一点，且 AB AC， ，3 AB AC AD BC， BD BC .12 3在 Rt OBD 中， BD2 OD2 OB2，即( )2 OD22 2，解得 OD1，3当如图所示时， AD OA OD211；当如图所示时， AD OA OD213.故答案为 1 或 3.12解： AEF 是等腰三角形证明：如图，连结 OM， ON，分别交
10、AB， AC 于点 P， Q. M， N 分别为 ， 的中点，AB AC 9 OM AB， ON AC， MPE NQF90， PEM90 M， QFN90 N. OM ON， M N， PEM QFN.又 AEF PEM， AFE QFN， AEF AFE， AE AF，即 AEF 是等腰三角形13解：不需要采取紧急措施理由：如图，设圆弧所在圆的圆心为 O，连结 OA， OA1， OM，易知 O， M， P 三点共线，设 OP 交 A1B1于点 N. AM AB30 m， PM18 m，12在 Rt AOM 中， AO230 2( AO18) 2，解得 AO34(m) PN4 m， NO34
11、430(m)， A1N 16(m)，A1O2 NO2 342 302 A1B12 A1N32 m30 m，不需要采取紧急措施14解：(1)如图，设圆弧 AED 所在圆的圆心为点 O，半径为 R m，连结 OE 交 AD 于点 F，连结 OA， OD.由垂径定理的逆定理，得 OF 垂直平分 AD， AF6 m， OF R(73)( R4)cm.在 Rt AOF 中，由勾股定理，得 AF2 OF2 OA2，10即 62( R4) 2 R2，解得 R6.5，即圆弧 AED 所在圆的半径为 6.5 m.(2)如图，由题意易知 GH2.3 m， GH OE，圆弧 所在圆的半径 OH6.5 m.AED 在 Rt OGH 中，由勾股定理，得 OG 6.08(m)，6.52 2.32点 G 与 BC 的距离为 76.56.086.58(m)6.5 m，故这辆货运卡车能通过该隧道
