1、1第 5节 抛物线【选题明细表】知识点、方法 题号抛物线的标准方程与几何性质 1,2,3,7抛物线的定义及其应用 6,8,9,11抛物线定义、标准方程及几何性质的综合应用 4,5,10,12,13,14基础巩固(时间:30 分钟)1.设抛物线 y2=2px的焦点在直线 2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为( D )(A)x=-1 (B)x=-2(C)x=-3 (D)x=-4解析:因为抛物线 y2=2px的焦点（,0）在 2x+3y-8=0上,所以 p=8,所以抛物线的准线方程为 x=-4.故选 D.2.已知抛物线 C与双曲线 x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线 C的方程
2、是( D )(A)y2=2 x (B)y2=2x(C)y2=4x (D)y2=4 x解析:因为双曲线的焦点为(- ,0),( ,0),设抛物线方程为 y2=2px(p0),则= ,所以 p=2 ,所以抛物线方程为 y2=4 x.故选 D.3.(2016全国卷)以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A,B两点,交 C的准线于 D,E两点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则 C的焦点到准线的距离为( B )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:以开口向右的抛物线为例,设抛物线方程为 y2=2px(p0),圆的方程为 x2+y2=r2,设 A(x0,2 ),D（-, ）,点 A(x0,2
3、)在抛物线 y2=2px上,所以 8=2px0, 点 D（-, ）在圆 x2+y2=r2上,所以 5+（-） 2=r2, 点 A(x0,2 )在圆 x2+y2=r2上,所以 +8=r2, 联立解得 p=4,焦点到准线的距离为 4.故选 B.4.(2018汕头市一模)已知抛物线 C:y2=8x的焦点为 F,准线与 x轴的交点为 K,点 A在 C上且|AK|= |AF|,则AFK 的面积为( B )(A)4 (B)8 (C)16 (D)32解析:因为抛物线 C:y2=8x的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,所以 K(-2,0).设 A(x0,y0),过 A点向准线作垂线 AB,则 B(-2,
4、y0).因为|AK|= |AF|,又|AF|=|AB|=x 0-(-2)=x0+2,所以由|BK| 2=|AK|2-|AB|2得 =(x0+2)2,2即 8x0=(x0+2)2,解得 x0=2,则 A(2,4),所以AFK 的面积为|KF|y 0|=44=8.故选 B.5.(2017上饶市一模)已知抛物线 C:y2=8x的焦点为 F,点 M(-2,2),过点 F且斜率为 k的直线与 C交于 A,B两点,若 =0,则 k等于( D )(A) (B) (C) (D)2解析:由抛物线 C:y2=8x得焦点 F(2,0).由题意可知,斜率 k存在,设直线 AB为 y=k(x-2),代入抛物线方程,得
5、k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2=4+ ,x1x2=4,所以 y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k(x1+x2)-4=,y1y2=- =-8 =-16.又 =0,所以 =(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4= - +4=0,所以 k=2.故选 D.6.已知点 P是抛物线 y2=2x上的动点,且点 P在 y轴上的射影是 M,点 A(,4),则|PA|+|PM|的最小值是( C )(A) (B)4
6、(C) (D)5解析:抛物线焦点 F(,0),准线 x=-,如图,延长 PM交准线于 N,由抛物线定义得|PF|=|PN|.因为|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|AF|=5,而|MN|=,所以|PA|+|PM|5-=,当且仅当 A,P,F三点共线时,取“=”号,此时,P 位于抛物线上,所以|PA|+|PM|的最小值为.故选 C.7.(2017茂名市一模)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点上,已知灯口直径是 60 cm,灯深 40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是 cm. 解析:设抛物线方程为 y2=2px(p0),点(40,30)在抛物线
7、 y2=2px上,3所以 900=2p40.所以 p= .所以= .因此,光源到反射镜顶点的距离为 cm.答案:能力提升(时间:15 分钟)8.已知抛物线 x2=4y上有一条长为 6的动弦 AB,则 AB的中点到 x轴的最短距离为( D )(A) (B) (C)1 (D)2解析: 由题意知,抛物线的准线 l:y=-1,过点 A作 AA1l 交 l于点 A1,过点 B作 BB1l 交 l于点 B1,设弦 AB的中点为 M,过点 M作 MM1l 交 l于点 M1,则|MM 1|= .因为|AB|AF|+|BF|(F 为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|6,所以|AA1|+|BB1|6,2|MM
8、1|6,|MM 1|3,故点 M到 x轴的距离 d2.故选 D.9.(2017白山市一模)已知抛物线 y2=6x的焦点为 F,准线为 l,点 P为抛物线上一点,且在第一象限,PAl,垂足为 A,|PF|=2,则直线 AF的倾斜角为( D )(A) (B) (C) (D)解析:如图,设 P(x0,y0),因为|PF|=2=x 0+1.5,所以 x0=0.5.所以|BF|=1.5-0.5=1,所以BPF=,从而PFB=,因为|PA|=|PF|=2,所以PAF=PFA.又PAF=AFB,所以AFB=PFB=.故选 D.10.(2017长沙市模拟)已知椭圆 E的中心在坐标原点,离心率为,E 的右焦点与
9、抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B 是 C的准线与 E的两个交点,则|AB|= . 解析:椭圆 E的中心在坐标原点,离心率为,E 的右焦点(c,0)与抛物线 C:y2=8x的焦点(2,0)重合,可得 c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为 + =1.抛物线的准线方程为 x=-2,联立解得 y=3,4所以 A(-2,3),B(-2,-3),则|AB|=3-(-3)=6.答案:611.设抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,M为抛物线 C上一点,N(2,2),则|MF|+|MN|的取值范围是 .解析: 当 x=2时,y=2 ,所以点 N在抛物线的内部,如图所示,作 MP垂直于抛物线的准线于
10、点 P,由抛物线的定义可知|MF|=|MP|,所以|MF|+|MN|=|MP|+|MN|PN|,当且仅当 P,M,N三点共线时等号成立,此时|PN|=2+1=3,所以|MF|+|MN|3.答案: 3,+)12.(2017湖北安庆市二模)已知抛物线 x2=2py(p0),F为其焦点,过点 F的直线 l交抛物线于 A,B两点,过点 B作 x轴的垂线,交直线 OA于点 C,如图所示.(1)求点 C的轨迹 M的方程;(2)直线 m是抛物线的不与 x轴重合的切线,切点为 P,准线与直线 m交于点 Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点 F.(1)解:由题意可得,直线 l的斜率存在,设方程为 y=kx+.设
11、A(x1,y1),B(x2,y2),动点 C(x,y),由可得 x2-2pkx-p2=0,可得 x1x2=-p2.OA:y= x= x,BC:x=x2.由可得 y= x2=-,即点 C的轨迹 M的方程为 y=-.(2)证明:设直线 m的方程为 y=kx+m,5由 可得 x2-2pkx-2pm=0,可得=4p 2k 2+8pm,因为直线 m与抛物线相切,所以 =0,可得 pk 2+2m=0,可得 P(pk,-m),又由 可得 Q(- ,-), =(pk,-m-)(- ,-p)=- (p+2m)+pm+ =0,可得 FPFQ,所以以线段 PQ为直径的圆过点 F.13.(2018南阳、信阳等六市一模
12、)如图,抛物线 C:y2=2px的焦点为 F,抛物线上一定点Q(1,2).(1)求抛物线 C的方程及准线 l的方程;(2)过焦点 F的直线(不经过 Q点)与抛物线交于 A,B两点,与准线 l交于点 M,记 QA,QB,QM的斜率分别为 k1,k2,k3,问是否存在常数 ,使得 k1+k2=k 3成立?若存在 ,求出 的值;若不存在,说明理由.解:(1)把 Q(1,2)代入 y2=2px,得 2p=4,所以抛物线方程为 y2=4x,准线 l的方程为 x=-1.(2)由条件可设直线 AB的方程为 y=k(x-1),k0.由抛物线准线 l:x=-1,可知 M(-1,-2k),又 Q(1,2),所以
13、k3= =k+1.把直线 AB的方程 y=k(x-1)代入抛物线方程 y2=4x,并整理,可得 k2x2-(2k2+4) x+k2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2=1.又 Q(1,2),故 k1= ,k2= .因为 A,F,B三点共线,所以 kAF=kBF=k,即 = =k,所以 k1+k2= +6=2(k+1),即存在常数 =2,使得 k1+k2=2k3成立.14.导学号 38486180 (2017四川遂宁市二诊)已知点 F(0,1)为抛物线 x2=2py的焦点.(1)求抛物线 C的方程;(2)点 A,B,C是抛物线上三点且 + + =0,求ABC
14、 面积的最大值.解:(1)由题意知=1,即 p=2,所以抛物线 C的方程为 x2=4y.(2)令 A(x1, ),B(x2, ),C(x3, ),不妨设直线 AB与 y轴交于点 D(0,yD),所以 = ,即 yD=- .又因为 + + =0,所以点 F为ABC 的重心.由点 F的坐标为(0,1),所以 =0, =1.从而 x1+x2=-x3, + =12- ,所以 2x1x2=(x1+x2)2-( + )=2 -12,即 x1x2= -6,所以 SABC =3SABF =3|1-yD|x2-x1|,= (1+ )2( + -2x1x2)= (4+ -6)2(12- -2 +12)7= ( -2)2(24-3 )= ( -2)2(8- ),令 t= 0,y= (t-2)2(8-t),y= 2(t-2)(8-t)-(t-2)2=- (t-2)(t-6),令 y=0,则 t1=2,t2=6.当 t(0,2)时 y0,函数单调递增,t(6,+)时y0,函数单调递减,见下表x 0 (0,2) 2 (2,6) 6 (6,+)y - 0 + 0 -y 极小值 极大值 当 t=0时 y= ,当 t=6时 y= ,所以 ymax= ,则 SABCmax = .
