1、1第 4节 基本不等式【选题明细表】知识点、方法 题号利用基本不等式比较大小、证明 2,3利用基本不等式求最值 1,4,7,9,11,13基本不等式的实际应用 6,12,14基本不等式的综合应用 5,8,10基础巩固(时间:30 分钟)1.已知 f(x)=x+-2(xlg x(x0)(B)sin x+ 2(xk,kZ)(C)x2+12|x|(xR)(D) 1(xR)解析:当 x0时,x 2+2 =x,所以 lg(x2+)lg x(x0),故选项 A不正确;当 2k-0,n0)过点(1,-2),则+最小值( D )(A)2 (B)6(C)12 (D)3+2解析:因为直线 2mx-ny-2=0(m
2、0,n0)过点(1,-2),所以 2m+2n-2=0,即 m+n=1,因为 +=( +)(m+n)=3+ + 3+2 ,当且仅当 = ,即 n= m时取等号,所以 +的最小值为 3+2 ,故选 D.6.(2017河北邯郸一模)已知棱长为 的正四面体 ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱 AB上任取一点 P(与 A,B都不重合),若点 P到平面 BCD及平面 ACD的距离分别为 a,b,则+的最小值为( C )(A) (B)4 (C) (D)5解析:由题意可得, aS BCD +bSACD =hSBCD ,其中 SBCD =SACD ,h为正四面体 ABCD的高.h= =2,所以 a+b=2.
3、所以+= (a+b)( +)= (5+ +) (5+2 )=,当且仅当 a=2b=时取等号.故选 C.7.设 x,yR,且 xy0,则(x 2+ )( +4y2)的最小值为 . 解析:(x 2+ )( +4y2)=5+ +4x2y25+2 =9,当且仅当 x2y2=时“=”成立.3答案:98.(2017洛阳二模)设 a0,b0.若 是 3a与 32b的等比中项,则+的最小值为 . 解析:根据题意,若 是 3a与 32b的等比中项,则有 3a+2b=3,则有 a+2b=1;则+=(a+2b)( +)=4+( +)4+2 =8,当且仅当 a=2b=时,等号成立.即+的最小值为 8.答案:8能力提升
4、(时间:15 分钟)9.若对于任意的 x0,不等式 a 恒成立,则实数 a的取值范围为( A )(A),+) (B)(,+)(C)( -,) (D)(-,解析:由 x0, = ,令 t=x+,则 t2 =2,当且仅当 x=1时,t 取得最小值 2.此时 取得最大值 ,所以对于任意的 x0,不等式 a 恒成立,则 a. 故选 A.10.导学号 38486114(2017揭阳一模)已知抛物线 y=ax2+2x-a-1(aR),恒过第三象限上一定点 A,且点 A在直线 3mx+ny+1=0(m0,n0)上,则 +的最小值为( B )(A)4 (B)12(C)24 (D)36解析:抛物线 y=ax2+
5、2x-a-1(aR),即 y+3=(x+1)(ax-a+2),所以 A(-1,-3),所以 m+n=,又 += + =6+3( + )6+6 =12,当且仅当 m=n时等号成立.故选 B.11.(2017山东淄博一模)设向量 =(1,-2), =(a,-1), =(-b,0),其中 O为坐标原点,a0,b0,若 A,B,C三点共线,则+的最小值为( C )4(A)4 (B)6 (C)8 (D)9解析: =(a-1,1), =(-b-1,2),因为 A,B,C三点共线,所以 2(a-1)-(-b-1)=0,化为 2a+b=1.又 a0,b0,则+=(2a+b)( +)=4+ 4+2 =8,当且仅
6、当 b=2a=时取等号.故选 C.12.(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物 600吨,每次购买 x吨,运费为 6万元/次,一年的总存储费用为 4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x的值是 . 解析:一年的总运费为 6 = (万元).一年的总存储费用为 4x万元.总运费与总存储费用的和为( +4x)万元.因为 +4x2 =240,当且仅当 =4x,即 x=30时取得等号,所以当 x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:3013.已知 x0,y0,且 2x+5y=20.(1)求 u=lg x+lg y的最大值;(2)求+的最小值.解:(1)因为 x0,y0,所以由
7、基本不等式,得 2x+5y=202 .即 xy10,当且仅当 2x=5y时等号成立,此时 x=5,y=2,所以 u=lg x+lg y=lg(xy)lg 10=1.所以当 x=5,y=2时,u=lg x+lg y 有最大值 1.(2)因为 x0,y0,所以+=(+) = (7+ + ) (7+2 )= ,当且仅当 = 时等号成立.所以+的最小值为 .14.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为 162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为 400元/米,中间两道隔墙建造单价为 248元/米,池底建造单价为 80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.5(
8、1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.解:(1)设污水处理池的宽为 x米,则长为 米.总造价 f(x)=400(2x+ )+2482x+80162=1 296x+ +12 960=1 296(x+ )+12 9601 2962 +12 960=38 880,当且仅当 x= (x0),即 x=10时取等号.所以当污水处理池的长为 16.2米,宽为 10米时总造价最低,总造价最低为 38 880元.(2)由限制条件知所以 x16.设 g(x)=x+ ( x16),g(x)在 ,16上是增函数,所以当 x= 时(此时 =16),g(x)有最小值,即 f(x)有最小值,即 f(x)min=1 296 ( + )+12 960=38 882.所以当污水处理池的长为 16米,宽为 米时总造价最低,总造价最低为 38 882元.
