1、1第二十五章 25.3 用频率估计概率知识点 1：利用频率估计概率 一般地,在大量重复试验中,如果事件 A 发生的频率会稳定在某个常数 p 附近,那么这个常数 p就叫做事件 A 发生的概率,记作 P(A)=p.频率估计概率的适用对象:当试验的可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,可通过统计频率来估计概率.根据大量重复试验,某一事 件发生的频率 越来越稳定于某 个常数,可将这个常数看作该事件发生的概率.关键提醒:概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定的值, 即用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率,但大量试验反映的规律并非在每一次试验中一定存在,如抛硬币10 次,并
2、不一定是正面、反面各 5 次.知识点 2：设计模拟试验 通过试验预测某事件的概率时,当试验的所有可能不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,要通过频率来估计概率,也就是说,要借助试验法得到相应的概率,如试验遇到找不到相应的实物或用实物进行试验困难较大的情况下,其有效方法是:(1)寻找满足条件的替代物做模拟试验;(2)用计算器产生随机整数的方法进行模拟试验.知识点 3：用统计频(概)率解决实际问题 实际问题中的试验一般不属于各种结果发生的可能性相等的类型,所以先用频率去估计概率,然后根据估计的概率解决相关问题.归纳整理:(1)在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果不尽
3、相同(具有偶然性),但大量重复试验所得结果却能反映规律.(2)在做大量重复试验时,可以根据概率要达到的精度来确定数据表中频率保留的数位.一般用频率估计出来的概率要比数据表中的频率保留的数位要少.2考点 1：利用频率估计概率【例 1】 从某玉米种子中抽取 6 批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000发 芽种 子粒数 85 398 652 793 1604 4005发芽频率 0.850 0.745 0.851 0.793 0.802 0.801根据以上数据可以估计,该玉米种子发芽的概率约为 (精确到 0.1). 答案:0.8.点拨:
4、从左到右,当试验种子的粒数很多时,种子的发芽的频率逐渐稳定于 0.8 左右,即种子的发芽的概率为 0.8.考点 2：设计模拟试验求概率【例 2】 把图中的 3 张纸片放在盒子里搅匀,任取 2 张,看是拼成房子(正方形和三角形)还是拼成菱形(两个三角形).苗苗记录了她做这个游戏的情况,并绘制了如下的表格:拼图次数 10 20 30 40 50 60 80 100拼成房子的次数 7 13 19 27 34 40 53 67拼成房子的频率(1)计算拼成房子的频率并填表,估计能拼成房子的概率是多少?(结果保留三位有效数字)(2)如果你身边没有这样的硬纸片,你能设计一个模拟试验吗 ?说说你的方案.解:(
5、1)表格中拼成房子的频率依次为:0.700,0.650,0.633,0.675,0.680,0.667,0.663,0.670.可以看出,随着试验次数的增多,拼成房子的频率稳定在 0.666 左右,从 而估计出任意抽取 2 张拼成房子的概率是 0.666.(2)模拟试验方案:一个不透明的袋子里装有 1 只红球和 2 只白球,这些球除颜色外没有其他区别 ,从中随机摸出两只球,两只球颜色不同代表拼成房子, 颜色相同代表拼成菱形.3点拨:本题涉及用频率估计概率及模拟试验的设计.(1)解答时表 格中的频率可以直接求得,估计概率要注意随着试验次数的增多,频率稳定在哪个常数附近;(2)模拟试验的方法很多,
6、关键是注意试验的条件要相同.考点 3：利用频率求概 率解决实际问题【例 2】 某工厂封装圆珠笔的箱子,每箱只装 2000 枝,在一次封装时,误把一些已作标记的不合格的圆珠笔也装入箱里,若随机拿出 100 枝圆珠笔,共做 10 次 试验,100 枝中不合格的圆珠笔的平均数是 5,你能估计箱子里混入 多少不合格的圆珠笔吗?若每枝合格圆珠笔的利润为 0.05 元,而发现不合格品要退货并每枝赔偿商店 1.00 元,你能根据你的估计推算出这箱圆珠笔是亏损还是盈利?亏损,损失多少元?盈利,利润是多少?解:因为每 100 枝平均有 5 枝不合格,所以有 20001005=100,故可估计整箱平均有 100 枝不合格,1900 枝合格.赔偿 1001=100(元),利润 19000.5=950(元),总的盈利 950-100=850(元),所以这箱圆珠笔盈利,共盈利 850 元.点拨:利用平均概率可估计出共有多少枝不合格的商品,即可推算出亏损还是盈利.
