1、1课时跟踪训练(四十七) 圆的方程基础巩固一、选择题1已知点 A(1，1)， B(1,1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是( )A x2 y22 B x2 y2 2C x2 y21 D x2 y24解析 AB 的中点坐标为(0,0)，|AB| 2 ，1 1 2 1 1 2 2圆的方程为 x2 y22.答案 A2(2017豫北名校 4 月联考)圆( x2) 2 y24 关于直线 y x 对称的圆的方程是( )33A( x )2( y1) 24 B( x )2( y )243 2 2C x2( y2) 24 D( x1) 2( y )243解析 设圆( x2) 2 y24 的圆心(2,0)关于
2、直线 y x 对称的点的坐标为( a， b)，33则有Error! 解得 a1， b ，从而所求圆的方程为( x 1)2( y )24.故选 D.3 3答案 D3(2017湖南长沙二模)圆 x2 y22 x2 y10 上的点到直线 x y2 距离的最大值是( )A1 B2 C1 D22222 2解析 将圆的方程化为( x1) 2( y1) 21，圆心坐标为(1,1)，半径为 1，则圆心到直线 x y2 的距离 d ，故圆上的点到直线 x y2 距离的最大值为|1 1 2|2 2d1 1，选 A.2答案 A4若曲线 C： x2 y22 ax4 ay5 a240 上所有的点均在第二象限内，则 a
3、的取值范围为( )A(，2) B(，1)C(1，) D(2，)解析 曲线 C 的方程可以化为( x a)2( y2 a)24，则该方程表示圆心为( a,2a)，半径等于 2 的圆因为圆上的点均在第二象限，所以 a2.2答案 D5点 P(4，2)与圆 x2 y24 上任一点连线的中点轨迹方程是( )A( x2) 2( y1) 21B( x2) 2( y1) 24C( x4) 2( y2) 24D( x2) 2( y1) 21解析 设圆上任一点坐标为( x0， y0)，则 x y 4，连线中点坐标为( x， y)，20 20则Error! Error!代入 x y 4 中得( x2) 2( y1)
4、 21.20 20答案 A6(2017福建厦门 4 月联考)若 a ，则方程 2， 0， 1，34x2 y2 ax2 ay2 a2 a10 表示的圆的个数为( )A0 B1 C2 D3解析 方程 x2 y2 ax2 ay2 a2 a10 表示圆的条件为 a24 a24(2 a2 a1)0，即 3a24 a40)，因为该圆与直线 y x3 相切，所以 r ，故该圆的| 1 3|2 2标准方程是 x2( y1) 22.答案 x2( y1) 2214(2017江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中， A(12,0)， B(0,6)，点 P 在圆O： x2 y250 上若 20，则点 P 的横坐标的取值
5、范围是_PA PB 解析 本题考查平面向量数量积及其应用，圆的方程的应用及圆与圆的相交解法一：设 P(x， y)，则由 20 可得，PA PB (12 x)( x)( y)(6 y)20，即( x6) 2( y3) 265，所以 P 为圆( x6) 2( y3) 265 上或其内部一点又点 P 在圆 x2 y250 上，联立得Error!解得Error! 或Error!即 P 为圆 x2 y250 的劣弧 MN 上的一点(如图)，易知5 x1.2解法二：设 P(x， y)，则由 20，PA PB 5可得(12 x)( x)( y)(6 y)20，即 x212 x y26 y20，由于点 P 在
6、圆 x2 y250 上，故 12x6 y300，即 2x y50，点 P 为圆 x2 y250 上且满足 2x y50 的点，即 P 为圆 x2 y250 的劣弧 MN上的一点(如图)同解法一，可得 N(1,7)， M(5，5)，易知5 x1.2答案 5 ，1215已知点 P(2,2)，圆 C： x2 y28 y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当| OP| OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积解 (1)圆 C 的方程可化为 x2( y4) 216，所以圆心为 C(0,4)，半径为 4.设
7、 M(x， y)，则 ( x， y4)， (2 x,2 y)CM MP 由题设知 0，CM MP 故 x(2 x)( y4)(2 y)0，即( x1) 2( y3) 22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是( x1) 2( y3) 22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 为半径的圆2由于| OP| OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ON PM.6因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 ，13故 l 的方程为 y x .13 83又| OM| OP|2 ， O 到 l 的距离为 ，| PM| ，24105
8、4105所以 POM 的面积为 .12 4105 4105 16516(2017吉林省实验中学模拟)已知圆 M 过 C(1，1)， D(1,1)两点，且圆心 M在直线 x y20 上(1)求圆 M 的方程；(2)设 P 是直线 3x4 y80 上的动点， PA， PB 是圆 M 的两条切线， A， B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值解 (1)设圆 M 的方程为( x a)2( y b)2 r2(r0)，根据题意得Error!解得 a b1， r2，故所求圆 M 的方程为( x1) 2( y1) 24.(2)由题意知，四边形 PAMB 的面积为 S S PAM SPBM (|AM|PA
9、| BM|PB|)12又| AM| BM|2，| PA| PB|，所以 S2| PA|，而|PA|2| PM|2| AM|2| PM|24，所以 S2 .因此要求 S 的最小值，只需求| PM|的最小值，即在直线|PM|2 43x4 y80 上找一点 P，使得| PM|的值最小，所以| PM|min3，所以四边形 PAMB 面积的最小值为 2 2 .|PM|2 4 5延伸拓展1若过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x2 y2 kx2 y k2150 相切，则实数 k 的取值范围是_解析 由 k244( k215)0，得 0，得 k2.所以 k 的取值范围是 .(833， 3) (2， 833)7答案 (833， 3) (2， 833)2(2017山西运城二模)已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2，圆心 C 到直线l： x2 y0 的距离为 ，且圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 31，则圆 C 的方程为55_解析 设圆 C 的方程为( x a)2( y b)2 r2，则点 C 到 x 轴， y 轴的距离分别为|b|，| a|.由题意可知Error!Error!或Error!故所求圆 C 的方程为( x1) 2( y1) 22 或( x1) 2( y1) 22.答案 ( x1) 2( y1) 22 或( x1) 2( y1) 22
