1、港湾可航行域的设计模型第 25 卷第 6 期2005 年 12 月黄冈师范学院JournalofIuanggangNormalUnivershyV01.25No.6Dec.2005港湾可航行域的设计模型库在强,何木兵(黄冈师范学院数学系.湖北黄州 438000)摘要:充分运用 Mathematiea 数学软件,通过小三角插值法,曲面拟合及不可航行线组合,最终得到一幅可知危险度的港湾可航行区域图.关键词:小三角插值法;曲面拟合;拟合精度;不可航行线中图分类号:0212.1 文献标识码:A 文章编号:10038078(2005)06000904ModelofDesignAvailableSaili
2、ngAreainTheHarborKUZaiqiang,HEMubing(Dept.ofMath.?HuanggangNormalUniversity,Huangzhou438000.Hubei,China)Abstract:ApplyingtheMathematieaSoftware.surveyingtechnologyoftrigonomentricalinterpolation,surfacefittingandthecombinationofunavailablesailingcourses,weobtainapictureaboutavailablesailingareainest
3、uary,withwhichtherisklevelsareshown.Keywords:surveyingtechnologyoftrigonomentriealinterpolation;surfacefitting;accuracyofsurfacefitting;unavailablesailingcourse1 问题的提出表 1 给出某港坐标为(75.200)X(-85,150)米的矩形海域内一些点(X 为横坐标.y 为纵坐标),在退潮时测得的水深(z)数据,请根据该表设计一个吃水深度为 1.8 米的船的可航行区域+袭 1 所给海域内一些点的水深2 问题的分析及假设假设港湾底为光滑曲
4、面,不出现断裂现象.根据已测定点的三维坐标进行适当插值,插值后得到插值点的三维坐标与原来已知点的三维坐标结合起来作为新的已知点.再根据新的已知点三维坐标.进行曲面拟合,可求得港湾底曲面拟合函数,同时可求出拟合精度盯.由于航海危险度S 主要受曲面拟合精度盯和退潮时平均水深影响,因而假定航海危险度 SS(盯,z).最后作出港湾底所成曲面的等高线,即得不可航行线,将这些不可航行线投影到同一平面内,就形成一幅不可航行趋势图(用阴影部分表示),根据其回 lE|趋势,将其补充完整,得到一幅可知危险度的港湾可航行区域图(用空白部分表示).3 方法的确立,算法说明及求解3.I 方法的确立由于空间任意三点可以唯
5、一确定一个而.当空问三点所确定的三角形的面积较大时.这三点之间收稿日期2005n1 卜】2.作者简介;库存强,男,湖北武穴人,剐教援,主要从事系统优化模型研究黄冈师范学院第 25 卷的地形可能很复杂,因此尽可能将围成面积相对较小且投影到同一平面后成锐角三角形的三个邻近点作为一组研究对象.先按最近邻原则对三维坐标排序,即排序时遵行以下两个规则:先按 z 值从小到大排列;若.z 值相同,则按 Y 值从大到小排列.再将排好序的坐标绘制在同一直角坐标系中,并依次标上序号 1,2,3,.将 r 个顶点的散点图围成平面图,要求尽可能形成较多的锐角三角形(如图 2).记平面图中所有锐角三角形的三个顶点在三维
6、空间中所成的面积依次为 S,当 S,上上上=时,则称面积为 S 的三角形为小三角形 .f,tT1设每个小三角形的三个顶点坐标依次为:A(嚣,Y),A(,Y,),A(z,Y,),此时插值点(即小三角形的重心)的坐标为:(专垫,专 ,专),U?笔者将此种插值方法,称为“小三角插值法“, 运用此种方法得到的插值点 ,称为“小三角插值点“.在Mathematica 软件中求解该类问题,可按以下三个步骤进行.第一步:根据小三角插值法的原理,将已测定点投影到同一平面内 (如图 1),找出可进行小三角插值的点组(如图 2).第二步:将小三角插值点坐标与原已知点的三维坐标结合起来 ,形成新已知点,坐标依次为:
7、(,Y,),(z,Yz,zz),(z,Y,).根据新已知点的三维坐标可以拟合出曲面函数 f(x,),定义曲面拟合精度嘲= ,(五,Y) 一.,航海危险度定义为 S 一 =100%.一第三步:根据船的吃水深度和曲面拟合函数,编写程序作出不可航行线及不可航行趋势图,再根据不可航行趋势图作出港湾可航行区域图.3.2 在 Mathematiea 软件中的关键程序及运行结果先确定可进行小三角插值法的点组,(*)内为算法说明.In1:dat=77.0,3.0?一 2.67),81.0,56.5,一 2.67),195.0,137.5,一 2.67);(*输入已测定点的坐标*)n;:Lengthdat;(*
8、求点的个数*)ListPlotTable(dati,1,dati,2,i,n,PlotStyle-PointSizeo.oz,AxesOrigin一7O,一9O).(*作出这个点在同一平面上的射影图,点的大小为 0.02,让两坐标轴交于点(70,一90)*)Out1:$O0 工土 e1 舯 O150图 1,t 个点平面投影图图 2 小三角形点图将图 l 按 3.1 所述的方法依次连接各点,得到图 2.根据小三角插值法原理 ,编程寻找符合小三角插值法的点组.,3nOU98?.,32啪 m.啪第 6 期库在强,等:港湾可航行域的设计模型Inz:(先输入已测定点的坐标,所有锐角三角形的顶点序号组 l
9、 及组数)a=Table(dtEEli,122,1一 dt1i,222,122)十(dtIi,12,222-dt1i,2,2).+(dtE1i,122,3-dtE1i,2,3).)专,i,n;b=Table(dt1i1,1一 dt1i,3,1)+(dt1i,1,2-dt1i,3,2)十(dtE1i,1,32-dtIEEi,3,3).)专,i,n);c=Table(dtE1i,2,1一 dt1i,3,1).+(dtEIEEi,2,2-dt1i.3,2)+(dt1j,2,3-dt1i,33,3).)-i,i,n);p:吉(a+b+c);s=P(pa)(pb)(p-c);DoIfsEE1Isi,Pr
10、int1i212,i,nOutZ:(2,3,5(2,4,5(1,2,4(4,7,8(1O,12,13再求曲面拟合函数,曲面拟合精度,航海危险度,作出不可航行线及不可航行趋势图.In3:(先输入符合小三角插值法的点组 Ist 及组数 n=LengthIst2)st=百 1(Tabledt1stEEi,1+dtElstEEl,2+dt1stEEl,3,i,n);(*求所有小三角插值点坐标*)data=Joindt,st;(*将所有小三角插值点坐标与原已知点三维坐标连接起来*)r=6;SSTableExiy,i,0,r,j,0,r;funs:FlattenTableDropssi,1 一 i,i,r
11、+1;(*要拟合的函数中出现的已知函数*)vars 一x,Y;(* 拟合函数中的自变量*)Print“曲面拟合函数 f(x,y);“g-fEx 一,Y 一2=Fitdata,funs,vars;(*输出曲面拟合函数 *)k=Lengthdata;(*求新的三维坐标的个数 *)Print,曲面拟合精度 d 一,d=Sum(fdatai,1,datai,2212-dataEEi,3).,i,k;Print航海危险度 s=意罚赢丽 1l;(*输出危险度*)Print“得到曲面拟合图像如下:Plot3Dg,x,20,250),y, 100,200,PlotPoints-4.0,Boxed-False,
12、Axes“False2;GraphicsImplicitPlot;(*在 Graphics 中调出 ImplicitPlot*)sd=l-8;b 一 0.1;h 一 10;(*给船的吃水深度,间距,海拔赋值*)mFloor(h+sd)/b;(*求不可航行线条数 *)Fori=0,m,i 十十,pEi;ImplicitPlotg=-sd+b*i,x,75,200),(y,一 85,150),AxesOrigin-*“75,一 85,PlotStyle-,-Thickness0.o15,DisplayFunction-“Identity;(*隐藏作出一系列不同吃水深度的不可航行线*)Print,得
13、到的第一幅不可航行线图如下:;ShowEp0.DisplayFunction-$DisplayFunction;Print,得到的最后一幅不可航线图如下:“;ShowEPEm2.DisplayFunction-*“$DisplayFunction;Print,得到的不可航线趋势图(阴影部分)如下:“;S11owETableEPEi,li,0,m,DisplayFunction-$DisplayFuncton;(*作不可航行趋势图*)Out32:得到曲面拟合函数 f(x,y)及曲面拟合图像(略)曲面拟合精度 d=:1.09683X10“航海危险度 S:1.337610图 3 为第一幅不可航行线图
14、,图为晟后一幅不可航行线图.图 5 为不可航行趋势图,黄冈师范学院第 25 卷图 3 第一幅不可航行线图图 4 最后一幅不可航行线图图 5 不司航行趋势图图 6 完整的航海图最后根据图 5 提供的不可航行趋势图,作出完整的航海图如图 6 所示.图 6 中,在(75,200)(一 85,150)区域内的空白处,便是该港湾可航行区域.4 对插值方法的评述及误差原因分析本文采用的是“小三角插值法 “,适用于网格化和非网格化样品点研究区域 ,但它只能在面积相对较小的三角形的重心点插值.从理论上讲,用函数命令作曲面拟合的时候,并不是基函数的次数越高,拟合精度也就越高.相反若次数过高,很容易产生龙格现象幻
15、(即拟台函数在某些点严重偏离实际情况).因而要提高曲面拟合程度,一般是改进插值方法,使得插值更能接近实际.文中取,一6 时是比较理想的,既接近实际,又能保证一定的精度.相对于传统二次曲面插值方法,小三角插值方法简单.而且给人直观的感觉.如果提供的数据越多,运用 Mathematica 数学软件求解,所得到的结果就越精确,无需繁琐的表达式和复杂的计算过程,只要控制好uns 的表达式,就能快速准确的得到结果.本文的求解对结果引起的误差可以从以下四个方面来研究:1,在退潮时测得的水深(z)数据引起的系统误差,这在现实生活中是无法避免的,减小误差的主要方法是采用更精密的测量工具;2,插值方法引起的系统
16、误差,导致由插值方法得到的拟合函数及与其相关的指标就有误差.减小误差就要结台实际情况选择恰当的插值方法,插值方法的选择对结果有至关重要的作用;3,拟台基函数的次数,的取值对作出的不可航行线及不可航行趋势图引起的误差,减小误差主要结合实际情况,既要考虑 l何提高拟合精度,又要避免产生龙格现象 J;(下转第15 页)第 6 期庄科俊:一类具多时滞的捕食者食饵系统的 Hopf 分支-1s?=击qoo(p.一 2r+2)一 iq. o(户+pr+rjq.)其中 D(户+pr+q2)Z+(户一 2,.)+2).,于是 l 一= 西 1q2w.2p2_2r+25一(口 nT.)+(n22y)+2 叫:0.
17、引理 3 对方程(4), 当 rEO,ro)时,其所有根都具有严格负实部;当 r=r.时,方程(4)除叫.外的其他根都具有严格负实部;当 r(,rj+1时,方程(4)有 2(_+1)个具严格正实部的根,=0,1,2, ,其中 r 由(5)式定义.只要注意到在条件(B)下,当 r=0 时方程(4)的根都具严格负实部,于是应用4中的引理及上述引理 1 和引理 2,即可得该引理的结论.应用引理 13 和 J.Hale5的第 11 章的定理 1.1,可得如下定理:定理 I 假设条件(B) 成立,则对方程(2) 有(1)rEO,ro)时,其零解是渐进稳定的 ;(2)rr0 时,其零解不稳定;(3)r-r
18、j(j=0,1,2,)是其 Hopf 分支值,其中由(5)式定义.参考文献:E1YSong,JWei.LocalHopfbifurcationandglobalperiodicsolutionsinadelayedpredatorpreysystemJ.JMathAnalAppl,2005,31:1“-21.2宋永利,韩茂安 ,魏俊杰.多时滞捕食一食饵系统正平衡点的稳定性及全局 Hopf分支J.数学年刊,2004,25A(6):783790.3林宏康,谢向东 .一类 Leslie 模型的定性分析J.数学研究.1996,30(3):308311.4CookeK.GrossmanZ.Discret
19、eDelay,DistributedDelayandStabilitySwitchesJ.JMathAnalAppl,1982.86:592627.?5HaleJ,LunelSV.IntroductiontOFunctionalDifferentialEquationsM-.NewYork;SpringerVerlag,1993.6HassardB,KazarinoffN,WanYH.TheoryandApplicationsofHopfBifurcationM.Cambridge:CombridgeUnivPress.】98】.(上接第 12 页)4,根据不可航行趋势图作出完整的航海图引起的误差,减小误差主要依据文献5中连通性知识与增加不可航行线趋势海拔作图.参考文献:1美D 尤金,着(邓建松,彭冉冉,译).Mathematica 使用指南M. 上海 t 科学出版社?2002.2郑咸义.计算方法 M.广东 t 华南理工大学出版社.2003.3张韵华.等 .数值计算方法和算法M.上海:科学出版社,2000.4察可文,等 .Mathematica 的数值分析功能及其应用J.山东轻工业学院,2003,(3);6671.5熊金城.点集拓扑讲义 M.北京:高等教育出版社.1998.
