1、12.3.1 抛物线及其标准方程课时作业A组 基础巩固1经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )A y28 x B x2 yC y28 x或 x2 y D无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为 y22 px(p0)或 x22 py(p0)，将点(2,4)代入可得 p4 或 p ，所以所求抛物线标准方程为 y28 x或 x2 y，故选 C.12答案：C2已知抛物线 C： y2 x的焦点为 F， A(x0， y0)是 C上一点，| AF| x0，则 x0( )54A1 B2C4 D8解析：由题意知抛物线的准线为 x .因为| AF| x0，根据抛物线的定义可得14 54x0
2、| AF| x0，解得 x01，故选 A.14 54答案：A3若动点 M(x， y)到点 F(4,0)的距离等于它到直线 x40 的距离，则 M点的轨迹方程是( )A x40 B x40C y28 x D y216 x解析：根据抛物线定义可知， M点的轨迹是以 F为焦点，以直线 x4 为准线的抛物线，p8，其轨迹方程为 y216 x，故选 D.答案：D4已知双曲线 C1： 1( a0， b0)的离心率为 2.若抛物线 C2： x22 py(p0)的焦点x2a2 y2b2到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为( )A x2 y B x2 y833 1633C x28 y D
3、x216 y解析：抛物线的焦点 ，双曲线的渐近线为 y x，不妨取 y x，即 bx ay0，(0，p2) ba ba2焦点到渐近线的距离为 2，即 ap4 4 c，所以 ，双曲线的离心率|ap2|a2 b2 a2 b2 ca p4为 2，所以 2，所以 p8，所以抛物线方程为 x216 y.故选 D.ca ca p4答案：D5(2015高考浙江卷)如图，设抛物线 y24 x的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A， B， C，其中点 A， B在抛物线上，点 C在 y轴上，则 BCF与 ACF的面积之比是( )A. B.|BF| 1|AF| 1 |BF|2 1|AF|2 1C. D.
4、|BF| 1|AF| 1 |BF|2 1|AF|2 1解析：由图形可知， BCF与 ACF有公共的顶点 F，且 A， B， C三点共线，易知 BCF与 ACF的面积之比就等于 .由抛物线方程|BC|AC|知焦点 F(1,0)，作准线 l，则 l的方程为 x1.点 A， B在抛物线上，过 A， B分别作 AK， BH与准线垂直，垂足分别为点 K， H，且与 y轴分别交于点 N， M.由抛物线定义，得|BM| BF|1，| AN| AF|1.在 CAN中， BM AN， .|BC|AC| |BM|AN| |BF| 1|AF| 1答案：A6已知抛物线 y22 px(p0)的准线与圆 x2 y26 x
5、70 相切，则 p的值为_解析：依题意得，直线 x 与圆( x3) 2 y216 相切，因此圆心(3,0)到直线 x 的p2 p2距离等于半径 4，于是有 3 4，即 p2.p2答案：27设抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，定点 A(0,2)若线段 FA的中点 B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点 F的坐标为 ，(p2， 0)线段 FA的中点 B的坐标为 ，(p4， 1)代入抛物线方程得 12 p ，p43解得 p ，故点 B的坐标为 ，2 (24， 1)故点 B到该抛物线准线的距离为 .24 22 324答案：3248对于抛物线 y24 x上任意一点 Q，点
6、P(a,0)都满足| PQ| a|，则 a的取值范围是_解析：设 Q(x0，2 0)(x00)，x则| PQ| | a|对 x00 恒成立， x0 a 2 4x0即( x0 a)24 x0 a2对 x0 恒成立化简得 x (42 a)x00.20当 42 a0 时，对 x00， x (42 a)x00 恒成立，此时 a2；20当 42 a0 时，0 x02 a4 时不合题意答案：(，29已知圆 A：( x2) 2 y21 与定直线 l： x1，且动圆 P和圆 A外切并与直线 l相切，求动圆的圆心 P的轨迹方程解析：如图，作 PK垂直于直线 x1，垂足为 K， PQ垂直于直线 x2，垂足为 Q，
7、则|KQ|1，所以| PQ| r1，又| AP| r1.所以| AP| PQ|.故点 P到圆心 A(2,0)的距离和到定直线 x2 的距离相等所以点 P的轨迹为抛物线， A(2,0)为焦点直线 x2 为准线 2. p4.p2点 P的轨迹方程为 y28 x.10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 O P1 m，水从喷头 P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2 m， P距抛物线的对称轴 1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22 py(p0)，依题意有 P(1，1)，在此抛物线上，代入得4p ，12故得
8、抛物线方程为 x2 y.又因为 B点在抛物线上，将 B(x，2)代入抛物线方程得 x ，即| AB| ，2 2则水池半径应为| AB|1 1，2因此所求水池的直径为 2(1 )，约为 5 m，2即水池的直径至少应设计为 5 m.B组 能力提升1已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， P3(x3， y3)在抛物线上，且 2x2 x1 x3，则有( )A| FP1| FP2| FP3|B| FP1|2| FP2|2| FP3|2C2| FP2| FP1| FP3|D| FP2|2| FP1|FP3|解析：| FP1| x1 ，| FP2|
9、x2 ，| FP3| x3 ，p2 p2 p22 x2 x1 x3，2| FP2| FP1| FP3|.答案：C2已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2， y0)若点 M到该抛物线焦点的距离为 3，则| OM|等于( )A2 B2 C4 D22 3 5解析：设抛物线方程为 y22 px(p0)，则焦点坐标为 ，准线方程为 x ，(p2， 0) p2 M在抛物线上， M到焦点的距离等于到准线的距离，即 2 3， p2，抛物线方程为p2y24 x， M(2， y0)在抛物线上， y 8，20| OM| 2 .22 y20 22 8 3答案：B3已知抛物线 y22 px
10、(p0)上一点 M(1， m)(m0)到其焦点的距离为 5，双曲线 y21x2a的左顶点为 A.若双曲线的一条渐近线与直线 AM平行，则实数 a等于_5解析：由抛物线定义知 1 5， p8，p2抛物线方程为 y216 x，所以 m216， m4，即 M(1,4)，又因为 A( ，0)，双曲线渐近线方程为 y x，a1a由题意知 ， a .41 a 1a 19答案：194如图，正方形 ABCD和正方形 DEFG的边长分别为 a， b(a b)，原点O为 AD的中点，抛物线 y22 px(p0)经过 C， F两点，则 _.ba解析：正方形 ABCD和正方形 DEFG的边长分别为 a， b， O为
11、AD的中点， C ， F .(a2， a) (a2 b， b)又点 C， F在抛物线 y22 px(p0)上，Error! 解得 1.ba 2答案： 125已知抛物线 y2 x与直线 y k(x1)相交于 A， B两点(1)求证： OA OB；(2)当 OAB的面积等于 时，求 k的值10解析：(1)证明：设 A( y ， y1)， B( y ， y2)21 2则 y1 k( y 1)， y2 k( y 1)，21 2消去 k得 y1(1 y ) y2(1 y )2 21( y2 y1) y1y2(y1 y2)，又 y1 y2， y1y21， y1y2 y y y1y2(1 y1y2)0，OA
12、 OB 212 OA OB.(2)S OAB 1|y2 y1|，12由Error! 得 ky2 y k0， S OAB 1|y2 y1| ，12 12 1k2 4 106 k .166已知抛物线 y22 px(p0)试问：(1)在抛物线上是否存在点 P，使得点 P到焦点 F的距离与点 P到 y轴的距离相等？(2)在抛物线上是否存在点 P，使得点 P到 x轴的距离与点 P到准线的距离相等？解析：(1)假设在抛物线上存在点 P，使得点 P到焦点 F的距离与点 P到 y轴的距离相等那么根据抛物线定义，得点 P到准线的距离与点 P到 y轴的距离相等，这显然是不可能的所以在抛物线上不存在点 P，使得点 P到焦点 F的距离与点 P到 y轴的距离相等(2)假设在抛物线上存在点 P，使得点 P到 x轴的距离与点 P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点 P到 x轴的距离与点 P到焦点的距离相等这样的点是存在的，有两个，即当 PF与 x轴垂直时，满足条件.
