1、1选修 44 坐标系与参数方程第 1 课时 坐 标 系理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，能运用极坐标解决相关问题. 了解极坐标系. 会正确将极坐标方程化为直角坐标方程. 会根据所给条件建立直线、圆的极坐标方程，并能运用极坐标解题.1. （选修 44P11例 5 改编）在直角坐标系中，点 P 的坐标为（ ， ） ，求点 P2 6的极坐标.解： 2 ，tan ，又点 P 在第三象限，得（ 2） 2 （ 6） 2 2 6 2 3 ，即 P（2 ， ）.43 2432. （选修 44P17习题 9 改编）在极坐标系中，已知 A，B 两点的极坐标分别为 ，(3， 3)，求AOB （
2、其中 O 为极点）的面积.(4， 6)解：由题意 A，B 两点的极坐标分别为 ， ，得AOB 的面积 S(3， 3)(4， 6)AOB OAOBsinAOB 34sin 3.12 12 63. 在极坐标系中，求圆 2cos 的圆心到直线 2sin 1 的距离.( 3)解：圆的普通方程为（x1） 2y 21，直线的普通方程为 xy10，3 圆心到直线的距离为 d .3 124. （选修 44P19例 1 改编）在极坐标系中，求过圆 2sin 的圆心，且与极轴平行的直线的极坐标方程.解：由题意，圆 2sin ，可化为 22sin ，化成直角坐标方程为x2y 22y，即 x2（y1） 21，圆心是（
3、0，1） ，所求直角坐标方程为 y1，所以其极坐标方程为 sin 1.5. 在极坐标系中，求圆 4 上的点到直线 （cos sin ）8 的距离的最3大值.解：把 4 化为直角坐标方程为 x2y 216，把 （cos sin ）8 化为直角坐标方程为 x y80，3 3 圆心（0，0）到直线的距离为 d 4，82 直线和圆相切， 圆上的点到直线的最大距离是 8.1. 极坐标系是由距离（极径）与方向（极角）确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对（，）与点不一一对应.这点应与直角坐标系区别开来.2. 在极坐标系中，同一个点 M 的坐标形式不尽相
4、同，M（，）可表示为（，2n） （nZ）.3. 在极坐标系中，极径 可以为负数，故 M（，）可表示为（，（2n1） （nZ）.24. 特别地，若 0，则极角 可取任意角.5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点 M（，） ，建立等式，化简即得.6. 常见曲线的极坐标方程（1） 过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程为 （R）或（R） ；（2） 过点（a，0） （a0） ，与极轴垂直的直线的极坐标方程为 cos a；（3） 过点 ，与极轴平行的直线的极坐标方程为 sin a；(a， 2)（4） 圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 r；（5） 圆心为（
5、a，0） ，半径为 a 的圆的极坐标方程为 2acos ；（6） 圆心为 ，半径为 a 的圆的极坐标方程为 2asin .(a， 2)7. 以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，平面内任一点 P 的直角坐标（x，y）与极坐标（，）可以互换，公式是 和 x cos ，y sin ) 2 x2 y2，tan yx. ) , 1 求极坐标或极坐标方程) , 1) 在极坐标系中，已知点 A ，圆 C 的方程为 4 sin (2， 4) 2（圆心为点 C） ，求直线 AC 的极坐标方程.解：（解法 1）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角
6、坐标系 xOy.圆 C 的平面直角坐标方程为 x2y 24 y，2即 x2（y2 ） 28，圆心 C（0，2 ）.2 2点 A 的直角坐标为（ ， ）.2 2直线 AC 的斜率 kAC 1.22 20 2所以直线 AC 的直角坐标方程为 yx2 ，2极坐标方程为 （cos sin ）2 ，2即 sin 2.( 4)（解法 2）在直线 AC 上任取一点 M（，） ，不妨设点 M 在线段 AC 上.由于圆心为 C ，S OAC S OAM S OCM ，(22， 2)所以 2 2sin 2sin 2 sin ，即 （cos 12 2 4 12 ( 4) 12 2 ( 2 )sin ）2 ，2化简，
7、得直线 AC 的极坐标方程为 sin 2.( 4)备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）在极坐标系中，求曲线 2cos 关于直线 （R）对称的曲线的极坐标 4方程.解：（解法 1）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线2cos 的直角坐标方程为（x1） 2y 21，且圆心 C 的坐标为（1，0） ，直线 的直角坐标方程为 yx. 4因为圆心 C（1，0）关于 yx 的对称点为（0，1） ，3所以圆 C 关于 yx 的对称曲线为 x2（y1） 21，所以曲线 2cos 关于直线 对称的曲线的极坐标方程为 2sin . 4（解法 2）设曲线 2cos 上任意一点为（，） ，
8、其关于直线 的对 4称点为（，） ，则 ， 2k 2 .)将（，）代入 2cos ，得 2cos ，即 2sin ，( 2 )所以曲线 2cos 关于直线 （R）对称的曲线的极坐标方程为 42sin . , 2 极坐标方程与直角坐标方程的互化) , 2) （2017苏州期中）已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数，r0）.以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正x rcos 2，y rsin 2)半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 10.2 ( 4)（1） 求圆 C 的圆心的极坐标；（2） 当圆 C 与直线 l 有公共点时，求 r 的取值范围
9、.解：（1） 由 C： 得（x2） 2（y2） 2r 2，x rcos 2，y rsin 2) 曲线 C 是以（2，2）为圆心，r 为半径的圆， 圆心的极坐标为 .(22， 4)（2） 由直线 l： sin 10，得直线 l 的直角坐标方程为 xy10，2 ( 4)从而圆心（2，2）到直线 l 的距离 d .|2 2 1|2 52 2 圆 C 与直线 l 有公共点， dr，即 r .52 2 变式训练（2017苏州期初）自极点 O 任意作一条射线与直线 cos 3 相交于点 M，在射线 OM 上取点 P，使得 OMOP12，求动点 P 的轨迹的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程.解：设 P（，
10、） ，M（，） ， OMOP12， 12. cos 3， cos 3.12则动点 P 的轨迹的极坐标方程为 4cos . 极点在此曲线上， 方程两边可同时乘 ，得 24cos . x 2y 24x0. , 3 曲线的极坐标方程的应用) , 3) 在极坐标系中，曲线 C：2acos （a0） ，直线 l：cos ， C 与 l 有且仅有一个公共点.( 3) 32（1） 求 a；（2） O 为极点，A，B 为 C 上的两点，且AOB ，求 OAOB 的最大值. 3解：（1） 曲线 C 是以（a，0）为圆心，以 a 为半径的圆；4直线 l 的直角坐标方程为 x y30.3由直线 l 与圆 C 相切可
11、得 a，解得 a1.|a 3|2（2） 不妨设 A 的极角为 ，B 的极角为 ， 3则 OAOB2cos 2cos ( 3)3cos sin 2 cos ，3 3 ( 6)当 时，OAOB 取得最大值 2 . 6 3 变式训练在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x ） 2（y1） 29，以 O 为极点，x 轴的3正半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求圆 C 的极坐标方程；（2） 直线 OP： （R）与圆 C 交于点 M，N，求线段 MN 的长. 6解：（1） （x ） 2（y1） 29 可化为 x2y 22 x2y50，3 3故其极坐标方程为 22 cos 2sin 50.3（2） 将
12、代入 22 cos 2sin 50，得 2250， 6 3 1 22， 1 25，|MN| 1 2| 2 .（ 1 2） 2 4 1 2 61. （2017苏北四市期中）已知曲线 C 的极坐标方程为 sin（ ）3，以极 3点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线 C 的直角坐标方程.解：由 sin 3，得 sin cos 3.( 3) 12 32又 cos x，sin y，所以曲线 C 的直角坐标方程为 xy60.32. （2017苏锡常镇一模）已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为2， 22 cos 2.2 ( 4)（1） 把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐
13、标方程；（2） 求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解：（1） 由 2 24，所以 x2y 24.因为 22 cos 2，2 ( 4)所以 22 2，2 (cos cos 4 sin sin 4)所以 x2y 22x2y20.（2） 将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 xy1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin .( 4) 223. （2017苏北三市模拟）在极坐标系中，已知点 A ，点 B 在直线 l：cos (2， 2)sin 0（02）上.当线段 AB 最短时，求点 B 的极坐标.解：以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点 A 的直角坐
14、标为（0，2） ，直线 l 的直角坐标方程为 xy0.(2， 2)5AB 最短时，点 B 为直线 xy20 与直线 l 的交点，由 解得x y 2 0，x y 0， ) x 1，y 1. )所以点 B 的直角坐标为（1，1）.所以点 B 的极坐标为 .(2，34)4. （2017常州期末）在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知圆 4sin（ ） （0）被射线 0（ 0为常数，且 0 6）所截得的弦长为 2 ，求 0的值.(0， 2) 3解：圆 4sin 的直角坐标方程为（x1） 2（y ） 24，射线( 6) 3 0的直角坐标方程可以设为 ykx（x0
15、，k0） ，圆心（1， ）到直线 ykx 的距离 d .3|k 3|1 k2根据题意，得 2 2 ，解得 k ，4 （ k 3） 21 k2 3 33即 tan 0 .又 0 ，所以 0 .33 (0， 2) 61. （2017南通、扬州、泰州模拟）在极坐标系中，圆 C 的圆心在极轴上，且过极点和点 ，求圆 C 的极坐标方程 .(32， 4)解：（解法 1）因为圆 C 的圆心在极轴上且过极点，所以可设圆 C 的极坐标方程为 acos .又点 在圆 C 上，所以 3 acos ，解得 a6.(32， 4) 2 4所以圆 C 的极坐标方程为 6cos .（解法 2）点 的直角坐标为（ 3，3）.(
16、32， 4)因为圆 C 过点（0，0） ， （3，3） ，所以圆心在直线 xy30 上.又圆心 C 在极轴上，所以圆 C 的直角坐标方程为（x3） 2y 29.所以圆 C 的极坐标方程为 6cos .2. 已知在极坐标系下，圆 C：2cos 与直线 l：sin ，点 M( 2) ( 4) 2为圆 C 上的动点.求点 M 到直线 l 距离的最大值.解：圆 C：2cos ，即 x2y 22y0，x 2（y1） 21，表示圆心为( 2)（0，1） ，半径等于 1 的圆.直线 l：sin ，即 cos sin 20，即 xy20，( 4) 2圆心到直线 l 的距离为 ，|0 1 2|2 322故圆上的
17、动点 M 到直线 l 的距离的最大值等于 1.3223. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 4cos .（1） 求出圆 C 的直角坐标方程；6（2） 已知圆 C 与 x 轴相交于 A，B 两点，若直线 l：y2x2m 上存在点 P 使得APB90，求实数 m 的最大值.解：（1） 由 4cos 得 24cos ，即 x2y 24x0，即圆 C 的标准方程为（x2） 2y 24.（2） l 的方程为 y2x2m，而 AB 为圆 C 的直径，故直线 l 上存在点 P 使得APB90的充要条件是直线 l 与圆 C 有公共点，故 2，于
18、是实数 m 的最大值为 2.|4 2m|5 54. 在极坐标系中，已知直线 2cos sin a0（a0）被圆 4sin 截得的弦长为 2，求 a 的值.解：以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 2xya0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2y 24y，即 x2（y2） 24.因为直线被圆截得的弦长为 2，所以圆心（0，2）到直线的距离为 ，4 1 3即 ，因为 a0，所以 a 2.|2 a|5 3 151. 极坐标方程与直角坐标方程的互化（1） 将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式xcos ，ysin 即可
19、.常用方法有代入法、平方法，还经常用到同乘（或除以） 等技巧.（2） 将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用 xcos ，ysin 以及 ，tan （x0） ，同时要掌握必要的技巧，通常情x2 y2yx况下，由 tan 确定角 时，应根据点 P 所在象限取最小正角.在这里要注意：当 x0时， 角才能由 tan 按上述方法确定.当 x0 时，tan 没有意义，这时又分三种yx情况：当 x0，y0 时， 可取任何值；当 x0，y0 时，可取 ；当 x0，yb0）的参数方程是 （ 为参数）.x2a2 y2b2 x acos ，y bsin )（4） 双曲线方程 1（a0，b0）
20、的参数方程是 （t 为参数）.x2a2 y2b2 x a2(t 1t)，y b2(t 1t)（5） 抛物线方程 y22px（p0）的参数方程是 （t 为参数）.x 2pt2，y 2pt )4. 在参数方程与普通方程的互化中要注意变量的取值范围.1 参数方程与普通方程的互化1（2017南京、盐城期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l： （tx 35t，y 45t)为参数）.现以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设圆 C 的极坐标方程为 2cos ，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求弦 AB 的长.解：直线 l： （t 为参数）化成普通方程为 4x3y0，
21、x 35t，y 45t)圆 C 的极坐标方程 2cos 化成直角坐标方程为（x1） 2y 21，则圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ，|4|42 （ 3） 2 45所以 AB2 .1 d265 变式训练在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 （t 为参数）与曲线x 1 55t，y 1 255t)9（ 为参数）相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.x sin ，y cos 2 )解：将直线的参数方程化为普通方程，得 y2x1 .将曲线的参数方程化为普通方程，得y12x 2（1x1） .由，得 或x 1，y 1) x 0，y 1， )所以 A（1，1） ，B（0，1）或 A（0，1） ，B
22、（1，1） ，从而 AB .（ 1 0） 2 （ 1 1） 2 5备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正x 1 22t，y 22t )半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 2cos .若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长. 解：由 2sin 2cos ，可得 22sin 2cos ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 22y2x，标准方程为（x1） 2（y1） 22.直线 l 的方程化成普通方程为 xy10.圆心到直线 l 的距离为 d ，| 1 1 1|2 22所
23、求弦长 AB2 .2 (22)2 6 , 2 求曲线参数方程) , 2) 如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，求圆 x2y 2x0 的参数方程.解：设 P（x，y） ，则随着 取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x2y 2x0，即 y 2 ，表示以 为圆心， 为半径的圆，可得弦 OP1cos (x12)2 14 (12， 0) 12，所以 从而x OPcos ，y OPsin ， ) x cos2 ，y cos sin ， )故已知圆的参数方程为 （ 为参数）.x cos2 ，y cos sin )备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）已知直线 C1： （t 为参数） ，曲线
24、 C2： （ 为参数）.x 1 tcos ，y tsin ) x cos ，y sin )（1） 当 时，求 C1与 C2的交点坐标； 3（2） 过坐标原点 O 作 C1的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 变化时，求点 P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解：（1） 当 时，C 1的普通方程为 y （x1） ，C 2的普通方程为 3 3x2y 21，联立构成方程组 解得 C1与 C2的交点坐标分别为（1，0） ，y 3x 3，x2 y2 1， ).(12， 32)（2） 依题意，C 1的普通方程为 xsin ycos sin 0，则 A 点的坐标为（sin 2，sin cos ）
25、，故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为10（ 为参数） ，x 12sin2 ，y 12sin cos )所以点 P 轨迹的普通方程为 y 2 .(x14)2 116故点 P 的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆.(14， 0) 14 , 3 参数方程的应用) , 3) （2017南通、泰州模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线（l 为参数）与曲线 （t 为参数）相交于 A，B 两点，求线段 ABx 32 22l，y 22l ) x18t2，y t )的长.解：（解法 1）将曲线 （t 为参数）化成普通方程为 y28x，x 18t2，y t )将直线 （l 为参数）代入 y28x，整理得 l28
26、 l240，x 32 22l，y 22l ) 2解得 l12 ，l 26 .则|l 1l 2|4 ，所以线段 AB 的长为 4 .2 2 2 2（解法 2）将曲线 （t 为参数）化成普通方程为 y28x，x 18t2，y t )将直线 （l 为参数）化成普通方程为 x y 0，x 32 22l，y 22l ) 32由 得 或 所以 AB 的长为 4 .y2 8x，x y 32 0) x12，y 2) x 92，y 6.) (92 12)2 （ 6 2） 2 2备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）已知直线 l： （t 为参数）恒经过椭圆 C： （ 为参x tcos m，y tsin ) x 5
27、cos ，y 3sin )数）的右焦点 F.（1） 求 m 的值；（2） 设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 FAFB 的最大值与最小值.解：（1） 椭圆的参数方程化为普通方程，得 1.x225 y29因为 a5，b3，所以 c4，所以点 F 的坐标为（4，0）.因为直线 l 经过点（m，0） ，所以 m4.（2） 将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程，并整理得（9cos 225sin 2）t 272tcos 810.设点 A，B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1，t 2，则FAFB|t 1t2| .819cos2 25sin2 819 16sin2当 sin 0
28、时，FAFB 取最大值 9；11当 sin 1 时，FAFB 取最小值 .8125 , 4 极坐标、参数方程的综合应用) , 4) （2017苏锡常镇二模）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线 C1的参数方程为（0，2， 为参数） ，曲线 C2的极坐标方程为x 3 2cos ，y 3 2sin )sin a（aR） ，若曲线 C1与曲线 C2有且仅有一个公共点，求实数 a 的值.( 3)解：曲线 C1的方程为（x ） 2（y3） 24，圆心坐标为（ ，3） ，半径为 2.3 3 曲线 C2的极坐标方程为 sin a（aR）
29、 ，( 3) 曲线 C2的直角坐标方程为 xy2a0.3 曲线 C1与曲线 C2有且仅有一个公共点， 2，解得 a1 或 a5.|3 3 2a|2备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： （ 为参数）.以原点 O 为极点，x 6cos ，y 2sin )x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （cos sin ）40.3求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离.解：将 l 转化为直角坐标方程为 x y40.3在 C 上任取一点 A（ cos ， sin ） ，0，2） ，则点 A 到直线 l 的距离为6 2d sin 2.|6cos 6s
30、in 4|2 |23sin( 4) 4|2 3 ( 4)当 时，d 取得最大值，最大值为 2 ，此时 A 点为（ ，1）. 4 3 31. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 sin a，曲线 C2的参数方程为 （t 为参数，( 4) 22 x 1 cos t，y 1 sin t)0t）.当 C1与 C2有公共点时，求实数 a 的取值范围.解：曲线 C1的直角坐标方程为 xya.若 C1与 C2有公共点，则 axysin tcos t 2 在 t0，上有解，又 sin tcos t2 sin 2，因为2 (t 4)t0，所以 t
31、，sin ， 4 4， 54 (t 4) 22， 1所以 a 的取值范围为3， 2.22. （2017苏北四市期末）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线 l： sin m（mR） ，圆 C 的参数方程为2 ( 4)（t 为参数） .当圆心 C 到直线 l 的距离为 时，求 m 的值.x 1 3cos t，y 2 3sin t) 2解：直线 l 的直角坐标方程为 xym0，圆 C 的普通方程为（x1） 2（y2） 29，圆心 C 到直线 l 的距离为 ，|1 （ 2） m|2 2解得 m1 或 m5.3. （2016江苏卷）在平面直角坐标系 xOy
32、 中，已知直线 l 的参数方程为12（ t 为参数） ，椭圆 C 的参数方程为 （ 为参数）.设直线 l 与x 1 12t，y 32t ) x cos ，y 2sin )椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.解：椭圆 C 的普通方程为 x2 1，将直线 l 的参数方程 代入y24 x 1 12t，y 32t )x2 1，y24得 1，即 7t216t0，(112t)2 (32t)2 4解得 t10，t 2 .167所以 AB|t 1t 2| .1674. （2017扬州期末）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴的
33、正半轴为极轴建立极坐x cos ，y 1 sin2 )标系，直线 l 的极坐标方程为 ，试求直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标. 4解：将直线 l 的极坐标方程化成直角坐标方程为 yx，将曲线 C 的参数方程化成普通方程为 y2x 2（1x1）.由 得 x2x20，解得 x1 或 x2.y x，y 2 x2)又1x1，所以 x1，所以直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标为（1，1）.1. 在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （R） ，以极点为原点，极轴为 3x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，x 2cos ，y 1 cos 2 )求直线 l 与曲
34、线 C 的交点 P 的直角坐标.解：因为直线 l 的极坐标方程为 （R） ，所以直线 l 的普通方程为 y x. 3 3又曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，x 2cos ，y 1 cos 2 )所以曲线 C 的直角坐标方程为 y x2（x2，2） ， 12联立解方程组得 或 （舍去）.x 0，y 0) x 23，y 6 )故 P 点的直角坐标为（0，0）.2. （2017苏州期末）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线x 1 22t，y 2 22t)C 的极坐标方程为 sin 24cos 0，已知
35、直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求线段AB 的长.13解：因为曲线 C 的极坐标方程为 sin 24cos 0，所以 2sin24cos ，即曲线 C 的直角坐标方程为 y24x.将直线 l 的参数方程 代入抛物线方程 y24x ，x 1 22t，y 2 22t)得 4 ，即 t28 t0，(222t)2 (1 22t) 2解得 t10，t 28 .2所以 AB|t 1t 2|8 .23. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C： （s 为参数） ，直线 l：x s，y s2)（t 为参数）.设曲线 C 与直线 l 交于 A， B 两点，求线段 AB 的长度.x 2 110t，
36、y 4 310t)解：由 消去 s 得曲线 C 的普通方程为 yx 2；x s，y s2)由 消去 t 得直线 l 的普通方程为 y3x 2.x 2 110t，y 4 310t)联立直线 l 的方程与曲线 C 的方程，即 y x2，y 3x 2， )解得交点的坐标分别为（1，1） ， （2，4）.所以线段 AB 的长度为 .（ 2 1） 2 （ 4 1） 2 104. （2017南京、盐城模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： （tx 1 35t，y 45t )为参数）与曲线 C： （k 为参数）交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.x 4k2，y 4k )解：（解法 1）直线 l
37、的参数方程化为普通方程得 4x3y4，将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y24x.联立方程组 解得 或4x 3y 4，y2 4x， ) x 4，y 4) x 14，y 1， )所以 A（4，4） ，B 或 A ，B（4，4）.(14， 1) (14， 1)所以 AB .(4 14)2 （ 4 1） 2 254（解法 2）将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y24x.将直线 l 的参数方程代入抛物线 C 的方程得 4 ，即 4t215t250，(45t)2 (1 35t)所以 t 1t 2 ，t 1t2 .154 254所以 AB|t 1t 2| （ t1 t2） 2 4t1t2 .(154)2 25 254141. 在直线的参数方程 （t 为参数）中 t 的几何意义是表示在直线x x0 tcos ，y y0 tsin )上过定点 P0（x 0，y 0）与直线上的任一点 P（x，y）构成的有向线段 P0P 的长度，且在直线上任意两点 P1，P 2的距离为 P1P2|t 1t 2| .（ t1 t2） 2 4t1t22. 参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧（如整体代换） ；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易忽视.备课札记
