1、1遂宁市高中 2020 级第二学期期末教学水平监测数 学 试 题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分150 分。考试时间 120 分钟。第卷（选择题，满分 60 分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选
2、项中，只有一项是符合题目要求）1. 的值是sinco12A B C D1214182. 已知 ，则下列不等式正确的是0abA B C D 2abab2ab3. 已知等比数列 中， ， ，则n51967A4 B4 C D1644. 若向量 ， ， ，则 等于(1,)ar(,)br(,2)crcrA. B. 3231abC. Dabr 2r5. 在 中， 60 ， ， ，则 等于ABC43abBA45或 135 B135 2C45 D306. 在 中，已知 ，那么 一定是AB2sincosiABCABA. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D正三角形7. 不等式 对任何实数 恒成
3、立，则 的取值范围2308kxxk是A. (3，0 ) B. (3，0 C. 3，0 ) D. 3，08. 莱茵德纸草书(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100 磅面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的 是较小的三份之和，则最小12的 1 份为A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅539032099. 如图，为测得河对岸塔 的高，先在河岸上选一点 ，使 在ABC塔底 的正东方向上，此时测得点 的仰角为 再由点 沿北B45偏东 方向走 到位置 ，测得 ，则塔 的150mDAB高是A. 10 B. 10 2C. 10 3m
4、D. 10 610. 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且nabnnAB3，则使得 为质数的正整数 的个数是7453nABnabnA2 B3 C4 D511. 如图，菱形 的边长为 为 中点，若 为D2,60,AMCN菱形内任意一点（含边界） ，则 的最大值为NurA. B. C. D. 3236912对于数列 ，定义 为数列 的na112nnaaALn“诚信”值，已知某数列 的“诚信”值 ,记数列n 12nA+=的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，nak-S5N则实数 的取值范围为A. B. 916,47167,3C. D. 2,3525,第卷（非选择题，满分 90 分）4注意
5、事项：1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第 卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2 试 卷 中 横 线 及 框 内 注 有 “ ”的 地 方 ， 是 需 要 你 在 第 卷 答 题 卡 上 作 答 。二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 不等式 的解集为 .01x14. 化简 .tan2ttan20tg15. 已知 ，并且 ， ， 成等差数列，则 的最小,b1b4ab值为 .16. 已知函数 ()fx的定义域为 ,若对于 、 、D,cD()ff分别为某个三角形的边长，则称 ()fx为“三角形函数” 。给()fc出下列四个函数： ； ；()4sinfx23()cosin8fxx
6、 ； .3i()2sf1i)(cos)(),(0)sf 其中为“三角形函数”的数是 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ）17 （本题满分 10 分）已知 , 是互相垂直的两个单位向量， ，ivj 2aijv.32b（）求 的值；|abr（）当 为何值时， 与 共线.kkr2abr518 （本题满分 12 分）已知 是等比数列， ，且 ， ， 成等差数列.na12a13a4（）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 n 项和 .nb=bnS19 （本题满分 12 分）已知函数 .213cos()sinfxxx（）求 的单调递增区间；（）若
7、 ， ，求 的值.04x， 3fxcos2x20 （本题满分 12 分）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”。某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用 （单位：元）满足如下关系：w10x。此外，还需要投入其它成本（如施肥的2510()345x人工费等） 元.已知这种水果的市场售价为 16 元/千克，且市场需2x求始终供不应求。记该棵水果树获得的利润为 （单位：元） 。()fx（）求 的函数关系式；()fx6（）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润
8、是多少？21 （本题满分 12 分）如图：在 中， ，点 在线段 上，且ABC223bacDAC.2D（）若 ， 求 的长；43DBC（）若 ，求DBC 的面积最大值2AC22 （本题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 且 .na,nS32,na*N（）求证 为等比数列，并求出数列 的通项公式；12nn（）设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，对任意nSnT，不等式 恒成立？若存在，求出 的最小值，*,mnNm0T若不存在，请说明理由.7遂宁市高中 2020级第二学期期末教学水平监测数学试题参考答案及评分意见一、选择题（512=60）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9、 12答案 C B A D C A B D B A D C二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 14.1 15.9 (,)-16. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17 （10 分）解：（1）因为 , 是互相垂直的单位向量，所以 ,irj 21ijr0ijr; 27abijvr2 分 222|()49()7()53ijijijrvr5 分（2） 与 共线，kabr2r ， 又 不共线； (),abr8 分 ,21k 12k10 分8【解法二】解：设 与 的夹角为 ，则由 ， 是互相垂直的单位向量，不妨arbir
10、j设 , 分别为平面直角坐标系中 轴、 轴方向上的单位向量，ij xy则 1 分12,3,rr（1） 27,ab 2|7()53abr5 分（2） ，1,23,2kabkr7 与 共线， krr3kk8 分 1210 分18 （12 分）（1）设等比数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列naq1a34 ， 3142()2 分即 342a432aq . 1n6 分（2）由 2nb11()2nnnSL923 11 (1)2nnnS L8 分两式作差： 31 nnS1()2n10 分 1()2nnS+=-12 分19 （12 分）解:（1） 213cos()sinfxxx21in3sin3sico
11、s2xsin(2)6x3 分令 ， 62kk3kk5 分所以， 的单调递增区间为 ， . fx63k， kZ6 分（2） ，3sin26fx 04， x6cos23x9 分 cos26x10 分1031cos2sin266xx. 13332612 分20 （12 分）（1） 62fxwx28031602465=xx6 分（2）当 0x时 max240ff8 分当 5x时 16703fxx1670430x当且仅当 时，即 时等号成立 1x11 分答：当投入的肥料费用为 30 元时， 种植该果树获得的最大利润是 430 元. 12 分21 （12 分） 2222 1cos33acbbacB1 分(
12、1)法一、在 中,设 , 由余弦定理可得：ABC=ACm 2493ma112 分在 和 中，由余弦定理可得：ABDC2 221616433cos,cos8mmaBDC又因为 ss0ADB 得 22216164338mam236ma4 分由得 . 3,1a3BC6 分法二、向量法： 得 2AD1223DBACururur3 分得221()3BBCurr5 分22441()| |993urur |3 (|BC舍 ）r6 分（2） 21cos,(0,)sin1cos33BQ7 分12由 222244333bacacacc （当且仅当 取等号） 10 分由 ，可得2ADC112sin333BCBSac
13、 的面积最大值为 . 12 分22 （12 分）解析：（1)证明：当 时， 1n=11322Sa1 分当 时， 2n1133 22nnaSaQ2 分两式作差： n1133S=()()22nna得 ， 1 132()nnna4 分以 1 为首项，公比为 2 的等比数列; 2na5 分1+n13（2） 代入 得 1+2naQn3S= 2na1S=2n6 分由 11n-1S()()022nnn 为递增数列， nmin13()S7 分nn21b=-S令 nn2(b=-12)+1nn-1n n-1b2-122（ ） （ ） （ ） （ ）9 分当 时， ；=13Tb当 时， ；2n2415当 时，3 n-112()()(1371)2nnTbLL； 9152n9385142mnTS11 分存在正整数 对任意 ，不等式 恒成立，*,mnNmn0T正整数 的最小值为 1 12 分14
