1、12.3.1 直线与平面垂直的判定课时作业A 组 基础巩固1如果一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是( )A B C D解析：能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，中的两直线有可能平行答案：A2.如图， BC 是 Rt ABC 的斜边，过 A 作 ABC 所在平面 的垂线 AP，连接 PB、 PC，过 A 作 AD BC 于 D，连接 PD，那么图中直角三角形的个数是( )A5 B6C7 D8解析：题图中直角三角形有 ABC， ADC， ADB， PAD， PAC， PAB， PDC， PDB.答案：D3.如图，
2、已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是 2，且 SO平面ABCD， O 为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( )A75 B60C45 D30解析： SO平面 ABCD，则 SAC 就是侧棱与底面所成的角，在 Rt SAO中， SA2， AO ， SAO45.2答案：C4空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC、 BD 的关系是( )A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交解析：取 BD 中点 O，连接 AO， CO，则 BD AO， BD CO， BD面AOC， BD AC，又 BD、 AC 异面，选 C.答案：C5已知 P 是 ABC 所在平面外的一点，点 P
3、与 AB、 AC、 BC 的距离相等，且点 P 在 ABC 上的射影 O 在 ABC 内，则 O 一定是 ABC 的( )2A内心 B外心 C重心 D中心解析：如图所示，过点 P 作 PD AB， PE AC， PF BC，分别交AB、 AC、 BC 于点 D、 E、 F.O 是点 P 在平面 ABC 内的射影，连接OD、 OE、 OF.因为点 P 到 AB、 AC、 BC 的距离相等，且 PO平面 ABC，所以 PD PE PF， PO PO PO，又因为 POD POE POF90，所以 OD OE OF，因为 PO AB， PD AB，且 PD PO P.所以 AB平面 POD，所以 A
4、B OD.同理可证得 OF BC， OE AC.又因为 OD OE OF，所以点 O 到三角形三边的距离相等，故点O 为 ABC 的内心，故选 A.答案：A6在三棱锥 OABC 中，三条棱 OA， OB， OC 两两互相垂直，且 OA OB OC， M 是 AB 的中点，则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值大小是_解析：画出三棱锥(图略)，将 OM 与平面 ABC 所成的角放在直角三角形 OMC 中求解，易知tan OMC .OCOM 122 2答案： 27已知 a， b， c 是三条直线， 是平面若 c a， c b， a ， b ，且_(填上一个条件即可)，则有 c .解析：由直线与平
5、面垂直的判定定理知，若 c ，需 c 垂直平面 内的两条相交直线答案： a b A8.如图所示，在正三棱锥 ABCD 中， E， F 分别为 BD， AD 的中点，EF CF，则直线 BD 与平面 ACD 所成的角为_解析：因为三棱锥 ABCD 为正三棱锥，所以可证 AB CD.又 EF CF，所以 AB CF，所以 AB平面 ACD，故可知直线 BD 与平面 ACD 所成的角为 BDA45.答案：459.如图，在 ABC 中， B90， SA平面 ABC，点 A 在 SB 和 SC 上的射影分别为 N、 M.求证： MN SC.证明： SA平面 ABC， BC平面 ABC， SA BC. B
6、90，即 AB BC， AB SA A， BC平面 SAB. AN平面 SAB， BC AN.又 AN SB， SB BC B， AN平面 SBC.3 SC平面 SBC. AN SC.又 AM SC， AM AN A， SC平面 AMN. MN平面 AMN， SC MN.10.如图所示， AB 是圆柱的母线， BD 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上一点，且 AB BC2， CBD45.(1)求证： CD平面 ABC；(2)求直线 BD 与平面 ACD 所成角的大小解析：(1)证明： BD 是底面圆的直径， CD BC.又 AB平面 BCD， CD平面 BCD， AB CD. AB BC
7、C， CD平面 ABC.(2)取 AC 的中点 E，连接 DE(图略)，由(1)知 BE CD，又 E 是 AC 的中点，AB BC2， ABC90， BE AC， BE面 ACD，直线 BD 与面 ACD 所成的角为 BDE.而 BE面 ACD，则 BE ED，即 BED 为直角三角形又 AB BC2， CBD45，则 BD2 ， BE ，2 2sin BDE ， BDE30.BEBD 12B 组 能力提升1.如图所示，在正四棱锥 SABCD(顶点 S 在底面 ABCD 上的射影是正方形 ABCD 的中心)中， E 是 BC 的中点， P 点在侧面 SCD 内及其边界上运动，并且总是保持 P
8、E AC.则动点 P 的轨迹与 SCD 组成的相关图形最有可能是图中的( )解析：如图所示，连接 BD 与 AC 相交于点 O，连接 SO，取 SC 的中点 F，取 CD 的中点 G，连接 EF， EG， FG，因为 E， F 分别是 BC， SC 的中点，所以 EF SB， EF平面 SBD， SB平面 SBD，所以 EF平面 SBD，同理可证 EG平面 SBD.又 EF EG E，所以平面 EFG平面 SBD，4由题意得 SO平面 ABCD， AC SO，因为 AC BD，又 SO BD O，所以 AC平面 SBD，所以 AC平面 EFG，所以 AC GF，所以点 P 在直线 GF 上答案
9、：A2如图所示，下列五个正方体图形中， l 是正方体的一条对角线，点 M， N， P 分别为其所在棱的中点，能得出 l平面 MNP 的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形的序号) 解析：按照线面垂直的判定定理判断，关键是在平面 MNP 内找到两条与 l 垂直的相交直线答案：3.如图所示， ACB90，平面 ABC 外有一点 P， PC4 cm， PF， PE垂直于 BC， AC 于点 F， E，且 PF PE2 cm，那么 PC 与平面 ABC 所3成角的大小为_解析：过 P 作 PO 垂直于平面 ABC 于 O，连接 CO，则 CO 为 ACB 的平分线连接 OF，可证明 CFO 为直角三
10、角形， CO2 ，2Rt PCO 中，cos PCO ，22 PCO45.答案：454.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形已知AD2， PA2， PD2 ，求证： AD平面 PAB.2证明：在 PAD 中，由题设 PA2， AD2， PD2 ，可得2PA2 AD2 PD2，于是 AD PA.在矩形 ABCD 中， AD AB，又 PA AB A，所以 AD平面 PAB.5.如图所示，已知 Rt ABC 所在平面外一点 S，且 SA SB SC， D 为斜边 AC 上的中点(1)求证： SD平面 ABC.(2)若 AB BC，求证： BD平面 SAC.证明：(1)因为 SA SC， D 为 AC 的中点，所以 SD AC.连接 BD，在 Rt ABC 中，有 AD DC DB，5所以 SDB SDA，所以 SDB SDA，所以 SD BD.又 AC BD D，所以 SD平面 ABC.(2)因为 AB BC， D 是 AC 的中点，所以 BD AC.又由(1)知 SD BD，所以 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线，所以 BD平面 SAC.
