1、1,函数单调性,单调区间,第四节 函数的单调性曲线的凹凸性,曲线凹凸性,曲线的拐点,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,定理1,单调增加;,单调减少.,一、单调性的判别法,3,证,拉氏定理,(1),(2),此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.,4,例,解,定义域为,5,方法,定义,判定区间内导数的符号。,的分界点,二、单调区间求法,单调区间?,导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间,6,例,解,定义域,单调区间为,7,例,解,定义域,8,区间内有限或无穷多的离散点处导数为零,不影响区间的单调性.,单调增加.,内可导,等号在,内单调增加.,9,例,证,10,?,(concave an
2、d convex),三、曲线凹凸性的判别法,1.定义,如何研究曲线的弯曲方向,11,定义,凹,(凸),任意弧段在 所张弦的下方,任意弧段在 所张弦的上方,12,凹弧:,是单增的,凸弧:,是单减的.,利用二阶导数判断曲线的凹凸性,几何直观:,13,定理2,二阶导数,凹,(凸),2. 凹凸性的判别法,14,证,这说明切线位于曲线的下方,一阶泰勒公式,即f (x)是凹的.,15,例,解,凸,变,凹,的分界点.,16,1.定义,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的,拐点.,几何上,四、曲线的拐点及其求法,(inflection point),拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,17,拐点的充分条件,2. 拐点的求法,拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.,拐点的必要条件,具有二阶导数,则点,(1),(2),是拐点的必要条件为,(或 x0 为二阶导数不存在的点),18,例,解,拐点,拐点,不存在,定义域为,(1),(2),(3),列表,19,例,解,20,例,证,定不出符号,21,例,证,设,图形是凹的.,利用函数图形的凹凸性证明不等式:,22,证,法一,用单调性证.,法二,用凹凸性证.,例,设,23,证,练习,若令,只须证明,单调增加.,拉氏定理,单调增加.,
