1、概率论与数理统计复习题填空题1.设随机变量X 的分布律为 ，则 A= 。1(),2,34kPXA答案： 1652.设总体 服从均匀分布 , 为未知参数。 为来自总体(1)U12,nXX 的一个简单随机样本， 为样本均值，则 的矩估计量为 。X答案： 123.设 X 服从参数为 1 的指数分布 ，Y 服从二项分布 ，(1)e(10,.5)B则 。()DY答案： 2.54.设 A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有两个发生”可表示为。答案： ABC5.某袋中有 7 个红球、3 个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到红球的概率为 。答案：0.76.设 A,B,C 为三
2、个随机事件，则“A,B,C 中只有一个发生”可表示为 。 答案： ABC7.某袋中有 9 个红球、3 个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为 。答案：0.25选择题1、一批产品中有正品也有次品，从中随机抽取三件，设 A，B，C 分别表示抽出的第一件、第二件、第三件是正品，下列事件不能描述“正品不多于两件”的是（ C ） 。（A） （B）BCACAB（C） （D）2、设总体 ， 为来自总体 X 的一个样本， 为样本均(3,16)XN1216,X X值，则( A )(A) (B) (0,)4(3)(0,1)N(C) (D) 3,14XN,16X3、在假设检验中， 表
3、示原假设， 表示对立假设，则犯第一类错误的情况0H为( C )（A） 真，接受 （B） 不真，接受000H0（C） 真，拒绝 （D） 不真，拒绝4、设 是来自均值为 的总体的样本，其中 未知，则下列估计量1234,X中不是 的无偏估计的是( B )。（A） （B） 11234()6TX123425XXT（C） （D） 5.344123418设 X 服从参数为 的 Poisson 分布，即 ，则 （ A ） 。()P()EX(A) 1 (B) (C) (D) 016.设随机变量 相互独立， ，则 （ (2,4)(,),NYXY且 2ZYZB ） 。(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C
4、) N(0,6) (D) N(0,46)简答题设随机变量 Z 在 上服从均匀分布，5,6， ， 写出 的联合分布律。0,1X,1ZY(,)XY解：，40,1,11PXYPZPZ，0，2,5111PXYPZPZ即为YX -1 10 401 215设某种元件的寿命 (单位：小时)服从指数分布，其概率密度为X。130,(),xefx（1）求元件寿命超过 600 小时的概率；（2）若有 3 个这种元件在独立的工作，求其中至少有 2 个元件的寿命超过 600小时的概率。解：（1） 230601xPXed（2）至少有 2 个元件的寿命超过 600 小时的概率为23463()()Ce一盒灯泡共 12 个，其
5、中 10 个合格品，2 个废品（点时不亮）。现从中任取一个使用，若取出的是废品，则废品不再放回，再取一个，直到取得合格品为止。求在取得合格品以前已取出的废品数 X 的分布律、数学期望和方差。解：X 的所有可能取值为 0，1，2. 故 X 的分布律为， ， ，02P253P 2106P即0 1 2kp566所以 2765,13EXDX设随机变量 X 与 Y 相互独立, 下表给出了二维随机变量 的联合分布律及(,)XYX 和 Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表的空白处。 （注意：必须有简单的计算依据，无依据扣分）YX 1y23yiiPXxp1x241.jjPYyp21答案：因为 X
6、 与 Y 独立，所以 。又 ，故得如下.,12,3ijijpj,1ijp表格。YX 1y23yiiPXx1x41228263.jjPYyp311设总体 具有密度函数X，(1), 01(;), xfx其 它其中 是未知参数， 是来自总体 的样本。1,nX X求：（1） 的矩估计量； （2） 的极大似然估计量。解：（1） 101()()d2EXx令 , 解得2.X（2） 11()(,)(,),nni niLfxx 1l()l()liiLx1dln()ln0ii令 ，解得 所以 1.lniix1.lniiX设 是来自总体 X N(0,6)一个简单随机样本，若1234,X服从 分布，求 。 （要有求解
7、过程） 。234(+)()Yab2()n,abn解： 12120, 0,1:3434(,)(,)XXNN且 1234,相 互 独 立 ，2()()()00:12,3nab甲厂和乙厂生产同样的产品，生产后集中到一起。已知甲厂生产的产品占60%，乙厂生产的产品占 40%。两厂生产产品的次品率分别为 1%和 2%。现从这些产品中任取一件，求取到的恰好是次品的概率。解：设 A：任取一件恰好是次品 B：甲厂生产, 则 =60%*1%+40%*2%=0.014()(|)(|)PPBA设随机变量 的概率密度函数为X2, 0()Axf其 它求：（1） 的值；（2） 的分布函数 ；（3） 。)(xF()DX解：
8、解：（1） ， 得 20()1fxdA令 8A（2） 3,()()81,2xxFf（3） 20()()EXxfdxd22385223()(0DXEX设总体 X 服从参数为 的指数分布, 即，0(),xef其中 为未知参数， 为来自总体 X 的一个简单随机样本，求012,nX的最大似然估计 。解：1()1()(,)ninxiiLfxe1ll().ni令 解得 1ln()()0.nidLx1.nix故 的最大似然估计量为 1.niiX袋中有 5 个球，其中有 3 个红球、2 个白球，从中任取两球，求取出的两球颜色相同的概率。解：1325C箱子中有 10 只开关，其中 2 只是次品，8 只是正品。在
9、其中不放回地取两次，每次取一只。令，0,1X若 第 一 次 取 的 是 正 品若 第 一 次 取 的 是 次 品 0,1Y若 第 二 次 取 的 是 正 品若 第 二 次 取 的 是 次 品求 的联合分布律。),(Y解： ，8720,1945PX，Y，,0211945PX设 的概率密度函数为 ，求 X 的分布函数 。X20,()xfx()Fx解： ()()dxFft20,0d1,2,xtx设总体 的分布律为X-1 0 1Xp22(1)2()其中 为未知参数，现有 8 个样本观测值 ，0，1，1， ，0，01 ,（1）求 的矩估计 ； （2）求 的极大似然估计 。1 2解：（1） , 2()EX
10、， 得 4xEXx令 158（2）824221061()()()4()iiLP， lnl0ln6l令 ， ()10d得 258设总体 的概率密度函数为 ，其中 为未知参数，X1,()0xf其 他 0为来自这个总体的样本。),(21n求：（1） 的矩估计； （2） 的最大似然估计量。解：（1） 210 d11XEXx 令（2） 211()(),nni niLx1l()l()lniiLx解出 1dln()ln02iiLx:21lniix所以 的极大似然估计为 21.lniiX设有甲乙两个袋子，甲袋中有 3 个红球、4 个白球；乙袋中有 2 个红球、5 个白球。现在从甲袋中任取两个球放入乙袋中，再从
11、乙袋中任取一个球。（1）求从乙袋中取出的这个球为红球的概率；（2）若已知从乙袋中取出的这个球为红球，求从甲袋中取出的这两个球都为红球的概率。解：（1）A: 从乙袋中任取一个为红球 : 从甲袋中恰取出 k 个红球，k=0,1,2kB20()()|kkkPAPA12234342777432099796C（2）32722(|)(1(|)056B对同一靶子进行两次独立地射击，每次击中的概率为 0.9。设 表示两次射击X中击中靶子的次数。求 的分布函数 。X()Fx解： 022()*(.9).10.PXC1()820().1X 的分布律为：0 1 2p0.01 0.18 0.81X 的分布函数为： 。
12、0,.1()9,2xFx在正态总体 中随机抽取一个容量为 16 的样本， 为样本均值。求(30,4)NX。 （ ）|1PX.5691,(2)0.97解：， (30,)4|12931(2)(2)10.97.54PX对同一靶子进行两次独立地射击，每次击中的概率为 0.8。设 表示两次射击X中击中靶子的次数。求 的分布函数 。X()Fx解： 022()*(.8).0.4PXC11320()(.)6X 的分布律为：0 1 2p0.04 0.32 0.64X 的分布函数为： 。 0,.41()36,21xFx设 的联合概率密度函数为),(Y。231, 0,xyxyf其 它某商店销售一批电视机共 9 台，
13、其中有 2 台次品，7 台正品。目前已售出 2 台（不挑选） ，今从剩下 7 台中任搬一台，求此台为正品的概率。解：A: 任搬一台为正品, :卖出 k 件正品，k=0,1,2，则kB20()()|kkkPAPA12227799965C设 的联合概率密度为 ，),(YX1,02,(,)4xyxfxy其 它求边缘密度 ， 。并回答 和 是否相互独立？说明理由。)(xfX)(fYXY解：2012()(,)4xX dyfxfy其 它 102.x其 它2()(,)0yY xfyf其 它 4,4.80y其 它和 不相互独立，这是因为XY(,)().XYfxyfy设总体 的概率密度函数为 为来自总体 X()
14、,0,efx其 它 12,n的一个样本，求未知参数 的最大似然估计 。解：1()11()()niinnxxiiiLfxell).i令 解得 1ln()()0.nidLx1.nix故 的最大似然估计量为 1.niiX市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率比例为 3:2:1，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3。试求市场上该品牌产品的次品率。解：解：设 B：买到一件次品。Ai：买到 i 厂家产品；i=甲，乙，丙 123()|)(|)(|)(PBPABPABPA3200.3.1866设 的联合概率密度为 ，求 。),(YX1,0,2(,)xyxfxy其 它 (,)Co
15、vXY解： 120()(,)3xExfyddyY1201()(,)xXxyf y, 38CovEX设 的联合概率密度函数为),(Y。2, 01,2,xyyxf令求边缘密度 ， 。并回答 和 是否相互独立？说明理由。)(fX)(fYXY解：201()(,)xX ydxfxfy其 它 3401.x其 它12()(,)0yYffx其 它和 不相互独立，这是因为X(,)().XYfxyfy设二维随机变量 的联合概率密度函数为),(YX。26 01,(,),xyxyf其 它求边缘密度 ， 。并回答 和 是否相互独立？说明理由。)(fX)(fYXY解： ()(,)dyXfxf1206d,01,xyx其 他
16、()(,)Yfyfx12203,y其 他因为 ，所以 和 相互独立。,(XYxfyXY一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，在袋中同时取 3 只，以 X 表示取出的3 只球中的最大号码，求：（1） 的分布律；（2） 。()E答案：（1）X 的分布律为：，351()0.PC，235(4).2435()0.6PXCX 的分布函数为 （2）,3.14()0,5xFx()=30.1+4.5.6=E设连续型随机变量 的分布函数为 X2, 0()0, xABeFx求：（1）常数 A，B 的值；（2） 的概率密度函数 ；（3）X()f。P答案：（1）由 得 A=1；由 F(x)在 x=0 处连续，得 A+B=0，所以 B=-1。()1F（2） ；2, 0xefx（3） 21(1)PXFe
