1、函数极限的综合分析与理解数学不仅仅是工具，更是一种能力。一些数学的方法被其它学科广泛地运用。例如，经济学中的边际分析、弹性分析等方法。函数极限是高等数学中的一个重要问题。极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，欢迎批评指正。一、函数极限的定义和基本性质函数极限可以分成 x ，x两类，而运用 - 定义更多的见诸于已0x知极限值的证明题中。掌握
2、这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以 的极限为例， 在点 以 极限的定义是： 使当0xf0A,0,时，有 问题的关键在于找到符合定义要求()().x为 常 数的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999 年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例 1。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若 存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定0limx理证明 在 处的极限不存在。即如果 ， （f AxfnBxfn） ，则 在 处的极限不
3、存在。0,xnn和 f0x运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式 （ 均为多项式， ） 。设 的次数为 ,xQPfx, 0xQxPn的次数为 ， 当 时，若 ，则 ;若 ，则xmmnfmxf与 的最高次项系数之比；若 ，则 。Px。0()PxfQ0当 x时 ,二、运用函数极限的判别定理最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例 2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数与 ，并且要满足 ，从而证明或求得函数 的极限xghxhfxgxf值。三、应用等价无
4、穷小代换求极限掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了，让求解过程变得简明迅速。时， 与 ， 与 ， 与 ， 与 ， 与0xxsinxtaxarcsinxarctnxcos1， 与 ， 与 ， 与 ， 与 （ ）21l1logl1la0等等可以相互替换。特别需要注意的是，等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积因子，而对于加减法运算则不能运用。例如 ，不能直接把30sinlmx替换成 ，得出极限值为 0，实际上 。xsin 30sin1l6x四、运用洛必达法则求函数极限设函数 ， 在点 的某空心邻域可导，且 。当 时，fxga()0gxa（ 为常数或 ） ， 和
5、 的极限同时为 0 或 时才适用Axgf xf 洛必达法则。洛必达法则实际上把求函数极限问题转化为学生较为拿手的求导数问题。这使得求解思路简单程序化。而对于 等类型则需001、 、 、 、要对式子进行转化，或通分或取倒数或取对数等转化为 型，再使用洛必达、法则求极限。例如 的极限转化为求 的极限等等。然而，对于数xgf xfgeln列，则必须转化为函数再运用洛必达法则。这是因为如果把数列看作是自变量为 n 的函数时，它的定义域是一系列孤立的点，不存在导数。这是使用洛必达法则时必须要注意的一点。参见附例 3。五、泰勒公式的运用对于使用洛必达法则不易求出结果的复杂函数式，可以考虑使用泰勒公式。这样
6、将函数式化为最高次项为相同或相近的式子，这时就变成了求多项式的极限值（接着求值见上文所述方法） ，使计算一目了然。因此掌握和记忆常用基本初等函数的麦克劳林展开式是十分必要的。如 ， ， ， 等等。xesinxco1ln至于展开式展开多少，则要与题干中的自变量 最高次项保持一致。如利用泰勒公式展开 ，展开到 即可(原式 最高次项为240coslimxxe2cos,xe4xx)。4六、利用微分中值定理来求极限上连续，在 上可导，则至少存在一点 ，使(),fxab在 ,ab,ab即可看成特殊的极限，用 来求解。一般需 ()f ()fb要函数式可以看成同一函数的区间端点的差，这样可以使用微分中值定理。
7、参见附例 4。另外，一些重要的结论往往在求极限时可以直接加以引用，例如， ， ， 等等。10lim()xxe0sinl1xlim1nli1nx求极限的方法和技巧更多的在于实践中的摸索和探讨，上述方法只是笔者在高等数学学习和练习的一些心得，求极限的方法还有很多。局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，敬请批评指正。南开大学张阳和张效成老师的课堂教学给了笔者很大的启发，在此向两位老师表示感谢。附：例 1：对任意给定的 ，总存在正整数 ,使得当 时，恒有1,0Nn，是数列 收敛于 的（ ） 。2axnnxaA 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 解析：这
8、道题是 1999 年全国考研试卷(二)的数学选择题，这道题直接考察了对极限定义的掌握和理解。例 2：若 ， （ ） ， ， ，试ax1by10annyx1 211nyx证明数列 有相同的极限。 （见习题册 1 Page.18）,n解析：由已知条件易知， ，数列1211nyyxxa1 文中习题册是指南开大学薛运华，赵志勇主编的高等数学习题课讲义（上册） ，为学生用数学练习册。， 单调有界，可以推出 ， 收敛。 。设nxynxy2limli1nnnyxy， ，则 。AlimBxnli ,2AB例 3：求 的值。 （见课本 2 Page.153）21(ta)解析：这是数列。设 ，则对 可以运用洛必达
9、法则，1tanxxfxfxlim且原式= 。xfxlim例 4：求 2(arctnrta),01n解析：如例题 3，设 ，则在 上 连续，在xfc1,xf内可导。于是，1,x（使用微分中值定理可得） 。 2,()arctnarct1afxx。22,lim()x则 原 式 =参考书目1 张效成主编， 经济类数学分析（上册），天津大学出版社，2005 年 7 月2 薛运华，赵志勇主编， 高等数学习题课讲义（上册），南开大学3 张友贵等， 掌握高等数学（理工类、 经济类），大 连理工出版社，2004 年 11 月4硕士研究生入学考试试题，19842005 2 文中课本是指笔者使用的天津大学出版社 05 年 7 月版的经济类数学分析（上册） 张效成主编
