1、多边矩阵代数运算的同构定理和数据挖掘 罗纯 张应山 上海应用技术大学理学院 华东师范大学经济与管理学部 摘 要： 介绍了多边矩阵的基阵代数运算与剖面代数运算概念, 并给出了一些多边矩阵的基阵代数运算与剖面代数运算性质, 证明了多边矩阵的基阵代数运算与剖面代数运算是同构的。作为应用, 研究了多边矩阵剖面代数运算和数据挖掘之间的关系。关键词： 多边矩阵; 基阵; 剖面代数运算; 数据挖掘; 作者简介：罗纯 (1966-) , 男, 教授, 博士, 主要研究方向为试验设计、组合数学、系统科学。E-Mail:收稿日期：2017-09-04基金：上海市教育委员会本科重点课程建设项目 (2017 年度,
2、No.349) Isomorphism Theorems and Data Mining of Algebra Operations of Multilateral MatricesLUO Chun ZHANG Yingshan School of Sciences, Shanghai Institute of Technology; Faculty of Economits and Management, East China Normal University; Abstract： The concepts of algebra operations between basic multi
3、lateral matrices and subdivision surface of multilateral matrix were introduced, and many of the basic properties of subdivision of these algebra operations were presented, and some isomorphism theorems of these algebra operations were proved.The relationship among the algebra operation of subdivisi
4、on surface of the multilateral matrix, matrix left halftensor product and the data mining was cnvestigated with an aim of application.Keyword： multilateral matrices; basic multilateral matrices; the algebra operation of subdivision surface of multilateral matrix; data mining; Received： 2017-09-04再现性
5、要求人类采用的复杂系统的关系分析逻辑模型1可以不同, 但最终得到的结论应该是基本一致的, 都基本同于研究对象的客观真实结论。由于我们是使用多边矩阵的剖分来研究数据规律的, 同时是使用多边矩阵的基阵表示的代数运算来保证再现性的, 所以这种再现性用数学表达就是, 剖面的代数运算规则与基阵表示的代数运算规则之间是否具有同构关系?文献2中研究了多边矩阵的广义交叉乘法的一般运算法则, 文献3中研究了多边矩阵的剖分与数据挖掘的初步关系, 文献4中研究了多边矩阵和数据仓库的关系, 数据挖掘的一般内容可以参见文献5-7。本文要关注的问题是多边矩阵的基阵表示代数运算与剖面表示代数运算的同构关系, 其目的是为了研
6、究数据的多种预处理之间是否具有再现性?本文将给出多边矩阵剖面代数运算的一般概念的象数学定义, 并结合多边矩阵框架的基阵表示的代数运算的规则, 利用多边矩阵的运算法则, 推导出相应的多边矩阵剖面表示的基本运算规则和多边矩阵基阵表示的基本运算规则, 并证明它们的同构定理。为了加深对这些基本定理的理解, 结合数据挖掘中的“数据预处理”技术, 指出了这些定理和数据挖掘的基本关系和应用范围。1 多边矩阵运算与基阵表示运算的同构根据文献3, 多边矩阵的剖分运算, 可以写成如下形式:特别设多边矩阵 , 若以 HF 为剖面, 则 A 可以等价写成如下形式:多边矩阵的运算和剖面基阵运算等价, 即如下定理成立:定
7、理 1 (多边矩阵运算与基阵表示运算的同构定理) 设(1) 和+, 数乘 (线性运算) 。若 HF=KL, 即 H=K, F=L, 则(2) Hadamard 积 。若 HF=KL, 即 H=K, F=L, 则(3) 多边矩阵积*。若 F=K 则(4) 多边矩阵 kronecker 积 。(5) 转置*。对于任意 HF, 有证明使用多边矩阵的广义交叉乘法, 即框架使用基阵运算规则, 元素使用矩阵运算规则, 可以验证上述结论都是成立的。定理 1 说明:对于多边矩阵的各个剖面, 如果其框架使用基阵运算规则, 元素使用矩阵运算规则, 那么各个剖面之间的运算和多边矩阵的基本运算是同构的。多边矩阵的运算
8、规则是通过基阵的运算规则派生得到的, 由于基阵的基本运算规则满足分配率、结合律等基本性质, 故多边矩阵的基本运算规则也满足分配率、结合律等基本性质。多边矩阵的整体运算可以完全视作其基阵表示的普通矩阵运算。2 多边矩阵运算与其矩阵表示运算的同构多边矩阵的矩阵表示是通过基阵对应关系e (H) =e (0) (|H|) 和矩阵元素数据 (元素也可以是另外的多边矩阵) 对应关系 A (0) =A , 根据基阵的代数运算性质得到的。从定理 1 的基阵运算与多边矩阵运算的同构性质, 可以得到如下定理:定理 2 (多边矩阵运算与其矩阵表示运算的同构定理) 设则矩阵分别表示为:(1) 和+, 数乘 (线性运算
9、) 。若 HF=KL, 即 H=K, F=L, 则(2) Hadamard 积 。若 HF=KL, 即 H=K, F=L, 则(3) 多边矩阵积*。若 HF=KL, 即 H=K, F=L, 则(4) 多边矩阵 kronecker 积 。(5) 转置*。对于任意 HF, 有A=A证明根据对应关系e (H) =e (0) (|H|) 和 A (0) =A 等基阵和数据对应的性质, 将定理 1 的基阵和数据进行相应的对应替换即证。定理 2 说明:多边矩阵的运算规则也是通过其矩阵表示的运算规则派生得到的。其矩阵表示的运算规则, 等价于其相应基阵的运算规则。而多边矩阵的基阵和普通矩阵的基阵运算规则是相同
10、的, 于是其基本运算性质也是等价的。由于基阵的基本运算规则满足分配率、结合律等基本性质, 故多边矩阵的基本运算规则也满足分配率、结合律等基本性质。多边矩阵的整体运算可以完全视作其矩阵表示的普通矩阵运算。3 框架 (FK) H 下多边矩阵的剖面同构运算根据定理 1 和 2, 只要证明了多边矩阵剖面运算与相应基阵表示的同构性质, 也就得到多边矩阵剖面运算与相应矩阵表示的同构性质, 所以, 下面仅仅推导多边矩阵剖面的基阵表达性质, 由此就得到了相应运算的同构性质。定理 3 (框架 (FK) H 下多边矩阵的剖面同构运算定理) 设是 (FK) H 型多边矩阵, 其元素 A 是数值, 则多边矩阵 A 可
11、以写成如下形式:定理中多边矩阵 A 的各个形式都称为 A 的代数剖分运算, 依次称为沿框架FH、F、H、KH 的剖分, 将各个系数 A , A, A , A 视作为广义“数”, 按相应框架写成多边矩阵, 称相应的多边矩阵为相应的剖面。上述代数剖分运算给出了剖面和原始多边矩阵的代数关系, 即各个剖面的运算和多边矩阵的运算之间, 仅仅相差若干个换位多边矩阵, 所以所有运算是同构的。由于多边矩阵 的框架为 (FK) H, 故利用文献3中的框架的矩阵表示定理, 可以把多边矩阵 A 的标准基阵写成如下形式:在此框架下, 多边矩阵 A 的元素为此时多边矩阵 A 可以写成:此时多边矩阵 A 可以写成:此即定
12、理中的第 1 种形式的剖分。以 A 为元素按框架 FH 的剖面为这是其元素的矩阵表示是向量形式的多边矩阵。如果把剖面写成数值形式的矩阵表示, 那么同样, 令 , 则 A 是 KH 型多边矩阵, 此时多边矩阵 A 可以写成:此即定理中的第 2 种形式的剖分。以 A 为元素按框架 F 的剖面是这是其元素的矩阵表示是矩阵形式的多边矩阵。如果把剖面写成数值形式的矩阵表示, 那么 A (F) =A。同样, 令则 A 是 FK 型多边矩阵, 此时多边矩阵 A 可以写成:此即定理中的第 3 种形式的剖分。以 A 为元素按框架 H 的剖面是这是其元素的矩阵表示是矩阵形式的多边矩阵。如果把剖面写成数值形式的矩阵
13、表示, 则此因 A 可以看成 H (FK) 型多边矩阵。同样, 令 , 则 A 是 F 型多边矩阵, 此时多边矩阵 A 可以写成:此即定理中的第 4 种形式的剖分。以 A 为元素按框架 KH 的剖面为这是其元素的矩阵表示是向量形式的多边矩阵。如果把剖面写成数值形式的矩阵表示, 则因为所以 K (F, K) A 是 KHF 型多边矩阵。证毕。例 1 设 F=2= (1, 2) , K=3= (1, 2, 3) , H=4= (1, 2, 3, 4) , 其中, 框架 F、K、H 的各个行都不同, 那么下述矩阵中的 64 矩阵是多边矩阵 (FK) H 型的矩阵表示:A 沿 KH 的剖面是其矩阵表示
14、满足4 框架 (FK) (HL) 下多边矩阵的剖面同构运算根据定理 1 和 2, 只要证明了多边矩阵剖面运算与相应基阵表示的同构性质, 也就得到多边矩阵剖面运算与相应矩阵表示的同构性质, 所以, 下面仅需推导多边矩阵剖面的基阵表达性质, 由此就得到了相应运算的同构性质。定理 4 (框架 (FK) (HL) 下多边矩阵的剖面同构运算定理) 设是 (FK) (HL) =FHKL 型多边矩阵, 其元素 A 是数值, 则多边矩阵 A可写成如下形式:定理中多边矩阵 A 的各个形式都称为 A 的代数剖分运算, 依次称为沿框架FH、FL、KH、KL 的剖分, 将各个系数 A 、A 、A 、A 视作为广义“数
15、”, 按相应框架写成多边矩阵, 称相应的多边矩阵为相应的剖面。上述代数剖分运算给出了剖面和原始多边矩阵的代数关系, 即各个剖面的运算和多边矩阵的运算之间, 仅仅相差若干个换位多边矩阵, 所以所有运算是同构的.证明因为多边矩阵 的框架为 H (K) (HL) , 所以利用文献3中的框架的矩阵表示定理, 可以把多边矩阵 A 的标准基阵写成如下形式:在此框架下, 多边矩阵 A 的元素为此时多边矩阵 A 可以写成:型多边矩阵, 此时多边矩阵 A 可以写成:此即定理中的第 1 种形式的剖分。以 A 为元素按框架 FH 的剖面是这是其元素的矩阵表示是向量形式的多边矩阵。如果把剖面写成数值形式的矩阵表示, 那么同样, 令 , 则 A 是 KH 型多边矩阵, 此时多边矩阵 A 可以写成:此即定理中的第 2 种形式的剖分。以 A 为元素按框架 FL 的剖面是这是其元素的矩阵表示是矩阵形式的多边矩阵。如果把剖面写成数值形式的矩阵表示, 那么因为所以 AK (H, L) 是 FLKH 型多边矩阵。同样, 令 , 则 A 是 KH型多边矩阵, 此时多边矩阵 A 上述式子为此即定理中的第 3 种形式的剖分。以 A 为元素按框架 KH 的剖面是这是其元素的矩阵表示是矩阵形式的多边矩阵。如果把剖面写成数值形式的矩阵表示, 那么因为
