1、1剖析与圆有关的计算圆中有关的计算问题主要涉及以下三个知识点：1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解题，必须确定出直角三角形，根据两直角边的平方和等于斜边的平方求出未知线段；或者用同一字母表示出三条边长，并根据勾股定理列出方程求解；2. 利用三角函数：利用三角函数求线段长也必须在直角三角形中才能实施，在直角三角形中知道一角一边即可解此直角三角形得出未知的角和边，因此熟记特殊角的三角函数值是解决问题的基础；注意：在圆中，往往利用垂径定理和直径所对的圆周角以及切线的性质构造直角三角形。3. 利用相似三角形：利用相似三角形求线段长是圆中最重要的一种解题方法和思路。因此要善于发现和构造相似三角形。常见
2、的相似三角形模型有：例题 （南充）如图，已知 AB 是 O 的直径， BP 是 O 的弦，弦 CD AB 于点 F，交BP 于点 G， E 在 CD 的延长线上， EP EG，（1）求证：直线 EP 为 O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC 上运动，其他条件不变，若 BG2 BFBO。试证明 BG PG；（3）在满足（2）的条件下，已知 O 的半径为 3， sinB 。求弦 CD 的长。解析：（1）连结 OP，先由 EP EG，证出 EPG BGF，再由 BFG BGF OBP90，推出 EPG OPB90来求证。2（2）连结 OG，由 BG2 BFBO，得出 BFG BGO，得出 BGO
3、BFG90，根据垂线定理可得出结论。（3）连结 AC、 BC、 OG，由 sinB ，求出 OG，由（2）得出 B OGF，求出3OF，再求出 BF， FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以 2 得出 CD 长度。解答：（1）证明：连结 OP， EP EG， EPG EGP，又 EGP BGF， EPG BGF， OP OB， OPB OBP， CD AB， BFG BGF OBP90， EPG OPB90，直线 EP 为 O 的切线；（2）证明：如图，连结 OG， OP， BG2 BFBO， ，BGFO BFG BGO， BGO BFG90，3由垂线定理知： BG PG；（3）解：如图，
4、连结 AC、 BC、 OG、 OP， sinB ， ，3OGB OB r3， OG ，由（2）得 EPG OPB90， B BGF OGF BGF90， B OGF， sin OGF 3OFG OF 1， BF BO OF312， FA OF OA134，在 Rt BCA 中，CF2 BFFA， CF 。42BFA CD2 CF 。点拨：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值。【解题技巧】1. 充分利用直径，构建直角三角形，利用勾股定理，建立方程。2. 已知条件中的三角函数值，要转化为直角三角形中对应边的比例关系。3. 善于利用相似三
5、角形对应边成比例解决问题。例题 （北京）如图， AB 是 O 的直径， PA， PC 分别与 O 相切于点 A， C， PC 交 AB的延长线于点 D， DE PO 交 PO 的延长线于点 E。（1）求证： EPD EDO；（2）若 PC6， tan PDA ，求 OE 的长。434解析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明： EPD EDO；（2）连接 OC，利用 ，可求出 CD4，再证明 OED DEP，根据相似34tanPDA三角形的性质和勾股定理即可求出 OE 的长。答案：（1）证明： PA， PC 与 O 分别相切于点 A， C PA PC， APO EPD AB 是 O 的直径
6、 PA AB DE PO A E90 POA DOE APO EDO EPO EDO（2）解：连结 OC，则 OC PD在 Rt PAD 中， A90， PA PC6， tan PDA 34可得 AD8， PD10 CD4在 Rt OCD 中， OCD90， CD4， tan ODC可得 OC3， OD5在 Rt PCO 中，由勾股定理得PO可证 Rt DEO Rt PCO ，即OEDCP535 OE 5点拨：本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力。（答题时间：30 分钟）一、
7、选择题1. （张家港市二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（4，0） ， O 与 x 轴的负半轴交于 B（2，0） 。点 P 是 O 上的一个动点， PA 的中点为 Q。当点 Q 也落在 O上时， cos OQB 的值等于（ ）A. B. C. D. 121314232. （梧州一模）如图，过等腰 ABC 三边的中点 D、 F、 G 作 O，并与两腰 AB、 AC 分别相交于点 H、 E，若 B72，则 BDH（ ）A. 32 B. 34 C. 36 D. 723. 已知在 ABC 中， BAC90， M 是边 BC 的中点， BC 的延长线上的点 N 满足AM AN。 ABC 的内
8、切圆与边 AB、 AC 的切点分别为 E、 F，延长 EF 分别与 AN、 BC 的延长线交于 P、 Q，则 （ ）N6A. 1 B. 0.5 C. 2 D. 1.5*4. 一张半径为 2 的半圆图纸，沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示， O为半圆圆心，如果切点分直径之比为 3：1，则折痕长为（ ）A. 3 B. C. D. 10123*5.（北塘区二模）如图，扇形 OMN 的半径为 1，圆心角是 90。点 B 是弧 MN 上一动点，BA OM 于点 A， BC ON 于点 C，点 D、 E、 F、 G 分别是线段 OA、 AB、 BC、 CO 的中点， GF 与CE 相交于点 P，
9、 DE 与 AG 相交于点 Q。当四边形 EPGQ 是矩形时， OA 的长为（ ）A. B. C. D. 3232636二、填空题6. （甘孜州）如图，两个半圆外切，它们的圆心都在 x 轴的正半轴上，并都与直线y x 相切。若半圆 O1的半径为 1，则半圆 O2的半径 R 。77.（相城区模拟）如图，直线 l 与圆 O 相交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 P。若点 A 的坐标为（1，3） ， PB3 PA，则直线 l 的解析式为 。8.（西湖区一模）如图，已知 ABC， AC BC， C90。 O 是 AB 的中点， O 与AC， BC 分别相切于点 D 与点 E。点 F 是 O 与 A
10、B 的一个交点，连 DF 并延长交 CB 的延长线于点 G。则 CDG ，若 AB ，则 BG 。429.（上城区二模）如图， O 的半径 OD 经过弦 AB（不是直径）的中点 C， OE AB 交 O于点 E， PE OD，延长直径 AG，交 PE 于点 H，直线 DG 交 OE 于点 F，交 PE 于 K。若EF2， FO1，则 KH 的长度等于 。三、解答题10. （遵义）如图，直角梯形 ABCD 中， AB CD， DAB90，且 ABC60，AB BC， ACD 的外接圆 O 交 BC 于 E 点，连接 DE 并延长，交 AC 于 P 点，交 AB 的 延长线于 F。8（1）求证：
11、CF DB；（2）当 AD 时，试求 E 点到 CF 的距离。3*11. （襄阳）如图， A， P， B， C 是 O 上的四个点， APC BPC60，过点 A 作 O 的切线交 BP 的延长线于点 D。（1）求证： ADP BDA；（2）试探究线段 PA， PB， PC 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若 AD2， PD1，求线段 BC 的长。*12. （荆门）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 是 BC 的中点， P 是线段 MC 上的一个动点（不与 M、 C 重合 ） ，以 AB 为直径作 O，过点 P 作 O 的切线，交 AD 于点 F，切点为 E。（1）求证：
12、OF BE；（2）设 BP x， AF y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）延长 DC、 FP 交于点 G，连接 OE 并延长交直线 DC 于 H（图 2） ，问是否存在点 P，使 EFO EHG（ E、 F、 O 与 E、 H、 G 为对应点）？如果存在，试求（2）中 x 和 y 的值；如果不存在，请说明理由。9一、选择题1. C 解析：当点 P 运动到恰好点 Q 落在 O 上，连接 QO 并延长交 O 于点 C，连接QB， OP， BC，则 CBQ90（直径所对的圆周角是直角） B、 Q 分别是 OA、 AP 的中点， BQ OP，点 A 坐标为（4，0
13、） ， O 与 x 轴的负半轴交于 B（2，0） 。 OP OB BA OA2，1 QB1在 Rt CQB 中， CBQ90 cos OQB 。QBC42. C 解：如图，连接 AD、 GD， AB AC，点 D 是 BC 的中点， AD BC， B72， BAD90 B907218， G 是 AB 的中点， DG AG， BAD ADG， BGD BAD ADG18 1836， G、 F 分别是 AB、 AC 的中点， GF 是 ABC 的中位线， AD 垂直平分 GF， AD 经过圆心 O， BDH BGD36。103. A 解：取 ACB 的内切圆的圆心是 O，连接 OE、 OF，作 N
14、A 的延长线 AG，则 OE AB， OF AC， OE OF， BAC90，四边形 AEOF 是正方形， AE AF， AEF AFE， BAC90， M 为斜边 BC 上中线， AM CM BM， MAC MCA， BAC90， AN AM， BAC MAG MAN90， GAE EAM90， EAM MAC90， MAC CAN90， GAE MAC MCA， EAM CAP， GAE APE AEP， MCA Q CFQ， AEF AFE CFQ， EPA NPQ， Q NPQ， PN QN， 1PN4. C 解：过 O 作弦 BC 的垂线 OP，垂足为 D，与弧的交点分别为 A、 G
15、，过切点 F 作PF半径 OE 交 OP 于 P 点，如图， OP BC， BD DC，即 OP 为 BC 的中垂线， OP 必过弧 BGC 所在圆的圆心，11又 OE 为弧 BGC 所在圆的切线， PF OE， PF 必过弧 BGC 所在圆的圆心，点 P 为弧 BGC 所在圆的圆心，弧 BAC 沿 BC 折叠得到弧 BGC， P 的半径等于 O 的半径，即 PF PG OE2，并且 AD GD， OG AP，而 F 点分 O 的直径为 3：1 两部分， OF1，在 Rt OPF 中，设 OG x，则 OP x2， OP2 OF2 PF2，即（ x2） 21 22 2，解得 x 2，5 AG2
16、（ 2）4 ，55 DG 2 ， OD OG DG 22 ，2在 Rt OBD 中， BD2 OB2 OD2，即 BD22 2（ ） 2，5 BD ，1 BC2 BD 。5. A 解：如图，连结 OB。四边形 EPGQ 是矩形。 AED CEB90。又 DAE EBC90， AED BCE。 AED BCE， ，ADEBC设 OA x， AB y，则 ： ： x，2xy得 y22 x2，又 OA2 AB2 OB2，即 x2 y21 2。 x22 x21，解得： x 。3即当四边形 EPGQ 是矩形时， OA 的长度为 。312二、填空题6. 32 解析：作 O1A直线 y x 于 A，作 O2
17、B直线 y x 于 B， O1C O2B 于 C，如图，则 O1C直线 y x， CO1O2 AOO1，直线 y x 平分 xOy， AOO145， CO1O245， CO1O2为等腰直角三角形， O1和 O2与直线 y x 相切， O1A1 ， O2B R， BC1， O2C R1，而 O1和 O2外切， O1O2 R1， O1O2 O2C，即 R1 （ R1） ，2 R32 。7. y x2 解析：过 A 作 AD x 轴于 D， BE y 轴于 E， AD 与 BE 相交于 C，连结OA、 OB，如图， A 点坐标为（1，3） ， OD1， AD3， EC1， AC PE， PA： PB
18、 CE： BE，而 PB3 PA， BE3 CE3，在 Rt OAD 中， OA ，213013 OB OA ，10在 Rt OBE 中， OE 2109OBE B 点坐标为（3，1） ，设直线 AB 的解析式为 y kx b，把 A（1，3）和 B（3，1）代入得 ，解得 ，31kb2kb直线 l 的解析式为 y x2。8. 67.5， 2 解析：连接 OD。 CD 切 O 于点 D， ODA90， DOA45， OD OF， ODF OFD DOA22.5，12 CDG CDO ODF9022.567.5。 AC 为圆 O 的切线， OD AC，又 O 为 AB 的中点， AO BO AB
19、2 ，1圆的半径 DO FO AOsinA2 2， BF OB OF2 2。 GC AC， OD AC， OD CG， ODF G，又 OFD BFG， ODF BGF， ，即 ，ODB2 BG2 2。9. 2 解析： EF2， OF1，14 EO DO3， PE OD， KEO DOE， K ODG， OFD EFK， EF： OF KE： OD2：1 KE6， AC BC， AB 不是直径， OD AB， PCO90， PE OD， P90， EO AB， PEO90， OG OD， OGD ODG， PE OD， K ODG， OGD HGK， K HGK， HK HG，设 KH HG
20、x，则 HE6 x， HO3 x， EO3，则 EO2 HE2 HO2，即 32（6 x） 2（3 x） 2，解得： x2，故 KH 的长度等于 2。三、解答题10.（1）证明：连结 AE，如图， ABC60， AB BC， ABC 为等边三角形， AB CD， DAB90， ADC DAB90， AC 为 O 的直径，15 AEC90，即 AE BC， BE CE，CD BF， DCE FBE，在 DCE 和 FBE 中，DCEFB DCE FBE（ ASA） ， DE FE，四边形 BDCF 为平行四边形， CF DB；（2）解：作 EH CF 于 H，如图， ABC 为等边三角形， BA
21、C60， DAC30，在 Rt ADC 中， AD ，3 DC1AC2 CD2， AB AC2， BF CD1， AF3，在 Rt ABD 中， BD ，27ADB在 Rt ADF 中， DF 2 ，F3 CF BD ， EF DF ，71 AE BC， CAE BAE30， EDC CAE30，而 DCA BAC60， DPC90，在 Rt DPC 中， DC1， CDP30， PC DC ，2 HFE PFC， Rt FHE Rt FPC， ，即 ，EHFPC3172 EH ，4即 E 点到 CF 的距离为 。141611. （1）证明：作 O 的直径 AE，连接 PE， AE 是 O 的
22、直径， AD 是 O 的切线， DAE APE90， PAD PAE PAE E90， PAD E， PBA E， PAD PBA， PAD PBA， ADP BDA， ADP BDA；（2） PA PB PC，证明：在线段 PC 上截取 PF PB，连接 BF， PF PB， BPC60， PBF 是等边三角形， PB BF， BFP60， BFC180 PFB120， BPA APC BPC120， BPA BFC，在 BPA 和 BFC 中， ，PABFC BPA BFC（ AAS） ， PA FC， PA PB PF FC PC；（3）解： ADP BDA， ，ADPB AD2， PD
23、1， BD4， AB2 AP， BP BD DP3， APD180 BPA60， APD APC， PAD E， PCA E， PAD PCA， ADP CAP， ，APDC AP2 CPPD， AP2（3 AP）1，17解得： AP 或 AP （舍去） ，132132 BC AB2 AP1 。12. （1）证明：连接 OEFE、 FA 是 O 的两条切线 FAO FEO90在 Rt OAF 和 Rt OEF 中，FAE Rt FAO Rt FEO（ HL） ， AOF EOF AOE，12 AOF ABE， OF BE（2）解：过 F 作 FQ BC 于 Q PQ BP BQ x yPF EF EP FA BP x y在 Rt PFQ 中 FQ2 QP2 PF22 2（ x y） 2（ x y） 2化简得： （1 x2）（3）解：存在这样的 P 点，理由： EOF AOF， EHG EOA2 EOF，当 EFO EHG2 EOF 时，即 EOF30时， Rt EFO Rt EHG，此时 Rt AFO 中，y AF OAtan30 ，3 1x当 时， EFO EHG。3,y18
